1數(shù)學(xué)建模過程說明.ppt

第一章建立數(shù)學(xué)模型 1 1從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型1 2數(shù)學(xué)建模的重要意義1 3數(shù)學(xué)建模示例1 4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1 5數(shù)學(xué)模型的特點和分類1 6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模 玩具 照片 飛機(jī) 火箭模型 實物模型 水箱中的艦艇 風(fēng)洞中的飛機(jī) 物理模型 地圖 電路圖 分子結(jié)構(gòu)圖 符號模型 模型是為了一定目的 對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮 抽象 提煉出來的原型的替代物 模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征 1 1從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型 我們常見的模型 你碰到過的數(shù)學(xué)模型 航行問題 用x表示船速 y表示水速 列出方程 答 船速每小時20千米 小時 甲乙兩地相距750千米 船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時 從乙到甲逆水航行需50小時 問船的速度是多少 x 20y 5 航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡化假設(shè) 船速 水速為常數(shù) 用符號表示有關(guān)量 x y表示船速和水速 用物理定律 勻速運動的距離等于速度乘以時間 列出數(shù)學(xué)式子 二元一次方程 求解得到數(shù)學(xué)解答 x 20 y 5 回答原問題 船速每小時20千米 小時 數(shù)學(xué)模型 MathematicalModel 和數(shù)學(xué)建模 MathematicalModeling 對于一個現(xiàn)實對象 為了一個特定目的 根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律 作出必要的簡化假設(shè) 運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具 得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 建立數(shù)學(xué)模型的全過程 包括表述 求解 解釋 檢驗等 數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)建模 1 2數(shù)學(xué)建模的重要意義 電子計算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透 數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步 越來越受到人們的重視 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地 在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具 數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域 為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地 數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用 分析與設(shè)計 預(yù)報與決策 控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理 數(shù)學(xué)建模 計算機(jī)技術(shù) 知識經(jīng)濟(jì) 1 3數(shù)學(xué)建模示例 1 3 1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎 問題分析 模型假設(shè) 通常 三只腳著地 放穩(wěn) 四只腳著地 四條腿一樣長 椅腳與地面點接觸 四腳連線呈正方形 地面高度連續(xù)變化 可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面 地面相對平坦 使椅子在任意位置至少三只腳同時著地 模型構(gòu)成 用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來 椅子位置 利用正方形 椅腳連線 的對稱性 用 對角線與x軸的夾角 表示椅子位置 四只腳著地 距離是 的函數(shù) 四個距離 四只腳 A C兩腳與地面距離之和 f B D兩腳與地面距離之和 g 兩個距離 椅腳與地面距離為零 正方形ABCD繞O點旋轉(zhuǎn) 用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來 f g 是連續(xù)函數(shù) 對任意 f g 至少一個為0 數(shù)學(xué)問題 已知 f g 是連續(xù)函數(shù) 對任意 f g 0 且g 0 0 f 0 0 證明 存在 0 使f 0 g 0 0 模型構(gòu)成 地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置至少三只腳著地 模型求解 給出一種簡單 粗糙的證明方法 將椅子旋轉(zhuǎn)900 對角線AC和BD互換 由g 0 0 f 0 0 知f 2 0 g 2 0 令h f g 則h 0 0和h 2 0 由f g的連續(xù)性知h為連續(xù)函數(shù) 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) 必存在 0 使h 0 0 即f 0 g 0 因為f g 0 所以f 0 g 0 0 評注和思考 建模的關(guān)鍵 假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì) 考察四腳呈長方形的椅子 和f g 的確定 1 3 2商人們怎樣安全過河 問題 智力游戲 3名商人 3名隨從 隨從們密約 在河的任一岸 一旦隨從的人數(shù)比商人多 就殺人越貨 但是乘船渡河的方案由商人決定 商人們怎樣才能安全過河 問題分析 多步?jīng)Q策過程 決策 每一步 此岸到彼岸或彼岸到此岸 船上的人員 要求 在安全的前提下 兩岸的隨從數(shù)不比商人多 經(jīng)有限步使全體人員過河 模型構(gòu)成 xk 第k次渡河前此岸的商人數(shù) yk 第k次渡河前此岸的隨從數(shù) xk yk 0 1 2 3 k 1 2 sk xk yk 過程的狀態(tài) S x y x 0 