2012年湖北高考數(shù)學(xué)文科試卷帶詳解.doc

2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)（文科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知集合,，則滿(mǎn)足條件的集合C的個(gè)數(shù)為 ( )A1 B2 C3 D4【測(cè)量目標(biāo)】集合的基本運(yùn)算.【考查方式】子集的應(yīng)用.【參考答案】D【試題解析】求 ，易知.因?yàn)?，所以根?jù)子集的定義，集合必須含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原題即求集合的子集個(gè)數(shù)，即有個(gè).故選D.2容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為 ( )A0.35 B0.45 C0.55 D0.65 【測(cè)量目標(biāo)】頻數(shù)分布表的應(yīng)用，頻率的計(jì)算,對(duì)于頻數(shù)、頻率等統(tǒng)計(jì)問(wèn)題【考查方式】通過(guò)弄清楚樣本總數(shù)與各區(qū)間上樣本的個(gè)數(shù)，用區(qū)間上樣本的個(gè)數(shù)除以樣本總數(shù)就可得到相應(yīng)區(qū)間上的樣本頻率.【參考答案】B【試題解析】由頻數(shù)分布表可知：樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)為2+3+4=9，樣本總數(shù)為，故樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)頻率為.故選B.3函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ( )A2 B3 C4 D.5 【測(cè)量目標(biāo)】函數(shù)零點(diǎn)求解與判斷.【考查方式】通過(guò)函數(shù)的零點(diǎn)，要求學(xué)會(huì)分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.【參考答案】D【試題解析】由，得或；其中，由，得，故.又因?yàn)?，所?所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè).故選D.4命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是 ( )A任意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù) B任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)C存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù) D存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)【測(cè)量目標(biāo)】命題的否定.【考查方式】求解特稱(chēng)命題或全稱(chēng)命題的否定，千萬(wàn)別忽視了改變量詞；【參考答案】B【試題解析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定，需先將存在量詞改為全稱(chēng)量詞，然后否定結(jié)論，故該命題的否定為“任意一個(gè)無(wú)理數(shù),它的平方不是有理數(shù)”.故選B.5過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)，將圓形區(qū)域分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線(xiàn)的方程為 ( )A B. C. D. 【測(cè)量目標(biāo)】考查直線(xiàn)、線(xiàn)性規(guī)劃與圓的綜合運(yùn),并學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合思想.直線(xiàn)的方程【考查方式】通過(guò)觀(guān)察圖形發(fā)現(xiàn)當(dāng)面積之差最大時(shí)，所求直線(xiàn)應(yīng)與直線(xiàn)垂直，利用這一條件求出斜率，進(jìn)而求得該直線(xiàn)的方程.【參考答案】A【試題解析】要使直線(xiàn)將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差最大，必須使過(guò)點(diǎn)的圓的弦長(zhǎng)達(dá)到最小，所以需該直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直即可.又已知點(diǎn)，則,故所求直線(xiàn)的斜率為.又所求直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，故由點(diǎn)斜式得，所求直線(xiàn)的方程為，即.故選A.6已知定義在區(qū)間（0,2）上的函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象為 ( ) 【測(cè)量目標(biāo)】函數(shù)的圖象的識(shí)別.【考查方式】利用特殊值法（特殊點(diǎn)），特性法（奇偶性，單調(diào)性，最值）結(jié)合排除法求解【參考答案】B【試題解析】排除法：當(dāng)時(shí)，故可排除A,C項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，故可排除D項(xiàng)；所以由排除法知選B.7定義在上的函數(shù)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列，仍是等比數(shù)列，則稱(chēng)為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)： ( )； ； ； .則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號(hào)為 A B C D 【測(cè)量目標(biāo)】等比數(shù)列的新應(yīng)用，函數(shù)的概念.【考查方式】讀懂題意，然后再去利用定義求解，注意數(shù)列的通項(xiàng).【參考答案】C【試題解析】設(shè)數(shù)列的公比為.對(duì)于，,是常數(shù)，故符合條件;對(duì)于，不是常數(shù)，故不符合條件;對(duì)于，是常數(shù)，故符合條件;對(duì)于, ，不是常數(shù)，故不符合條件.由“保等比數(shù)列函數(shù)”的定義知應(yīng)選C8設(shè)的內(nèi)所對(duì)的邊分別為. 若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且 ，則為 ( )A. B. C D. 【測(cè)量目標(biāo)】正、余弦定理以及三角形中大角對(duì)大邊的應(yīng)用.【考查方式】本題需求解三個(gè)角的正弦的比值，明顯是要利用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的比值，因此必須求出三邊長(zhǎng),注意正余弦定理與和差角公式的結(jié)合應(yīng)用.【參考答案】D【試題解析】因?yàn)闉檫B續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且，可得，所以；又因?yàn)橐阎?，所?由余弦定理可得，則由可得，聯(lián)立，得，解得或（舍去），則，.