2013 年自主招生專題第一講 集合與命題.doc

2013 年自主招生專題第一講 ：集合與命題第一部分 近年來(lái)自主招生數(shù)學(xué)試卷解讀近年來(lái)名牌高校自主招生考試競(jìng)爭(zhēng)愈演愈烈，了解自主招生考試特點(diǎn)，合理安排日常學(xué)習(xí)，積極備考對(duì)各位考生意義重大。下面簡(jiǎn)要分析一下自主招生數(shù)學(xué)考試的特點(diǎn) ，并對(duì)一些有代表性的試題作簡(jiǎn)要分析。 自主招生試題特點(diǎn)：試題總難度高于高考，多數(shù)題目達(dá)到高考中高難度，部分題目達(dá)到競(jìng)賽難度，試題靈活多變，毫無(wú)規(guī)律可尋，但各個(gè)學(xué)校的試題已經(jīng)開(kāi)始形成各自的風(fēng)格?？偟膩?lái)說(shuō)，函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、排列組合等內(nèi)容是高頻考點(diǎn)。應(yīng)試策略：1、注重基礎(chǔ)：一般說(shuō)來(lái)，自主招生中，中等難度題目分?jǐn)?shù)比例大約60% 左右。 2、聯(lián)系教材，適度拓寬知識(shí)面：注意課本上的自主.探究和閱讀材料，對(duì)和大學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系緊密的內(nèi)容進(jìn)行深度挖掘。自主招生中，有不少試題都來(lái)源于這些材料。 3、掌握競(jìng)賽數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和解題技巧，著重培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力。 4、考前進(jìn)行模擬訓(xùn)練，熟悉每個(gè)高校的命題特點(diǎn)，掌握答題技巧。高頻考點(diǎn)一覽：不等式均值不等式與柯西不等式的綜合運(yùn)用，凸函數(shù)的性質(zhì)，證明不等式的常用方法雜題常見(jiàn)的組合數(shù)學(xué)問(wèn)題（組合計(jì)算、組合構(gòu)造、博弈問(wèn)題、染色問(wèn)題）解析幾何解析幾何的基本運(yùn)算、取值范圍與最值問(wèn)題以及探索性問(wèn)題平面幾何平面幾何的基本計(jì)算和證明、三角形五心問(wèn)題、圖形變換函數(shù)函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性的證明與應(yīng)用三角函數(shù)一些具有技巧性的三角變換，三角恒等式和簡(jiǎn)單的三角不等式問(wèn)題立體幾何復(fù)雜的空間幾何構(gòu)型，空間范圍內(nèi)的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱等變換問(wèn)題排列組合比較具有技巧性的排列組合問(wèn)題和一些復(fù)雜的概率問(wèn)題方程和多項(xiàng)式高次方程，無(wú)理方程的技巧性處理，一些簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式知識(shí)數(shù)列非等比等差數(shù)列的遞推公式、通項(xiàng)公式、求和公式的常見(jiàn)解法一、 試題特點(diǎn)分析：1. 突出對(duì)思維能力和解題技巧的考查。關(guān)鍵步驟提示：2. 注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)和其它科目的整合，考查學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。關(guān)鍵步驟提示：二、 應(yīng)試和準(zhǔn)備策略1. 注意知識(shí)點(diǎn)的全面數(shù)學(xué)題目被猜中的可能性很小，一般知識(shí)點(diǎn)都是靠平時(shí)積累，因此，要求學(xué)生平時(shí)要把基礎(chǔ)知識(shí)打扎實(shí)。剩下的就是個(gè)人的現(xiàn)場(chǎng)發(fā)揮。2. 注意適當(dāng)補(bǔ)充一點(diǎn)超綱內(nèi)容如上面提及的一些平時(shí)不太注意的小章節(jié)或高考不一定考的問(wèn)題，如矩陣，行列式等也不可忽視。3. 適當(dāng)做近幾年的自主招生的真題俗話說(shuō)，知己知彼，百戰(zhàn)百勝。