y 0 1 2 3 x 3 y 0 1 2 3 x y 1 2 S 允許狀態(tài)集合 uk 第k次渡船上的商人數(shù) vk 第k次渡船上的隨從數(shù) dk uk vk 決策 D u v u v 1 2 允許決策集合 uk vk 0 1 2 k 1 2 sk 1 skdk 1 k 狀態(tài)轉(zhuǎn)移律 求dk D k 1 2 n 使sk S 并按轉(zhuǎn)移律由s1 3 3 到達(dá)sn 1 0 0 多步?jīng)Q策問題 模型求解 窮舉法 編程上機(jī) 圖解法 狀態(tài)s x y 16個格點 允許決策 移動1或2格 k奇 左下移 k偶 右上移 s1 sn 1 d1 d11給出安全渡河方案 評注和思考 規(guī)格化方法 易于推廣 考慮4名商人各帶一隨從的情況 允許狀態(tài) S x y x 0 y 0 1 2 3 x 3 y 0 1 2 3 x y 1 2 背景 世界人口增長概況 中國人口增長概況 研究人口變化規(guī)律 控制人口過快增長 1 3 3如何預(yù)報人口的增長 指數(shù)增長模型 馬爾薩斯提出 1798 常用的計算公式 x t 時刻t的人口 基本假設(shè) 人口 相對 增長率r是常數(shù) 今年人口x0 年增長率r k年后人口 隨著時間增加 人口按指數(shù)規(guī)律無限增長 指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性 與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合 適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預(yù)測 不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律 不能預(yù)測較長期的人口增長過程 19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù) 阻滯增長模型 Logistic模型 人口增長到一定數(shù)量后 增長率下降的原因 資源 環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用 且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大 假設(shè) r 固有增長率 x很小時 xm 人口容量 資源 環(huán)境能容納的最大數(shù)量 x t S形曲線 x增加先快后慢 阻滯增長模型 Logistic模型 參數(shù)估計 用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報 必須先估計模型參數(shù)r或r xm 利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合 例 美國人口數(shù)據(jù) 單位 百萬 專家估計 阻滯增長模型 Logistic模型 模型檢驗 用模型計算2000年美國人口 與實際數(shù)據(jù)比較 實際為281 4 百萬 模型應(yīng)用 預(yù)報美國2010年的人口 加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù) Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用 如耐用消費品的售量 阻滯增長模型 Logistic模型 數(shù)學(xué)建模的基本方法 機(jī)理分析 測試分析 根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識 找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律 將對象看作 黑箱 通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析 找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型 機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法 主要通過實例研究 CaseStudies 來學(xué)習(xí) 以下建模主要指機(jī)理分析 二者結(jié)合 用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu) 用測試分析確定模型參數(shù) 1 4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 數(shù)學(xué)建模的一般步驟 模型準(zhǔn)備 了解實際背景 明確建模目的 搜集有關(guān)信息 掌握對象特征 形成一個比較清晰的 問題 模型假設(shè) 針對問題特點和建模目的 作出合理的 簡化的假設(shè) 在合理與簡化之間作出折中 模型構(gòu)成 用數(shù)學(xué)的語言 符號描述問題 發(fā)揮想像力 使用類比法 盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具 數(shù)學(xué)建模的一般步驟 模型求解 各種數(shù)學(xué)方法 軟件和計算機(jī)技術(shù) 如結(jié)果的誤差分析 統(tǒng)計分析 模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析 模型分析 模型檢驗 與實際現(xiàn)象 數(shù)據(jù)比較 檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?適用性 模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟 數(shù)學(xué)建模的全過程 現(xiàn)實對象的信息 數(shù)學(xué)模型 現(xiàn)實對象的解答 數(shù)學(xué)模型的解答 歸納 演繹 表述 求解 解釋 驗證 根據(jù)建模目的和信息將實際問題 翻譯 成數(shù)學(xué)問題 選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答 將數(shù)學(xué)語言表述的解答 翻譯 回實際對象 用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答 實踐 現(xiàn)實世界 數(shù)學(xué)世界 1 5數(shù)學(xué)模型的特點和分類 模型的逼真性和可行性 模型的漸進(jìn)性 模型的強健性 模型的可轉(zhuǎn)移性 模型的非預(yù)制性 模型的條理性 模型的技藝性 模型的局限性 數(shù)學(xué)模型的特點 數(shù)學(xué)模型的分類 應(yīng)用領(lǐng)域 人口 交通 經(jīng)濟(jì) 生態(tài) 數(shù)學(xué)方法 初等數(shù)學(xué) 微