故由正弦定理可得，.故應(yīng)選D.9設(shè),“”是“ ”的 ( )A充分條件但不是必要條件 B必要條件但不是充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要的條件 【測(cè)量目標(biāo)】充要條件的判斷，不等式的證明.【考查方式】首先需判斷條件能否推得結(jié)論，然后需判斷結(jié)論能否推得條件.【參考答案】A【試題解析】時(shí)，而（當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)等號(hào)成立），故；但當(dāng)取,顯然有,但,即由不可以推得；綜上，是的充分不必要條件,應(yīng)選A. 10如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓. 在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是 ( )A BC D 【測(cè)量目標(biāo)】古典概型的應(yīng)用以及觀(guān)察推理的能力.【考查方式】求解陰影部分的面積，將不規(guī)則圖形的面積化為規(guī)則圖形的面積來(lái)求解.【參考答案】C【試題解析】如下圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，半圓與半圓的交點(diǎn)分別為，則四邊形是正方形.不妨設(shè)扇形的半徑為，記兩塊白色區(qū)域的面積分別為，兩塊陰影部分的面積分別為.則, 而，即, 由-，得.又由圖象觀(guān)察可知，.故由幾何概型概率公式可得，此點(diǎn)取自陰影部分的概率：.故選C.二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分. 請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上. 答錯(cuò)位置，書(shū)寫(xiě)不清，模棱兩可均不得分.11一支田徑運(yùn)動(dòng)隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員56人，女運(yùn)動(dòng)員42人. 現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的男運(yùn)動(dòng)員有8人，則抽取的女運(yùn)動(dòng)員有 人 【測(cè)量目標(biāo)】分層抽樣的應(yīng)用. 【考查方式】分層抽樣在生活中的應(yīng)用.分層抽樣時(shí)，各樣本抽取的比例應(yīng)該是一樣的，即為抽樣比. 【參考答案】6【試題解析】 設(shè)抽取的女運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為，則根據(jù)分層抽樣的特性，有，解得.故抽取的女運(yùn)動(dòng)員為6人.12若（，為實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位），則 .【測(cè)量目標(biāo)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.【考察方式】通過(guò)考查復(fù)數(shù)相等來(lái)判斷學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的掌握.【參考答案】3【試題解析】因?yàn)?，所?又因?yàn)槎紴閷?shí)數(shù)，故由復(fù)數(shù)的相等的充要條件得解得所以.13已知向量，則（）與同向的單位向量的坐標(biāo)表示為 ； （）向量與向量夾角的余弦值為 .【測(cè)量目標(biāo)】單位向量的概念，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算等.【考查方式】給出兩個(gè)向量，利用向量的坐標(biāo)和向量的數(shù)量積來(lái)運(yùn)算求值.【參考答案】（）；（）【試題解析】（）由，得.設(shè)與同向的單位向量為，則且，解得故.即與同向的單位向量的坐標(biāo)為.（）由，得.設(shè)向量與向量的夾角為，則.14若變量滿(mǎn)足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值是 .【測(cè)量目標(biāo)】二元線(xiàn)性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最小值.【考查方式】給出約束條件，判斷可行域，利用可行域求解. 【參考答案】2【試題解析】作出不等式組所表示的可行域(如下圖的及其內(nèi)部）,目標(biāo)函數(shù)在的三個(gè)端點(diǎn)處取的值分別為13,3,2，比較可得目標(biāo)函數(shù)的最小值為2.15已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 .【測(cè)量目標(biāo)】考查圓柱的三視圖的識(shí)別，圓柱的體積.【考查方式】在生活中要多多觀(guān)察身邊的實(shí)物都是由什么幾何形體構(gòu)成的，以及它們的三視圖的畫(huà)法. 【參考答案】【試題解析】由三視圖可知，該幾何體是由左右兩個(gè)相同的圓柱（底面圓半徑為2，高為1）與中間一個(gè)圓柱（底面圓半徑為1，高為4）組合而成，故該幾何體的體積是.16閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果 . 【測(cè)量目標(biāo)】順序結(jié)構(gòu)框圖和判斷結(jié)構(gòu)框圖的執(zhí)行求解.【考查方式】對(duì)于循環(huán)結(jié)構(gòu)的輸出問(wèn)題，一步一步按規(guī)律寫(xiě)程序結(jié)果.【參考答案】9【試題解析】由程序框圖可知：第一次:,滿(mǎn)足判斷條件;第二次,滿(mǎn)足判斷條件第三次:,此時(shí)不滿(mǎn)足判斷條件，故終止運(yùn)行，輸出的值.綜上，輸出的值為9.1063117傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù). 他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù)：第17題圖將三角形數(shù)1，3，6，10，記為數(shù)列，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列. 可以推測(cè)：（）是數(shù)列中的第_項(xiàng)；（）_.（用k表示）【測(cè)量目標(biāo)】數(shù)學(xué)歸納法.【考查方式】本題考查歸納推理，猜想的能力.【參考答案】（）5030；（）【試題解析】易知，寫(xiě)出數(shù)列的若干項(xiàng)依次為：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,190,210，,發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的為10,15,45,55,105,120,190,210，故.同理，.從而由上述規(guī)律可猜想：，（為正整數(shù)）.故,即是數(shù)列中的第5030項(xiàng).三、解答題：本大題共5小題，共65分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.18（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)函數(shù),的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，其中為常數(shù)，且 （）求函數(shù)的最小正周期； （）若的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求函數(shù)的值域. 