數(shù)學(xué)理卷·2014屆湖北省宜昌市高三5月模擬考試(201405).doc

宜昌市2014屆高三年級五月模擬考試試題數(shù) 學(xué)（理工類）【試卷綜析】本套試題，具體來說比較平穩(wěn)，遵照高考考試大綱和考試大綱說明的要求，從題型設(shè)置、考察知識的范圍等方面保持穩(wěn)定，試題難度適中，基本符合高考復(fù)習(xí)的特點(diǎn)，穩(wěn)中有變，變中求新,適當(dāng)調(diào)整了試卷難度，體現(xiàn)了穩(wěn)中求進(jìn)的精神?？疾楦咧袛?shù)學(xué)基本概念、基本技能和基本方法等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，突出三基，強(qiáng)化三基的同時，突出了對學(xué)生能力的考查，注重了對學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合、重點(diǎn)知識的考查，并達(dá)到了必要的深度，考查的知識涉及到函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、排列組合、概率、復(fù)數(shù)等幾章知識，重視學(xué)科基礎(chǔ)知識和基本技能的考察，同時側(cè)重考察了學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和思維能力的考察，有相當(dāng)一部分的題目靈活新穎，知識點(diǎn)綜合與遷移。且都是從中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、重點(diǎn)內(nèi)容、基本方法出發(fā)，在知識的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)命題，解答題實(shí)行了分步把關(guān)，層層遞進(jìn)，讓不同層次的同學(xué)都能展示自身的綜合素質(zhì)和綜合能力。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求. 【題文】若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，其中m是實(shí)數(shù)，則A.i B.-i. C.2i D. -2i.【答案】【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算.【答案解析】 C 解析：解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z為純虛數(shù)，所以解得m=10，則,即，故選C.【思路點(diǎn)撥】先通過復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，解出m=10，再代入化簡即可.【題文】集合，則集合S的個數(shù)為 A.8 B.4 C.2 D.0 【答案】【知識點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；交集及其運(yùn)算【答案解析】 B 解析：解：log2（x+1）1log2（x+1）log22 ，故B=0，1，從0開始逐一驗(yàn)證自然數(shù)可知A=1，2，3，要使SA，SB，S中必含有元素1，可以有元素2，3，所以S只有1，1，2，1，3，1，2，3故選：B【思路點(diǎn)撥】首先化簡集合A和B，然后由條件可知S中必含有元素1，可以有元素2，3，從而得出結(jié)果【題文】總體由編號分別為01,02,19,20的20個個體組成。利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為 A.08 B.07 C.02 D.01 【答案】【知識點(diǎn)】簡單隨機(jī)抽樣【答案解析】 D 解析：解：從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右一次選取兩個數(shù)字開始向右讀，第一個數(shù)為65，不符合條件，第二個數(shù)為72，不符合條件，第三個數(shù)為08，符合條件，以下符合條件依次為：08，02，14，07，01，故第5個數(shù)為01故選D【思路點(diǎn)撥】從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右一次選取兩個數(shù)字開始向右讀即可.