數(shù)學(xué)北師大版九年級上冊解一元二次方程.docx

4用因式分解法求解一元二次方程會用因式分解法解一元二次方程.能根據(jù)一元二次方程的特征,選擇適當(dāng)?shù)那蠼夥椒?體會解決問題的靈活性和多樣性.體會用因式分解實現(xiàn)“降次”、“化歸”的思想方法.【重點】用因式分解法解一元二次方程.【難點】將方程右邊化為零后,對左邊進(jìn)行正確的因式分解.【教師準(zhǔn)備】多媒體課件.【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)因式分解的方法.導(dǎo)入一:1.用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵是什么?(將方程轉(zhuǎn)化為(xm)2n(n0)的形式)2.用公式法解一元二次方程應(yīng)先做什么?(將方程化為一般形式)3.選擇合適的方法解下列方程.(1)x2-6x7;(2)3x28x-30.設(shè)計意圖以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生思考,回憶兩種解一元二次方程的方法,有利于學(xué)生銜接前后知識,形成清晰的知識脈絡(luò),為學(xué)生后面的學(xué)習(xí)做好鋪墊.導(dǎo)入二:在上課之前,要求大家復(fù)習(xí)因式分解的方法,下面我們看一個小問題:一個數(shù)的平方與這個數(shù)的3倍有可能相等嗎?如果相等,這個數(shù)是幾?你是怎樣求出來的?小穎、小明、小亮都設(shè)這個數(shù)為x,根據(jù)題意,可得方程x23x,但是他們的解法卻各不相同.小穎:由方程,得x2-3x0,因此x392,所以x10,x23,所以這個數(shù)是0或3.小明:方程x23x的兩邊同時約去x,得x3.所以這個數(shù)是3.小亮:由方程x23x,得x2-3x0,即x(x-3)0,于是x0或x-30,因此x10,x23,所以這個數(shù)是0或3.他們做得對嗎?為什么?你是怎么做的?設(shè)計意圖這個問題比較簡單,學(xué)生未必選用配方法或公式法求解,部分學(xué)生可能會選用小明和小亮的方法.“你是怎樣求出來的?”意在引導(dǎo)學(xué)生思考其他求解方法,學(xué)生的解法可能是多種多樣的.一、概念引入思路一過渡語同學(xué)們,老師被一道題難住了,想請同學(xué)們幫助一下.【課件】一個數(shù)的平方與這個數(shù)的3倍有可能相等嗎?如果能,這個數(shù)是幾?你是怎樣求出來的?學(xué)生獨自完成,教師巡視指導(dǎo),選擇不同答案準(zhǔn)備展示.【生1】設(shè)這個數(shù)為x,根據(jù)題意,可列方程x23x,x2-3x0,a1,b-3,c0,b2-4ac9,x10,x23,這個數(shù)是0或3.【生2】設(shè)這個數(shù)為x,根據(jù)題意,可列方程x23x,x2-3x0,x2-3x322322,即x-32294,x-3232或x-32-32,x13,x20,這個數(shù)是0或3.【生3】設(shè)這個數(shù)為x,根據(jù)題意,可列方程x23x,x2-3x0,即x(x-3)0,x0或x-30,x10,x23,這個數(shù)是0或3.【生4】設(shè)這個數(shù)為x,根據(jù)題意,可列方程x23x,兩邊同時約去x,得x3,這個數(shù)是3.【師】同學(xué)們在下面用了多種方法解決此問題,觀察以上四個同學(xué)的做法,是否存在問題?你認(rèn)為哪種方法更合適?為什么?【生5】我認(rèn)為第四位同學(xué)的做法不正確,因為要方程兩邊同時約去x,必須確保x不等于0,但題目中沒有說明.【生6】補充一點,剛才講x需確保不等于0,而此題恰好x0,所以不能約去,否則會丟根.【師】這兩位同學(xué)的回答條理清楚并且敘述嚴(yán)密,相信下面同學(xué)的回答會一個比一個棒!(及時評價鼓勵,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情)現(xiàn)在請第三位同學(xué)為大家說說他的想法.【生3】由x(x-3)0,得x10或x23,因為我想300,0(-3)0,000,反過來,如果ab0,那么a0或b0,所以a與b至少有一個等于0.【師】好,這時我們可這樣表示:如果ab0,那么a0或b0,這就是說,當(dāng)一個一元二次方程降為兩個一元一次方程時,這兩個一元一次方程中用的是“或”,而不用“且”,所以由x(x-3)0得到x0或x-30時,中間應(yīng)寫上“或”字.