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文檔簡介
橢圓的幾何性質教學案例一、教案背景1.面向對象:高二學生 2.學科:數(shù)學3.課題:橢圓的幾何性質4.課時:3課時5.課前準備:(1)學生預習本節(jié)內容,了解橢圓的范圍、對稱性和頂點。(2)教師準備課件。二、教材分析橢圓的幾何性質是蘇教版選修1-1的內容。本節(jié)課是在學生學習了橢圓的定義和標準方程的基礎上,由橢圓方程出發(fā)研究橢圓的幾何性質。這是學生第一次利用方程研究曲線的幾何性質,要注意對研究結果的掌握,更要重視對研究方法的學習。本節(jié)課使學生感受“數(shù)”和“形”的對立統(tǒng)一,是研究雙曲線和拋物線幾何性質的基礎,起著承上啟下的作用。 三、教學目標知識目標1.通過對橢圓標準方程的討論,讓學生掌握橢圓的幾何性質。2.領會橢圓幾何性質的內涵,并會運用它們解決一些簡單問題。3.通過對方程的討論,讓學生領悟解析幾何是怎樣用代數(shù)方法研究曲線性質的。能力目標1.培養(yǎng)學生觀察、分析、抽象、概括的能力。2.滲透數(shù)形結合、類比等數(shù)學思想。3.強化學生的參與意識,培養(yǎng)學生的合作精神。情感目標1.通過自主探究、交流合作,使學生體驗探究的過程,從中體會學習的愉悅,激發(fā)學生的學習積極性。2.通過數(shù)與形的辨證統(tǒng)一,對學生進行辯證唯物主義教育。3.通過感受橢圓方程結構的和諧美和橢圓曲線的對稱美,培養(yǎng)學生良好的思維品質,激發(fā)學生對美好事物的追求。四、教學重點與難點重點:掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點等簡單幾何性質。難點:利用橢圓的標準方程探究橢圓的幾何性質。五、學法、教法與教學用具1.學法:(1)自主探究+合作學習:教師設置問題,鼓勵學生從橢圓的標準方程出發(fā),自主探究,合作交流,發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律和問題解決的途徑,使學生經歷知識形成的過程。(2)反饋練習法:以練習來檢驗知識的應用情況,找出掌握不足的內容以及存在的差距。2.教法:本節(jié)課采用自主探究、合作交流相結合的教學方法,運用多媒體教學手段,通過設置問題,讓學生在獨立思考的基礎上合作交流,加強知識發(fā)生過程的教學。在思考、探索和交流的過程中得到橢圓的幾何性質,充分體現(xiàn)學生的主體地位。3.教學用具:電腦、多媒體。六、授課類型 新授課七、教學過程(一)復習:(1)橢圓的定義(2)橢圓的標準方程(3)橢圓中三者之間的關系(二)新授:問題1:觀察橢圓的標準方程,它有什么特點? 生:橢圓方程是關于的二元二次方程;方程左邊是平方和的形式,右邊是常數(shù)1;方程中和的系數(shù)不相等。設計意圖:為利用方程研究橢圓的幾何性質做準備。讓學生感受橢圓方程結構的和諧美。(1)橢圓的范圍問題2:自主探究:結合橢圓標準方程的特點,請大家思考,在方程中,如何確定的范圍?生1:由可得,即,所以。同理可得。生2:還可以把看成,利用三角函數(shù)的有界性來考慮的范圍。生3:橢圓的標準方程表示兩個非負數(shù)的和為1,那么這兩個數(shù)都不大于1,所以,從而。同理可得的范圍。 設計意圖:由于問題1的設置,學生的思維在這兒很活躍,除了教材中的方法外,很多同學都能想到其它方法,訓練了學生的發(fā)散思維。強化學生的參與意識,培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力。問題3:由的范圍、的范圍,我們能進一步說明橢圓所處的范圍嗎?生:橢圓位于直線和所圍成的矩形內。設計意圖:結合多媒體展示橢圓的范圍,讓學生直觀感知,體現(xiàn)數(shù)形結合思想。(多媒體展示)練習1:討論下列橢圓的范圍:; 。設計意圖:橢圓范圍的簡單應用。