【典型總結(jié)】本題主要考查簡單隨機(jī)抽樣在隨機(jī)數(shù)表中每個數(shù)出現(xiàn)在每個位置的概率是一樣的，所以每個數(shù)被抽到的概率是一樣的【題文】函數(shù)有且僅有一個正實(shí)數(shù)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】【知識點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)【答案解析】 D 解析：解：當(dāng)m=0時，令f（x）=-2x+1=0，求得x= ，滿足條件當(dāng)m0時，函數(shù)f（x）=mx2-2x+1圖象是拋物線，且與y軸的交點(diǎn)為（0，1），由f（x）有且僅有一個正實(shí)數(shù)的零點(diǎn)，則得 對稱軸x= 0，且判別式=4-4m=0，求得m=1或者對稱軸x= 0，解得 m0綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍m|m=1，或m0故選D【思路點(diǎn)撥】當(dāng)m=0時，令f（x）=-2x+1=0，求得x= ，滿足條件當(dāng)m0時，函數(shù)f（x）=mx2-2x+1圖象是拋物線，且與y軸的交點(diǎn)為（0，1），由f（x）有且僅有一個正實(shí)數(shù)的零點(diǎn)，則得 對稱軸x= 0，且判別式=4-4m=0，或者對稱軸x= 0，分別求得m的范圍，再取并集，即可得實(shí)數(shù)m的取值范圍【典型總結(jié)】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的定義，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題【題文】函數(shù)的圖象向左平移個單位后關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)在上的最小值為 A. B. C. D. 【答案】【知識點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換【答案解析】 A 解析：解：函數(shù)f（x）=sin（2x+）（|）的圖象向左平移個單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為 y=sin2（x+）+=sin（2x+）再由所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得y=sin（2x+）為奇函數(shù)，故 +=k，kz，=-可得 函數(shù)f（x）=sin（2x-）故選A【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換可求，最后得到結(jié)果.【題文】給出下列四個結(jié)論：由曲線、圍成的區(qū)域的面積為； “”是“向量與向量平行”的充分非必要條件； 命題“a、b都是有理數(shù)”的否定是“a、b都不是有理數(shù)”；函數(shù)的最小值等于4。其中正確結(jié)論的個數(shù)為A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】【知識點(diǎn)】定積分的計(jì)算；向量平行充要的條件；命題的否定；基本不等式.【答案解析】 A 解析：解：由曲線、圍成的區(qū)域的面積為,故錯誤；由向量平行的條件可得解得，所以“”是“向量與向量平行”的充分非必要條件；故正確.命題“a、b都是有理數(shù)”的否定是“a、b不都是有理數(shù)”； 故錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而無解，故錯誤；綜上，答案選A.【思路點(diǎn)撥】通過定積分的計(jì)算可判斷錯誤；利用向量平行充要的條件得到正確；由命題否定的形式判斷出錯誤；利用基本不等式時，必須同時滿足三個條件：“一正二定三相等”三個條件缺一不可.【題文】已知直線l和雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（與坐標(biāo)原點(diǎn)不重合），設(shè)直線l的斜率為 ，直線OM的斜率為，則A. B. C. D. 【答案】【知識點(diǎn)】直線與雙曲線相交問題；點(diǎn)差法.【答案解析】 D 解析：解：設(shè)，滿足雙曲線成立，則有，兩式相減得：即整理得故答案為D.【思路點(diǎn)撥】先設(shè)代入雙曲線方程，利用點(diǎn)差法即可.【題文】某班班會準(zhǔn)備從含有甲、乙、丙的7名學(xué)生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，若甲、乙同時參加時，丙不能參加，且甲、乙兩人的發(fā)言順序不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序有 A.484種 B.552種 C.560種 D.612種【答案】【知識點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.【答案解析】 B 解析：解：（1）甲乙兩人只有一人參加的順序有=480，(2) 甲、乙同時參加時有=72;故不同的發(fā)言順序有552種.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意分類即可.【題文】在三棱錐中，PABC.PA.平面ABC，ACBC.