同學(xué)們可適當(dāng)?shù)赜?xùn)練近幾年自己所考的高校自主招生的試題，熟悉一下題型和套路還是有益的。4. 注重知識(shí)的延伸加深復(fù)旦，交大，清華等全國(guó)重點(diǎn)院校自主招生試題比高考試題稍難，比數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題又稍簡(jiǎn)單。有些問(wèn)題稍有一定的深度，這就要求考生平時(shí)注意知識(shí)點(diǎn)的延伸加深。例如2008年復(fù)旦自主招生的第88題：關(guān)鍵步驟提示：上式此題若是知道三次方程的韋達(dá)定理，則容易解決。但平時(shí)同學(xué)們對(duì)二次方程的韋達(dá)定理很熟悉，對(duì)三次方程的韋達(dá)定理則比較陌生。又比如，柯西不等式可以解決許多不等式問(wèn)題，但由于目前上海高考不考，所以很多高中生對(duì)此此不等式并不十分熟悉。但柯西不等式其實(shí)應(yīng)用得非常廣泛，我們將在不等式一講中將會(huì)介紹它?？傊瑢W(xué)們?nèi)羰亲⒁庖恍┲R(shí)點(diǎn)的延伸和加深，考試時(shí)必定會(huì)有一種居高臨下的感覺(jué)。第二部分：集合與命題一、 知識(shí)補(bǔ)充：容斥原理基本公式:(1)card(AB)card(A)card(B)card(AB)； (2)card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(AC)-card(BC)+card(ABC)問(wèn)題：開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一某班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時(shí)參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時(shí)參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒(méi)有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，問(wèn)同時(shí)參加田徑比賽和球類比賽的有多少人？只參加游泳一項(xiàng)比賽的有多少人？解：設(shè)A參加游泳比賽的同學(xué)，B參加田徑比賽的同學(xué)，C參加球類比賽的同學(xué),則card(A)=15，card(B)=8，card(C)=14，card(ABC)=28,且card(AB)=3，card(AC)=3，card(ABC)=0,由公式得281581433card(BC)+0,即card(BC)=3,所以同時(shí)參加田徑和球類比賽的共有3人，而只參加游泳比賽的人有15339(人) 二抽 屜 原 理抽屜原理的基本形式 定理1、如果把n+1個(gè)元素分成n個(gè)集合，那么不管怎么分，都存在一個(gè)集合，其中至少有兩個(gè)元素。 證明：（用反證法）若不存在至少有兩個(gè)元素的集合，則每個(gè)集合至多1個(gè)元素，從而n個(gè)集合至多有n個(gè)元素，此與共有n+1個(gè)元素矛盾，故命題成立。 例1 已知在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形內(nèi)（包括邊界）有任意五個(gè)點(diǎn)（圖1）。證明：至少有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離不大于.分析：5個(gè)點(diǎn)的分布是任意的。如果要證明“在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形內(nèi)（包括邊界）有5個(gè)點(diǎn)，那么這5個(gè)點(diǎn)中一定有距離不大于的兩點(diǎn)”，則順次連接三角形三邊中點(diǎn)，即三角形的三條中位線，可以分原等邊三角形為4個(gè)全等的邊長(zhǎng)為的小等邊三角形，則5個(gè)點(diǎn)中必有2點(diǎn)位于同一個(gè)小等邊三角形中（包括邊界），其距離便不大于。 以上結(jié)論要由定理“三角形內(nèi)（包括邊界）任意兩點(diǎn)間的距離不大于其最大邊長(zhǎng)”來(lái)保證，下面我們就來(lái)證明這個(gè)定理。