【測(cè)量目標(biāo)】三角函數(shù)的圖象的周期性，值域，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用.【考查方式】給出函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最小值和周期.【試題解析】解：（）因?yàn)? 由直線(xiàn)是圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，可得， 所以，即 又，所以，故. 所以的最小正周期是. （）由的圖象過(guò)點(diǎn)，得，即，即. 故，函數(shù)的值域?yàn)? 19（本小題滿(mǎn)分12分）A2B2C2D2CBADA1B1C1D1第19題圖某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺(tái)，上部是一個(gè)底面與四棱臺(tái)的上底面重合，側(cè)面是全等的矩形的四棱柱. （）證明：直線(xiàn)平面； （）現(xiàn)需要對(duì)該零部件表面進(jìn)行防腐處理. 已知， ，（單位：厘米），每平方厘米的加工處理費(fèi)為0.20元，需加工處理費(fèi)多少元？ 【測(cè)量目標(biāo)】線(xiàn)面垂直，空間幾何體的表面積；考查空間想象，運(yùn)算求解以及轉(zhuǎn)化與劃歸的能力.【考查方式】通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)垂直證明面面垂直，并用公式求體積【試題解析】解：（）因?yàn)樗睦庵膫?cè)面是全等的矩形，所以，. 又因?yàn)?，所以平面ABCD. 連接BD，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以.因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以 根據(jù)棱臺(tái)的定義可知，BD與B1 D1共面. 又已知平面ABCD平面，且平面平面，平面平面，所以B1 D1BD. 于是由，B1 D1BD，可得，.又因?yàn)?，所以平? （）因?yàn)樗睦庵牡酌媸钦叫危瑐?cè)面是全等的矩形，所以.又因?yàn)樗睦馀_(tái)的上、下底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形，所以. 于是該實(shí)心零部件的表面積為，故所需加工處理費(fèi)為（元）. 20（本小題滿(mǎn)分13分）已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為.（）求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【測(cè)量目標(biāo)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，求和等.【考查方式】考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解的能力.求等差數(shù)列的通項(xiàng)一般利用通項(xiàng)公式求解；有時(shí)需要利用等差數(shù)列的定義：（為常數(shù)）或等比數(shù)列的定義：（為常數(shù)，）來(lái)判斷該數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后再求解通項(xiàng)；有些數(shù)列本身不是等差數(shù)列或等比數(shù)列，但它含有無(wú)數(shù)項(xiàng)卻是等差數(shù)列或等比數(shù)列，這時(shí)求通項(xiàng)或求和都需要分段討論.【試題解析】解：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意得 解得或 所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，或.故，或. （）當(dāng)時(shí)，分別為，不成等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，分別為，成等比數(shù)列，滿(mǎn)足條件.故 記數(shù)列的前項(xiàng)和為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， . 當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足此式.綜上， .21（本小題滿(mǎn)分14分）設(shè)是單位圓上的任意一點(diǎn)，是過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線(xiàn)，是直線(xiàn)與 軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且滿(mǎn)足. 當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)（）求曲線(xiàn)的方程，判斷曲線(xiàn)為何種圓錐曲線(xiàn)，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)； （）過(guò)原點(diǎn)斜率為的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于，兩點(diǎn)，其中在第一象限，且它在軸上的射影為點(diǎn)，直線(xiàn)交曲線(xiàn)于另一點(diǎn). 是否存在，使得對(duì)任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【測(cè)量目標(biāo)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系.【考查方式】考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解的能力.本題是一個(gè)橢圓模型，求解標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)注意對(duì)焦點(diǎn)的位置分類(lèi)討論.【試題解析】解：（）如圖1，設(shè)，則由，可得，所以，. 因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以 將式代入式即得所求曲線(xiàn)的方程為. 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，. （），設(shè)，則，因?yàn)?，兩點(diǎn)在橢圓上，所以 兩式相減可得. 依題意，由點(diǎn)在第一象限可知，點(diǎn)也在第一象限，且，不重合，故. 于是由式可得. 又，三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，即. 于是由式可得.而等價(jià)于，即，又，得，故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的，都有. 22（本小題滿(mǎn)分14分）設(shè)函數(shù),，為正整數(shù)，a，b為常數(shù). 曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為.（）求a，b的值；（）求函數(shù)的最大值；（）證明：.【測(cè)量目標(biāo)】函數(shù)