，為側(cè)棱上的一點(diǎn)，它的正視圖和側(cè)視圖如圖所示： 則下列命題正確的是 A. ，且三棱錐D- ABC的體積為B. ，且三棱錐D-ABC的體積為C. ，且三棱錐D-ABC的體積為D. ，且三棱錐D-ABC的體積為【答案】【知識點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；命題的真假判斷與應(yīng)用；簡單空間圖形的三視圖【答案解析】 A 解析：解：PA平面ABC，PABC，又ACBC，PAAC=A，BC平面PAC，BCAD，又由三視圖可得在PAC中，PA=AC=4，D為PC的中點(diǎn)，ADPC，AD平面PBC又BC=4，ADC=90，BC平面PAC故VDABCVBADC【思路點(diǎn)撥】先證明出BCAD，再由三視圖結(jié)合已知證得，BC平面PAC最后用體積轉(zhuǎn)化VDABCVBADC即可得到結(jié)果【典型總結(jié)】本題考查直線與平面垂直的判斷，幾何體的體積的求法，考查命題的真假的判斷與應(yīng)用【題文】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，若在區(qū)間上恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”已知,若對任意滿足的實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，則的最大值為 A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用【答案解析】 C 解析：解：（1）由題意可得在0，3上恒成立，解得m2m的取值范圍是（2，+）；（2）令對上恒成立，解得-1x1（b-a）max=1-（-1）=2【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可得在0，3上恒成立，解得m即可；（2）令對上恒成立，即轉(zhuǎn)化為看作關(guān)于m的一次函數(shù)，利用其單調(diào)性即可解得x即可【典型總結(jié)】正確把問題等價轉(zhuǎn)化和熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、一次函數(shù)和二次函數(shù)等是解題的關(guān)鍵【題文】如圖所示的程序框圖的輸出值，則輸入值x的取值范圍為_ 【答案】【知識點(diǎn)】程序框圖；分段函數(shù)；對數(shù)不等式的解法；指數(shù)不等式的解法.【答案解析】 解析：解：若解得；若解得，故答案為.【思路點(diǎn)撥】通過對程序框圖的判斷，可知是解關(guān)于x的對數(shù)不等式與指數(shù)不等式.【題文】 若a, b, c為正實(shí)數(shù)且滿足，則的最大值為_ 【答案】【知識點(diǎn)】一般形式的柯西不等式；平均值不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用【答案解析】 解析：解：由柯西不等式，當(dāng)且僅當(dāng)a+1=2b+1=3c+1即a=2，b=1，c= 時等號成立，的最大值為 【思路點(diǎn)撥】利用柯西不等式得（a2+b2+c2）（m2+n2+p2）（am+bn+cp）2進(jìn)行求解即可【題文】過點(diǎn)的直線與曲線相交于兩點(diǎn)A, B，則線段AB長度的取值范圍是_ 【答案】【知識點(diǎn)】數(shù)形結(jié)合的思想方法.【答案解析】 解析：解：曲線變形為或如圖所示：過（0,1）點(diǎn)的直線與曲線交于A,B時最短為，交于C,D時最長為4.故答案為【思路點(diǎn)撥】先把原曲線對應(yīng)的函數(shù)圖像畫出，再利用數(shù)形結(jié)合的思想方法即可得到結(jié)果.【題文】圖中的三角形稱為希爾賓斯三角形，在下列四個三角形中，黑色三角形的個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列的前四項(xiàng)，依此著色方案繼續(xù)對三角形著色. （1）數(shù)列的通項(xiàng)公式_；（2）若數(shù)列滿足，記，則M的個位數(shù)字是_ 【答案】【知識點(diǎn)】數(shù)列遞推式【答案解析】（1）（2）1 解析：解：（1）由圖形得：第2個圖形中有3個三角形，第3個圖形中有33個三角形，第4個圖形中有39個三角形，以此類推：第n個圖形中有3n-1個三角形（2）由題意可知：，代入M得,等式兩邊同時乘以2得化簡得,易知的余數(shù)為1，故M的余數(shù)為1.答案為1.【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)圖形的特點(diǎn)，每增加一個三角形應(yīng)在原來的基礎(chǔ)上再增加3倍個三角形，三角形的個數(shù)為：1，3，33，39，歸納出第n圖形中三角形的個數(shù)（2）由題意可知：，代入M化簡得,易知M的余數(shù)為1.