如圖2，設(shè)BC是ABC的最大邊，P，M是ABC內(nèi)（包括邊界）任意兩點(diǎn)，連接PM，過(guò)P分別作AB、BC邊的平行線，過(guò)M作AC邊的平行線，設(shè)各平行線交點(diǎn)為P、Q、N，那么PQN=C，QNP=A因?yàn)锽CAB，所以AC，則QNPPQN，而QMPQNPPQN（三角形的外角大于不相鄰的內(nèi)角），所以 PQPM。顯然BCPQ，故BCPM。由此我們可以推知，邊長(zhǎng)為的等邊三角形內(nèi)（包括邊界）兩點(diǎn)間的距離不大于。 第三部分、典型例題1（1987年全國(guó)高中聯(lián)賽）已知集合若是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則a的值為 .解：點(diǎn)集A是頂點(diǎn)為（a，0），（0，a），（a，0），（0，a）的正方形的四條邊構(gòu)成（如圖111）.將，變形為所以，集合B是由四條直線構(gòu)成.欲使為正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成，只有這兩種情況.（1）當(dāng)時(shí)，由于正八形的邊長(zhǎng)只能為2，顯然有故 .（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)正八形邊長(zhǎng)為l，則這時(shí)，綜上所述，a的值為圖111如圖111中2.(2007年上海交大)設(shè)不等式與解集分別為M和N,若M是N的真子集,則的最小值為 .答案23.(2007年清華大學(xué))對(duì)于集合,稱M為開(kāi)集,當(dāng)且僅當(dāng),使得.判斷集合與是否為開(kāi)集,請(qǐng)證明你的結(jié)論.4.(2009年清華大學(xué))求證:一個(gè)數(shù)列中各數(shù)相等的充要條件是:其中任意個(gè)元素中的個(gè)之和等于另外個(gè)元素之和.5.(2006年清華大學(xué))求由正整數(shù)集組成的集合S,使S中的所有元素之和等于所有元素之積.答案:6. (2009年浙江大學(xué))已知，設(shè)二次函數(shù).證明：對(duì)任意均有成立的充要條件是.7. (2009年清華大學(xué))求證：當(dāng)p,q均為奇數(shù)時(shí)，拋物線與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為無(wú)理數(shù).8.(2009年北京大學(xué))是否存在,使與均為有理數(shù)?說(shuō)明理由.答案:不存在9. (2006年清華大學(xué))已知都是有理數(shù)，也是有理數(shù).證明：都是有理數(shù).10.(43屆美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽)設(shè)S為集合的子集，并且S中的任意2個(gè)元素之和不能被7整除，那么S中元素最多有多少個(gè)？答案：23個(gè)三、針對(duì)性訓(xùn)練1對(duì)集合1，2，n及其每一個(gè)非空了集，定義一個(gè)唯一確定的“交替和”如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后交替地減或加后繼的數(shù)所得的結(jié)果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。那么，對(duì)于n=7。求所有子集的“交替和”的總和。解：集合1，2，3，4，5，6，7的子集中，除去7外還有個(gè)非空子集合，把這個(gè)非空子集兩兩結(jié)組后分別計(jì)算每一組中“交替和”之和，結(jié)組原則是設(shè)這是把結(jié)合為一組，顯然，每組中，“交替和”之和應(yīng)為7，共有組.所以,所有“交替和”之和應(yīng)該為。2n元集合具有多少個(gè)不同的不交子集對(duì)？分析：我們一般想法是對(duì)于一個(gè)子集，求出與它不交的子集個(gè)數(shù)，然后就可以求出總的子集對(duì)來(lái)了。解：如果子集對(duì)是有序的，即在子集對(duì)中可以區(qū)分第一個(gè)子集與第二個(gè)子集，則第一個(gè)子集若是k個(gè)元素，第二個(gè)子集就由其余n-k個(gè)元素組成，可能的情況是種，而這時(shí)第一個(gè)集合的選取的可能情況應(yīng)為種，那么k從o變到n，總的情況可能就是。