2018高考數(shù)學數(shù)列壓軸專項練習集(一).doc

Word格式2018年高考數(shù)學數(shù)列壓軸專項練習集（一）1.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，其中的公差不為0設是數(shù)列的前n項和若是數(shù)列的前3項，且=16（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，求實數(shù)；（3）構(gòu)造數(shù)列若該數(shù)列前n項和，求n的值2.已知數(shù)列滿足，且（1）求的值；（2）設為數(shù)列的前n項的和，求；（3）設，是否存正整數(shù)i，j，k（ijk），使得bi，bj，bk成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的i，j，k；若不存在，請說明理由3.(本題滿分12分)設數(shù)列的前n項和為,已知,數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列,.(1) 求d的值;(2) 求數(shù)列的通項公式;(3) 求證:.4.設數(shù)列的首項，且時，(1)若，求，(2)若，證明：(3)若，求所有的正整數(shù)，使得對于任意，均有成立5.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=0，a1+a2+a3+an+n=an+1，nN*（）求證：數(shù)列an+1是等比數(shù)列；（）設數(shù)列bn的前n項和為Tn，b1=1，點（Tn+1，Tn）在直線上，若不等式對于nN*恒成立，求實數(shù)m的最大值6.設不等式組所表示的平面區(qū)域為Dn，記Dn內(nèi)整點的個數(shù)為an（橫縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點）（1）n=2時，先在平面直角坐標系中作出區(qū)域D2，再求a2的值；（2）求數(shù)列an的通項公式；（3）記數(shù)列an的前n項的和為Sn，試證明：對任意nN*恒有+成立7.在數(shù)列中，（）求的值；（）猜想的表達式，并證明你的猜想8.設數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項和為，若，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）對于正整數(shù)（），求證：“且”是“這三項經(jīng)適當排序后能構(gòu)成等差數(shù)列”成立的充要條件；（3）設數(shù)列滿足：對任意的正整數(shù)，都有，且集合中有且僅有3個元素，試求的取值范圍.9.已知f（n）=1+，g（n）=，nN*（1）當n=1，2，3時，試比較f（n）與g（n）的大小關(guān)系；（2）猜想f（n）與g（n）的大小關(guān)系，并給出證明10.設數(shù)列an的前n項和為Sn，若（nN*），則稱an是“緊密數(shù)列”；（1）若a1=1，a3=x，a4=4，求x的取值范圍；（2）若an為等差數(shù)列，首項a1，公差d，且0da1，判斷an是否為“緊密數(shù)列”；（3）設數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，若數(shù)列an與Sn都是“緊密數(shù)列”，求q的取值范圍試卷答案1.【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式【分析】（1）設an的公差d0由a1，a2，a5是數(shù)列bn的前3項，且S4=16可得，即，4a1+=16，解得a1，d，即可得出（2）Sn=n2可得=根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列，可得=+，t22t=0解得t（3）由（1）可得：Sn=n2，數(shù)列bn的前n項和An=數(shù)列An的前n項和Un=n=n數(shù)列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，ak，b1，b2，bk，可得：該數(shù)列前k+=項和=k2+（k1），根據(jù)37=2187，38=6561進而得出【解答】解：（1）設an的公差d0a1，a2，a5是數(shù)列bn的前3項，且S4=16，即，4a1+=16，解得a1=1，d=2，an=1+（n1）2=2n1b1=1，b2=3，公比q=3bn=3n1（2）Sn=n2 =數(shù)列為等差數(shù)列，=+，t22t=0解得t=2或0，經(jīng)過驗證滿足題意（3）由（1）可得：Sn=n2，數(shù)列bn的前n項和An=數(shù)列An的前n項和Un=n=n數(shù)列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，ak，b1，b2，bk，該數(shù)列前k+=項和=k2+（k1），37=2187，38=6561取k=8，可得前=36項的和為： =1700，令Tn=1821=1700+，解得m=5n=36+5=412.