0324命題與證明-----講義.doc

課題命題與證明講義教學目標1、定義、命題、公理、定理的概念2、證明的方法的學習3、反證法的學習。重點教學的重點反證法的熟練應用難點證明的直接方法及其反證法的熟練應用命題與證明的知識點總結(jié)一、 知識結(jié)構(gòu)梳理 1定義： （1）概念 ； （2）分類2命題 假命題（可通過 來說明） （3）形式：命題都可寫成 的形式。命題與證明（4）互逆命題（1）公理： 3. 公理與定理（2）定理： （1）概念： 4. 證明 理解題意，畫出 （2）證明命題的一般步驟 寫出已知， 寫出 （3）反正法二、知識點歸類知識點 定義的概念 對于一個概念特征性質(zhì)的描述叫做這個概念的定義。如：“兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離”是“兩點之間的距離”的定義。注意：定義必須嚴密的，一般避免使用含糊不清的語言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定義中出現(xiàn)。例1 在下列橫線上，填寫適當?shù)母拍睿海?）連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫作三角形的 ；（2）能夠完全重合的兩個圖形叫做 ；（3）兩組對邊分別平行的四邊形叫做 ；例2 敘述概念的定義（1）數(shù)軸； （2）等腰三角形規(guī)定了原點（origin），正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸有兩邊相等的三角形是等腰三角形知識點 命題知識點一 命題的概念敘述一件事情的句子（陳述句），要么是真的，要么是假的，那么稱這個陳述句是一個命題。 如“你是一個學生”、“我們所使用是教科書是湘教版的”等。注意：（1）命題必須是一個完整的句子。 （2）這個句子必須對某事情作出肯定或者否定的判斷，二者缺一不可。例 下列句子中不是命題的是( )A 明天可能下雨 B 臺灣是中國不可分割的部分C 直角都相等 D 中國是2008年奧運會的舉辦國 知識點二 真命題與假命題 如果一個命題敘述的事情是真的，那么稱它是真命題；如果一個命題敘述的事情是假的，那么稱它是假命題 注意：真、假命題的區(qū)別就在于其是否是正確的，在判斷命題的真假時，要注意把握這點。 例 下列命題中的真命題是（ ）A 銳角大于它的余角 B 銳角大于它的補角C 鈍角大于它的補角 D 銳角與鈍角等于平角知識點三 命題的結(jié)構(gòu)每個命題都有條件和結(jié)論兩部分組成。條件是已知的事項，結(jié)論是由已知事項推斷出的事項。一般地，命題都可以寫出“如果-，那么-”的形式。有的命題表面上看不具有“如果-，那么-”的形式，但可以寫成這種形式。如：“對頂角相等”，改寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”。例 把下列命題改寫成“如果-，那么-”的形式，并指出條件與結(jié)論。1、同角的余角相等 2、兩點確定一條直線知識點四 證明及互逆命題的定義1、 從一個命題的條件出發(fā)，通過講道理（推理），得出它的結(jié)論成立，這個過程叫作證明。注意：證明一個命題是假命題的方法是舉反例，即找出一個例子，它符合命題條件，但它不滿足命題的結(jié)論，從而判斷這個命題是假命題。2、 一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，這兩個命題稱為互逆的命題，其中的一個命題叫作另一個命題的逆命題。注意：一個命題為真不能保證它的逆命題為真，逆命題是否為真，需要具體問題具體分析。例 說出下列命題的逆命題，并指出它們的真假。（1）直角三角形的兩銳角互余； （2）全等三角形的對應角相等。公理與定理知識點一 公理與定理數(shù)學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其它命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理。以基本定義和公理作為推理的出發(fā)點，去判斷其他命題的真假，已經(jīng)判斷為真的命題稱為定理。注意：（1）公理是不需要證明的，它是判斷其他命題真假的依據(jù)，定理是需要證明； (2 ) 定理都是真命題，但真命題不一定都是定理。例 填空：（1）同位角相等，則兩直線 ；（2）平面內(nèi)兩條不重合的直線的位置關系是 ；（3） 四邊形是平行四邊形。知識點二 互逆定理 如果一個定理的逆命題也是定理，那么稱它是原來定理的逆定理，這兩個定理稱為互逆定理。注意：每個命題都有逆命題，但并非所有的定理都有逆定理。如：“對頂角相等”就沒逆定理。證明知識點一 證明的含義從一個命題的條件出發(fā)，通過講道理（推理），得出它的結(jié)論成立，從而判定該命題為真，這個過程叫做證明。