如果子集對(duì)是無(wú)序的，即兩個(gè)子集相同但次序不同的子集對(duì)不認(rèn)為不同，則對(duì)有序子集對(duì)中有一對(duì)是由兩個(gè)空集組成，而對(duì)其它個(gè)有序?qū)Γ恳粚?duì)中交換兩個(gè)子集的次序，得到的是同一個(gè)無(wú)序子集對(duì)，因此有個(gè)無(wú)序子集對(duì)，其中至少有一個(gè)子集非空，于是無(wú)序子集對(duì)的總數(shù)為分析二：我們可以從元素的角度來(lái)思考問(wèn)題。對(duì)一個(gè)元素來(lái)說(shuō)，它有三種不同的選擇，在第一個(gè)集合中，在第二個(gè)集合中，或者不在兩個(gè)集合中。解法二：在計(jì)算有序?qū)Φ臄?shù)目時(shí)，對(duì)每一個(gè)元素來(lái)說(shuō)有三種可能：它或在第一個(gè)子集，或在第二個(gè)子集，或不在其中任意一個(gè)子集，因此不同的不交有序子集對(duì)的總數(shù)，以下同解法一。3.以某些整數(shù)為元素的集合具有下列性質(zhì)：中的元素有正數(shù)，有負(fù)數(shù)；中的元素有奇數(shù),有偶數(shù)；1；若，,則。試判斷實(shí)數(shù)0和2與集合的關(guān)系。解：由若，,則可知，若，則（1） 由可設(shè)，且0，0，則| (|)故,由,0()+。（2）2。若2，則中的負(fù)數(shù)全為偶數(shù)，不然的話，當(dāng)（）（）時(shí)，1（），與矛盾。于是，由知中必有正奇數(shù)。設(shè)，我們?nèi)∵m當(dāng)正整數(shù)，使，則負(fù)奇數(shù)。前后矛盾。4.若為非空集合，對(duì)于1，2，3的任意一個(gè)排列，若，則（1） 證明：三個(gè)集合中至少有兩個(gè)相等。（2） 三個(gè)集合中是否可能有兩個(gè)集無(wú)公共元素？證明：（1）若，則所以每個(gè)集合中均有非負(fù)元素。當(dāng)三個(gè)集合中的元素都為零時(shí)，命題顯然成立。否則，設(shè)中的最小正元素為，不妨設(shè)，設(shè)為中最小的非負(fù)元素，不妨設(shè)則。若0,則0，與的取法矛盾。所以=0。任取因0,故0。所以，同理。所以=。（3） 可能。例如=奇數(shù)，=偶數(shù)顯然滿足條件，和與都無(wú)公共元素。5.設(shè)，且A具有下列性質(zhì)：（1）對(duì)任意，恒有；（2）。試證A中的元素為奇數(shù)的個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)，且為定值.證明：考慮，每個(gè)集合中取一個(gè)元素，但注意到2+4+200=1010010080，不妨設(shè)不屬于A的偶數(shù)為，則相應(yīng)的奇數(shù)應(yīng)在A中，且對(duì)應(yīng)差的和為20.6(2010年江蘇五校)已知集合Aa1，a2，a3，an，其中aiR（1in，n2），l(A)表示aiaj(1ijn)的所有不同值的個(gè)數(shù)（1）已知集合P2，4，6，8，Q2，4，8，16，分別求l(P)，l(Q)；（2）若集合A2，4，8，2n，求證：l(A)；（3）求l(A)的最小值解：（1）由246，268，2810，4610，4812，6814，得l(P)5，由246，2810，21618，4812，41620，81624，得l(Q)6 （2）證明：因?yàn)閍iaj(1ijn)共有項(xiàng)，所以l(A) 又集合A2，4，8，2n，不妨設(shè)am2m，m1，2， ，naiaj，akal(1ijn，1kln)，當(dāng)jl時(shí)，不妨設(shè)jl，則aiaj2 aj2j1alakal，即aiajakal，當(dāng)jl，ik時(shí)，aiajakal，因此，當(dāng)且僅當(dāng)ik，jl時(shí)，aiajakal即所有aiaj(1ijn)的值兩兩不同，因此l(A) （3）不妨設(shè)a1a2a3an，可得a1a2a1a3a1ana2ana3anan1an，故aiaj (1ijn)中至少有2n3個(gè)不同的數(shù)，即l(A)2n3 事實(shí)上，設(shè)a1，a2，a3，an成等差數(shù)列，考慮aiaj (1ijn)，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，當(dāng)ijn時(shí)， aiaja1aij1；當(dāng)ijn時(shí)， aiajaijnan；因此每個(gè)和aiaj(1ijn)等于a