【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式【分析】（1）由題意，當n為奇數(shù)時，；當n為偶數(shù)時，結(jié)合a1=1，a2=1，進一步求得，則a5+a6可求；（2）當n=2k時，Sn=S2k=（a1+a3+a2k1）+（a2+a4+a2k），代入等比數(shù)列前n項和公式求解；當n=2k1時，由Sn=S2ka2k求解；（3）由（1）得（僅b1=0且bn遞增）結(jié)合kj，且k，jZ，可得kj+1然后分kj+2與k=j+1兩類分析可得滿足條件的i，j，k只有唯一一組解，即i=1，j=2，k=3【解答】解：（1）由題意，當n為奇數(shù)時，；當n為偶數(shù)時，又a1=1，a2=1，即a5+a6=2；（2）當n=2k時，Sn=S2k=（a1+a3+a2k1）+（a2+a4+a2k）=當n=2k1時，Sn=S2ka2k= ；（3）由（1），得（僅b1=0且bn遞增）kj，且k，jZ，kj+1當kj+2時，bkbj+2，若bi，bj，bk成等差數(shù)列，則=，此與bn0矛盾故此時不存在這樣的等差數(shù)列當k=j+1時，bk=bj+1，若bi，bj，bk成等差數(shù)列，則=，又ij，且i，jZ，ij1若ij2，則bibj2，得，得0，矛盾，i=j1從而2bj=bj1+bj+1，得，化簡，得3j2=1，解得j=2從而，滿足條件的i，j，k只有唯一一組解，即i=1，j=2，k=33.3分8分12分4.見解析解：得，證明：當時，當，綜上，時，解：若，由知，所以，當時，對所有的，成立若，則，且，當時，對所有的，成立，若，則，時，對所有的，成立，綜上，若，則，若，則，若，則，5.【考點】數(shù)列的求和；等比關(guān)系的確定【分析】（）利用遞推式可得：an+1=2an+1，變形利用等比數(shù)列的定義即可證明；（）由（）得，由點（Tn+1，Tn）在直線上，可得，利用等差數(shù)列的通項公式可得：，利用遞推式可得bn=n利用不等式，可得Rn=，利用“錯位相減法”可得：對n分類討論即可得出【解答】解：（）由a1+a2+a3+an+n=an+1，得a1+a2+a3+an1+n1=an（n2），兩式相減得an+1=2an+1，變形為an+1+1=2（an+1）（n2），a1=0，a1+1=1，a2=a1+1=1，a2+1=2（a1+1），a1+1是以1為首項，公比為2的等比數(shù)列（）由（）得，點（Tn+1，Tn）在直線上，故是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，當n2時，b1=1滿足該式，bn=n不等式，即為，令，則，兩式相減得，由恒成立，即恒成立，又，故當n3時，單調(diào)遞減；當n=3時，；當n4時，單調(diào)遞增；當n=4時，；則的最小值為，所以實數(shù)m的最大值是6.【考點】數(shù)列與不等式的綜合【分析】（1）在48的矩形區(qū)域內(nèi)有59個整點，對角線上有5個整點，可求a2的值；（2）直線y=nx與x=4交于點P（4，4n），即可求數(shù)列an的通項公式；（3）利用裂項法，放縮，求和即可證明結(jié)論【解答】解：（1）D2如圖中陰影部分所示，在48的矩形區(qū)域內(nèi)有59個整點，對角線上有5個整點，a2=25（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直線y=nx與x=4交于點P（4，4n），據(jù)題意有an=10n+5（另解：an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）Sn=5n（n+2）（8分）=，+=（+）=（+）（13分）【點評】本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查數(shù)列的通項與求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題7.（） (3分) （6分）（）猜想， （7分）下面用數(shù)學歸納法證明：1)當n=1時，猜想正確； （8分）2）假設當n=k時猜想正確，即那么即n=k+1時猜想也正確. （12分）根據(jù)1），2）可知，對任意都有 （13分）略8.（1）數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，又，； 4分（2）（）必要性：設這三項經(jīng)適當排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，若，則， . 6分若，則，左邊為偶數(shù)，等式不成立，若，同理也不成立，綜合，得，所以必要性成立. 8分（）充分性：設，則這三項為，即，調(diào)整順序后易知成等差數(shù)列，所以充分性也成立.綜合（）（），原命題成立. 10分（3）因為，即，（*）當時，（*）則（*）式兩邊同乘以2，得，（*）（*）（*），得，即，又當時，即，適合，.14分，時，即；時，此時單調(diào)遞減，又，. 16分9.【考點】用數(shù)學歸納法證明不等式；不等式比較大小【分析】（1）根據(jù)已知，nN*我們易得當n=1，2，3時，兩個函數(shù)函數(shù)值的大小，比較后，根據(jù)結(jié)論我們可以歸納推理得到猜想f（n）g（n）；（2）但歸納推理的結(jié)論不一定正確，我們可用數(shù)學歸納法進行證明，先證明不等式f（n）g（n）當n=1時成立，再假設不等式f（n）g（n）當n=k（k1）時成立，進而證明當n=k+1時，不等式f（n）g（n）也成立，最后得到不等式f（n）g（n）對于所有的正整數(shù)n成立；【解答】解：（1）當n=1時，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；當n=2時，所以f（2）g（2）；當n=3時，所以f（3）g（3）（2）由（1），猜想f（n）g（n），下面用數(shù)學歸納法給出證明：當n=1，2，3時，不等式顯然成立假設當n=k（k3）時不等式成立，即即+，那么，當n=k+1時，因為，所以由、可知，對一切nN*，都有f（n）g（n）成立10.【考點】數(shù)列的應用【分析】（1）由題意，且，即可求出x的取值范圍；（2）由題意，an=a1+（n1）d， =1+，根據(jù)“緊密數(shù)列”的定義即可證明結(jié)論；（3）先設公比是q并判斷出q1，由等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式化簡，根據(jù)“緊密數(shù)列”的定義列出不等式組，再求出公比q的取值范圍【解答