我們再來看第三位同學(xué)解方程x23x的方法,他是把方程的一邊變?yōu)?,而另一邊分解成兩個因式的乘積,然后利用若ab0,則a0或b0,把一元二次方程變成一元一次方程,從而求出方程的解.我們把這種解一元二次方程的方法稱為因式分解法.當(dāng)一元二次方程的一邊為0,而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時,我們就采用因式分解法來解一元二次方程.設(shè)計意圖通過獨立思考,使學(xué)生根據(jù)方程的具體特征,靈活選取適當(dāng)?shù)慕夥?在操作活動過程中,培養(yǎng)學(xué)生積極的情感態(tài)度,提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)和思考的能力,讓學(xué)生盡可能自己探索新知,教師要關(guān)注每一位學(xué)生的發(fā)展,同時進(jìn)一步點明因式分解的理論依據(jù)及實質(zhì),總結(jié)本節(jié)課的重點.思路二過渡語(針對導(dǎo)入二)同學(xué)們,下面我們來總結(jié)一下他們?nèi)齻€同學(xué)的做法.小明的做法是不正確的,方程兩邊同時除以x,這樣解使方程少了一個解,原因在于兩邊同時除以的因式x可能為0,而方程兩邊不可以同時除以0.點評:如果ab0,那么a0或b0.(注意:這里用的是“或”而不是“且”,要和學(xué)生解釋清楚原因)總結(jié):當(dāng)一元二次方程的一邊為0,而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時,我們就可以用小亮的方法求解,這種解一元二次方程的方法稱為因式分解法.我們再來看下面哪些方程用因式分解法求解比較簡便?(1)x2-2x-30;(2)(2x-1)2-10;(3)(x-1)2-180;(4)3(x-5)22(5-x).分析:第(1)(4)小題用因式分解法求解比較簡便.結(jié)論:如果一個一元二次方程的一邊為0,而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積,那么這樣的一元二次方程就可以用因式分解法求解.設(shè)計意圖本環(huán)節(jié)通過教師引導(dǎo)來組織同學(xué)探究因式分解法解一元二次方程的一般步驟和思路.二、例題講解過渡語同學(xué)們,下面我們通過例題來熟悉用因式分解法解一元二次方程.(教材例題)解下列方程.(1)5x24x;(2)x(x-2)x-2.解析第(1)小題先化為一般形式,再提取公因式分解因式求解.第(2)小題先移項,然后把x-2看成一個整體,提取公因式求解.解:(1)原方程可變形為5x2-4x0,即x(5x-4)0,x0或5x-40,x10,x245.(2)原方程可變形為x(x-2)-(x-2)0,即(x-2)(x-1)0,x-20或x-10,x12,x21.解下列方程.(1)x2-40;(2)(x1)2-250.解析第(1)小題方程的右邊是0,左邊x2-4可分解因式,即x2-4(x-2)(x2),這樣,方程x2-40就可以用分解因式法來解.第(2)小題方程的右邊是0,左邊是(x1)2-25,可以把x1看做一個整體,這樣左邊就是一個平方差,利用平方差公式即可分解因式,從而求出方程的解.解:(1)原方程可化為(x2)(x-2)0,x20或x-20,x1-2,x22.(2)原方程可化為(x1)5(x1)-50,(x1)50或(x1)-50,x1-6,x24.知識拓展一元二次方程四種基本解法的比較如下表所示:方法適合方程類型注意事項直接開平方法(xa)2bb0時有解,b0時無解.配方法x2pxq0二次項系數(shù)若不為1,必須先把系數(shù)化為1,再進(jìn)行配方.公式法ax2bxc0(a0)b2-4ac0時,方程有解;b2-4ac0,x-810425-822610,x1-4265,x2-4-265.根據(jù)學(xué)生有可能出現(xiàn)的問題設(shè)計了相關(guān)的代表性的習(xí)題,讓學(xué)生總結(jié)出用因式分解法解一元二次方程的解題思路.通過見到什么題,就考慮用哪種方法,提高了解題速度,優(yōu)化了解題方法,增強了學(xué)生的解題感覺.這節(jié)課的內(nèi)容教材上給的特別簡單,如果不做補充,學(xué)生的思維得不到訓(xùn)練,知識得不到拓展,能力得不到提高,所以要精