(2)橢圓的對稱性:問題4:自主探究:觀察橢圓的標準方程,請大家利用方程研究橢圓的對稱性。生:在方程中,把換成,方程不變問題5:方程不變,說明什么問題,如何用語言表述出來?生:當點在橢圓上,點關于軸的對稱點也在橢圓上。而是曲線上任意一點,所以橢圓關于軸對稱。同理可得,橢圓關于軸對稱,關于原點對稱。(學生鼓掌!)設計意圖:訓練學生語言表述的邏輯性、完整性和推理的嚴謹性。從對稱性的本質入手,探究橢圓的對稱性。多媒體課件展示橢圓的對稱性,使學生體會橢圓的對稱美。多媒體展示橢圓的對稱性后總結:對于橢圓來說,坐標軸是它的對稱軸,坐標原點是它的對稱中心,對稱中心也叫橢圓的中心。 (多媒體展示)練習2:探究曲線的對稱性,并畫出曲線的圖象。設計意圖:讓學生接觸不同形式的曲線,檢驗對曲線對稱性的理解。讓學生感受利用對稱性可簡化作圖過程,感悟知識的應用。(3)橢圓的頂點問題6:自主探究:觀察橢圓的標準方程,請大家利用方程求出橢圓與對稱軸的交點坐標。生:令,得,說明點,是橢圓與軸的兩個交點。同理,點,是橢圓與軸的兩個交點??偨Y并給出頂點的定義(強調是與橢圓與對稱軸的交點)。結合多媒體展示的橢圓圖形指出長軸、短軸、長軸長、短軸長、長半軸長、短半軸長,點明方程中的幾何意義和數(shù)量關系。 (多媒體展示)練習3:如圖,已知橢圓的長軸和短軸,怎樣確定橢圓焦點的位置?設計意圖:深化對橢圓概念的理解。鞏固橢圓長軸、短軸的概念??疾鞕E圓中的幾何意義。體會數(shù)形結合的數(shù)學思想。(三)(多媒體展示)例題精講:例1.求橢圓的長軸長、短軸長、焦距、焦點、頂點、外切矩形的面積。變式:若橢圓方程變?yōu)槟??設計意圖:鞏固學生對研究方法的掌握。學會運用橢圓的幾何性質。培養(yǎng)學生用類比的思想解決問題的能力。體會橢圓的性質與坐標系的選擇無關。例2.已知橢圓的中心在原點,對稱軸為坐標軸,焦點在軸上,長軸是短軸的倍,焦距為。求橢圓的方程。變式:如果去掉“焦點在軸上”呢?設計意圖:運用幾何性質、待定系數(shù)法求橢圓的方程。體會分類討論的數(shù)學思想。(四)小結: 1.知識:多媒體展示有關橢圓性質的表格,學生口答。2.數(shù)學思想:本節(jié)課運用了數(shù)形結合和類比的數(shù)學思想研究橢圓的幾何性質。3.數(shù)學方法:掌握利用曲線方程研究曲線性質的方法解析法。(五)作業(yè)布置:1.(1)畫出下列橢圓的圖象:; 。(2)觀察橢圓的圖象,形狀有什么變化?設計意圖:考察學生是否能應用幾何性質,快速畫出圖形。引導學生自主研究橢圓的另一條性質離心率。2.當橢圓的標準方程為時,結論如何?設計意圖:培養(yǎng)學生用類比思想解決問題的能力。八、教學反思1.教學內容:問題方面:在問題1的基礎上,問題2活躍了學生的思路,訓練了學生的發(fā)散思維;問題5對于學生來說有難度,用了較長時間思考、討論。練習方面:練習3讓學生措手不及,幾何意義的出現(xiàn)讓學生感到驚喜。練習1及例題的變式比較成功的為作業(yè)2埋下伏筆。2.教學思路:問題1的設置體現(xiàn)了利用方程研究曲線的教學思路,在三個性質的研究中,堅持從橢圓方程出發(fā),研究橢圓的幾何性質,培養(yǎng)學生利用方程研究曲線性質的能力。3.教學方法:本節(jié)課通過設置問題,給學生足夠的時間獨立思考、合作交流,探究橢圓的幾何性質,使他們經歷數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程,激發(fā)學生對數(shù)學的學習興趣,培養(yǎng)學生的數(shù)學交流能力、探索能力和邏輯思維能力。4.運用多媒體的優(yōu)勢:學生從“數(shù)”的角度研討橢圓的幾何性質,教師用多媒體作相應展示,讓學生感受“數(shù)”和“形”的對立統(tǒng)一,滲透運動變化、相互聯(lián)系、相互轉化的辯證唯物主義觀點?!緟⒖嘉墨I】1霍文明.200
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