注意：（1）證明一個命題時，首先要分清命題條件和結(jié)論，其次要從已知條件出發(fā)，運用定義、公理、定理進行推理，得出結(jié)論。 （2）證明的過程必須做到步步有據(jù)。知識點二 命題的證明證明幾何命題的表述格式：（1）按題意畫出圖形；（2）分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，在“已知”中寫條件，在“求證”中寫出結(jié)論；（3）在“證明”中寫出推理過程。知識點三 折疊問題1、 同旁，與其重疊或不重疊；顯然，“折”是過程，“疊”是結(jié)果。折疊，就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折180，使它與另一部分在這條直線的兩側(cè)2、 折疊的性質(zhì)：折疊不改變圖形的大小和形狀，即折疊部分在折疊前后是全等的圖形，滿足公理“軸反射”知識點四 反證法從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。反證法的關鍵在于反設所證命題的結(jié)論。適用范圍：證明一些命題，且正面證明有困難，情況多或復雜，而否定則比較簡單。反證法證題步驟：（1）假設命題的結(jié)論不成立，即假設命題結(jié)論的反面成立；（2）從假設出發(fā)，經(jīng)過推理，得出矛盾；（3）由矛盾判斷假設不正確，從而肯定命題的結(jié)論成立。例 在 ABC中，A 、B 、C是它的三個內(nèi)角。求證：在A 、B、 C中不可能有兩個直角。證明題1. 已知：（如圖）MN/PQ，ACPQ，BD、AC相交于點E，且DE2AB求證：DBCABC2. 如圖，已知ABC中，AD平分BAC，AB+BDAC求證：B2C3. 如圖，ABC中，AD平分BAC，BECE，過點E作GHAD，交AC、以及AD、AB的延長線于H、F、G求證：AC2BG+AB4. 如圖，已知，求證：。 5. 如圖，AB / CD，MP / AB， MN平分，求的度數(shù)。 6. 已知，如圖DE / BF，BE / DF，AD / BC，AB / DC，求證：（1），（2）7. 如圖，已知AB / CD，EF平分，求和的度數(shù)。8. 已知如圖，直線AB / CD，求的度數(shù)。9.命題：已知如圖所示，正方形ABCD的對角線的交點為O，E是AC上一點，AGEB，垂足為G，AG交BD于F，則OE=OF（1）證明上述命題（2）對上述命題，若點E在AC的延長線上，AGEB交EB的延長線于點G，AG的延長線交DB的延長線于點F，其他條件不變，如圖所示，則結(jié)論“OEOF”還成立嗎？若成立，請你證明，若不成立請說明理由10.求證：形如4n+3的整數(shù)P（n為整數(shù)）不能化為兩個整數(shù)的平方和反證法1用反證法證明命題“若a，bN，ab能被5整除，則a，b中至少有一個能被5整除”2用反證法證明：一個三角形內(nèi)，不能有兩個鈍角3用反證法證明：有理數(shù)與無理數(shù)的和一定是無理數(shù)4已知方程ax2bxc=0，且a、b、c都是奇數(shù)，求證方程沒有整數(shù)根5、已知：如圖于M.于N.求證：6、 設都是整數(shù)， 能被3整除，求證：和都能被3整除.7、求證：兩條相交直線只有一個交點.8、已知:a,b是實數(shù),且滿足ab=0,求證:a、b中至少有一個為09、求證：若n為自然數(shù)，則不能被15整除10、求證:一個三角形中，至少有一個內(nèi)角不小于11、證明:過已知直線外一點只有一條直線與已知直線平行12、證明：當時，13、證明:在中,若是直角,則一定是銳角.14、已知，且。求證：中至少有一個小于2。15、已知實數(shù)滿足不等式（,用反證法證明：關于 x的方程無實根.16.在同一平面內(nèi)，平行于同一直線的兩條不同直線必定平行17.如圖3121在ABC中，A的外角平分線與BC的延長線交于E，求證：ABAC18. 求證：當x2+bx+c2=0有兩個不相等的非零實數(shù)根時，必有bc019.證明：x2-xy+y2+x+y不可能分解為兩個一次因式的乘積20.證明：不是有理數(shù)21. 已知點E，F(xiàn)，G，H分別在單位正方形ABCD的四邊上(圖 22.已知m，n，p都是正整數(shù)，求證：在三個數(shù)中，至多有一個數(shù)不小于124ABC中，BEAC于E，CFAB于F，且BE=CF，求證：AB=AC 25如圖3123D點在ABC的內(nèi)部，AB=AC，DBDC，求證：ADBADC26實數(shù)a，b，c滿足a+b+c0，ab+bc+ac0，且abc0試證：a，b，c都是正數(shù)27已知abc，且a+b+c=0，則二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實根28. 29.求證:在一個三角形中,至少有一個內(nèi)角小