波利亞-怎樣解題.doc

波利亞 - 怎樣解題 波利亞1887年出生在匈牙利，青年時(shí)期曾在布達(dá)佩斯、維也納、哥廷根，巴黎等地攻讀數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)，獲博士學(xué)位。1914年在蘇黎世著名的瑞士聯(lián)邦理工學(xué)院任教。1940年移居美國，1942年起任美國斯坦福大學(xué)教授。他一生發(fā)表達(dá)200多篇論文和許多專著，他在數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域內(nèi)有精深的造詣，對(duì)實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、概率論、縱使數(shù)學(xué)、數(shù)論，幾何和微分方程等若干分支領(lǐng)域都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，留下了以他的名字命名的術(shù)語和定理。他是法國科學(xué)院、美國全國科學(xué)院和匈牙利科學(xué)院的院士，不愧為一位杰出的數(shù)學(xué)家。 波利亞熱心數(shù)學(xué)教育，十分重視培養(yǎng)學(xué)生思考問題分析問題的能力。他認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本宗旨是“教會(huì)年輕人思考”。教師要努力啟發(fā)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)解法，從而從根本上提高學(xué)生的解題能力。 波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來的”這個(gè)令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成怎樣解題一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張?jiān)鯓咏忸}表。在這張包括“弄清問題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程的解題表中，對(duì)第二步即“擬定計(jì)劃”的分析是最為引人入勝的。他指出尋找解法實(shí)際上就是“找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，如果找不出直接聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。最終得出一個(gè)求解計(jì)劃。”他把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和23個(gè)具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程的“慢動(dòng)作鏡頭”，使我們對(duì)解題的思維過程看得見，摸得著。 波利亞的怎樣解題表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問題吧?！澳阋郧耙娺^它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？看著未知數(shù)！試指出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有聯(lián)系且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個(gè)問題？你能不能用不同的方式重新敘述它？.” 波利亞說他在寫這些東西時(shí)，腦子里重現(xiàn)了他過去在研究數(shù)學(xué)時(shí)解決問題的過程。實(shí)際上是他解決研究問題時(shí)的思維過程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)教育，特別是研究解題教學(xué)時(shí)的優(yōu)勢(shì)所在，絕非“紙上談兵”。仔細(xì)想一想，我們?cè)诮忸}時(shí)，為了找到解法，實(shí)際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識(shí)到罷了?，F(xiàn)在波利亞把這些問題和建議去尋找解法，這樣，在解題的過程中，也使自己的思維受到良好的訓(xùn)練。久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。而這是比任何具體的數(shù)學(xué)知識(shí)重要得多的東西。 波利亞的怎樣解題被譯成16種文字，僅平裝本就銷售100萬冊(cè)以上。著名數(shù)學(xué)家瓦爾登1952年2月2日在瑞士蘇黎世大學(xué)的會(huì)議致詞中說：“每個(gè)大學(xué)生，每個(gè)學(xué)者，特別是每個(gè)老師都應(yīng)該讀讀這本引人入勝的書”。我想，波利亞關(guān)于怎樣解題的思想對(duì)于廣大中學(xué)生同樣也是非常需要的和有益的.第二部分怎樣解題一段對(duì)話1熟悉問題我應(yīng)該從哪兒開始?從問題的敘述開始。我能做什么?觀察揣摩整個(gè)問題，盡量使其清晰而鮮明。暫時(shí)先拋開細(xì)節(jié)。這樣做，我能得到什么好處?你會(huì)明白問題，使自己熟悉問題，并把問題的目標(biāo)牢記在腦海中。這樣全神貫注地對(duì)待問題也會(huì)調(diào)動(dòng)起你的記憶力，做好準(zhǔn)備去重新聯(lián)想與問題有關(guān)的各點(diǎn)。2深入理解問題我應(yīng)該從哪兒開始?還是從問題的敘述開始。當(dāng)你對(duì)問題的敘述已如此清楚并已深深地印入腦海，以致你即使暫時(shí)不去看它，你也不怕把它完全忘掉時(shí)，你就可以開始下面的工作了。我能做什么?先把問題的主要部分剖析出來。因?yàn)榍疤崤c結(jié)論是“求證題”的主要部分。未知、已知與條件是“求解題”的主要部分。再把問題中的主要部分都弄一遍，并且要逐個(gè)地考慮，輪流地考慮，而且在各種組合中來考慮，同時(shí)把每個(gè)細(xì)節(jié)與其它細(xì)節(jié)聯(lián)系起來，把每個(gè)細(xì)節(jié)與整個(gè)問題聯(lián)系起來。這么做，我能得到什么好處?你會(huì)準(zhǔn)備好并弄清楚以后可能起作用的細(xì)節(jié)。3探索有益的念頭應(yīng)該從哪兒開始?從考慮問題的主要部分開始。當(dāng)主要部分能很清楚地排列出來，想得明明白白(這應(yīng)歸功于你前面的工作)并且也記得住時(shí)，這時(shí)開始做下一步。怎樣進(jìn)行?從各個(gè)方面來考慮你的問題，找出與你現(xiàn)有知識(shí)有關(guān)之處。從各個(gè)方面考慮你的問題。分別突出各個(gè)部分，考察各個(gè)細(xì)節(jié)，用不同方法反復(fù)審查同一細(xì)節(jié)。把細(xì)節(jié)用不同方式組合起來，從不同角度考慮它。試著在每一細(xì)節(jié)中發(fā)現(xiàn)某些新意義，嘗試在整個(gè)問題中得出某些新解釋。從你現(xiàn)有知識(shí)中找出與問題有關(guān)之處。試想過去在類似的情況下有什么曾幫過你的忙。在你所考察的內(nèi)容中，設(shè)法找出熟悉的東西來，在你所熟悉的東西中，努力找出有用的東西來。能找出什么?一個(gè)有用的念頭，也許是個(gè)決定性的念頭，它能使你一限看出解決問題的途徑。念頭有什么用?它會(huì)給你指出整個(gè)或部分解題途徑，它或多或少地清楚地向你建議該怎么做。念頭多多少少還是完整的。如果你有一個(gè)念頭，你就夠幸運(yùn)的了。碰上一個(gè)不完整的念頭怎么辦?應(yīng)該加以考慮。如果它看來有好處，就應(yīng)該多考慮一會(huì)兒。如果它看來是可靠的，你應(yīng)當(dāng)確定它能引導(dǎo)你走多遠(yuǎn)，并重新考慮一下形勢(shì)。由于這個(gè)有益的念頭，情況已經(jīng)變化了。你要從各個(gè)方面來考慮新形勢(shì)并找出它與你現(xiàn)有知識(shí)之間的聯(lián)系。再次這樣做，還能得到什么好處?如果你走運(yùn)的話，你或許能找到另一個(gè)念頭。也許下一個(gè)念頭會(huì)引導(dǎo)你去解決問題。也許在下一個(gè)念頭以后，你還需要幾個(gè)有益的念頭。也許有些念頭會(huì)把你引入歧途。無論如何，你應(yīng)當(dāng)感謝所有的新念頭，感謝那些次要的念頭，感謝那些模糊的念頭，也感謝那些使模糊念頭得以糾正的補(bǔ)充性念頭。即使你暫時(shí)還沒有發(fā)現(xiàn)什么有價(jià)值的新念頭，但如果你對(duì)問題的概念更完全了，或者更連貫、更和諧或者更平衡了，那你也應(yīng)當(dāng)表示感謝。4實(shí)現(xiàn)計(jì)劃應(yīng)該從哪兒開始?從引導(dǎo)到解決問題的思路開始。當(dāng)你感到你已抓住主要的聯(lián)系，并且自信能提供可能需要的次要細(xì)節(jié)時(shí)，就開始。怎幺做?你對(duì)問題應(yīng)抓得很有把握。詳細(xì)地進(jìn)行你以前認(rèn)為可行的全部代數(shù)或幾何運(yùn)算。用形式推理或直接觀察檢查每一步驟的正確性，或者，如果你能夠的話，兩種方法都用。如果你的問題很復(fù)雜，你可以分成“大”步驟和“小”步驟，每一大步驟又由幾個(gè)小步驟組成。首先檢查大步驟，以后再檢驗(yàn)小步驟。這樣做，我能有什么好處?這樣提出的解，每個(gè)步驟無疑都是正確的。5回顧應(yīng)該從哪兒開始?從解答開始，它的每一個(gè)細(xì)節(jié)都應(yīng)該是完整而正確的，怎么做?從各個(gè)方面考慮這個(gè)解，找出與你已有知識(shí)之間的聯(lián)系?？紤]解的細(xì)節(jié)，并嘗試使它們盡可能地簡(jiǎn)單；研究解答中較冗長(zhǎng)的部分，使它們更短些；試著一眼就看出整個(gè)解。試著去改進(jìn)解的各部分，嘗試去改進(jìn)整個(gè)解，使它直觀，使它盡量自然地適合于你已有的知識(shí)?？偨Y(jié)你解題的方法，嘗試看出它的要點(diǎn)，并且嘗試