【題文】（幾何證明選講）如圖，從圓O外一點(diǎn)A引圓的切線AD和割線ABC，已知AD，AC=6 ，圓O的半徑為3，則圓心O到AC的距離為 【答案】【知識點(diǎn)】圓的切線的判定定理的證明【答案解析】 解析：解：連接OB，過O點(diǎn)向AC引垂線，垂足為E，AD=2 ，AC=6，由切割線定理可得，AD2=ACAB，AB=2，BC=4，由垂徑定理得BE=2又R=OB=3，OE= ，故答案為：【思路點(diǎn)撥】要求圓心O到AC的距離，我們要先做出O點(diǎn)到AC的垂線段OE，則OE的長度即為所求，根據(jù)半徑、半弦長（BE）、弦心距（OE）構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，故我們要要求出半弦長（BE），根據(jù)切割線定理，我可以求出AB長，進(jìn)而得到BE，代入即可得到答案【題文】（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，單位長度不變，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，若直線l和曲線C相切，則實(shí)數(shù)k的值為_ 【答案】【知識點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；參數(shù)方程化成普通方程【答案解析】 1 解析：解：由，得直線l的普通方程為y=kx+1， 由，得2sin2=4cos，y2=4x，把y=kx+1代入y2=4x，得k2x2+（2k-4）x+1=0，由直線l和曲線C相切，得=（2k-4）2-4k2=0，解得k=1【思路點(diǎn)撥】把y=kx+1代入y2=4x，得k2x2+（2k-4）x+1=0，由直線l和曲線C相切，能求出實(shí)數(shù)k的值【題文】（本小題滿分12分）在ABC中，D是邊AC的中點(diǎn)，且AB=AD=1 ，BD= （1）求cosA的值； （2）求sinC的值 【答案】【知識點(diǎn)】余弦定理；正弦定理；平方關(guān)系.【答案解析】（1）（2） 解析：解：(1)在中,.4分(2)由(1)知,且.6分是邊的中點(diǎn),在中,.8分解得由正弦定理得12分【思路點(diǎn)撥】（1）在三角形中借助與余弦定理即可.（2）先用余弦定理解得再由正弦定理得即可.【題文】（本小題滿分12分）第22屆索契冬奧會期間，來自俄羅斯國際奧林匹克大學(xué)的男、女大學(xué)生共9名志愿者被隨機(jī)地平均分配到速滑、冰壺、自由式滑雪這三個崗位服務(wù)，且速滑崗位至少有一名女大學(xué)生志愿者的概率是 （1）求冰壺崗位至少有男、女大學(xué)生志愿者各一人的概率； （2）設(shè)X為在自由式滑雪崗位服務(wù)的男大學(xué)生志愿者的人數(shù)，求X的分布列和期望 【答案】【知識點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率；二項(xiàng)分布的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案解析】（1）（2）2 解析：解：(1)記至少一名女大學(xué)生志愿者被分到速滑崗位為事件A,則A的對立事件為“沒有女大學(xué)生志愿者被分到速滑崗位”,設(shè)有女大學(xué)生x人,那么.即女大學(xué)生志愿者有3人,男大學(xué)生志愿者有6人.3分記冰壺崗位至少有男女大學(xué)生志愿者各一人為事件B,則6分(2)X的所有可能值為0,1,2,3,.10分的分布列為X0123P12分【思路點(diǎn)撥】（1）記至少一名女大學(xué)生志愿者被分到速滑崗位為事件A,則A的對立事件為“沒有女大學(xué)生志愿者被分到速滑崗位”,設(shè)有女大學(xué)生x人,再由，可解的x=3,然后再求出.（2）依次求出當(dāng)X取0,1,2,3時的概率，再代入公式求出期望值即可.【題文】（本題滿分12分）如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A, B的點(diǎn)，平面PAC. ，PA=PC=AC=2，BC=4，E, F分別是PC, PB的中點(diǎn)，記平面AEF與平面ABC的交線為l （1）求證：直線l平面PAC； （2）直線l上是否存在點(diǎn)Q，使直線PQ分別與平面AEF、 直線EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，請說明理由 【答案】【知識點(diǎn)】線面平行的判定定理；線面垂直的判定定理；夾角公式.空間直角坐標(biāo)系，空間向量.【答案解析】（1）略（2）在上存在點(diǎn)Q,使直線分別與平面AEF、直線EF所成的角互余,AQ=1。.解析：解：(1)證明:E,F分別為PB,PC的中點(diǎn), 又.2分又.4分又.6分(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn), 所在的直線為x軸, 所在的直線為y軸,過C垂直面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則A(2,0,0),B(0,4,0),P(1,0, ),E(),F().7分,設(shè),平面AEF的法向量為,則即,令z=得到與平面AEF的一個法向量為.10分,依題意得,在上存在點(diǎn)Q,使直線分別與平面AEF、直線EF所成的角互余,AQ=1.12分【思路點(diǎn)撥】先利用已知條件得到，再結(jié)合相關(guān)結(jié)論證出即可得到結(jié)論 (2)先建立空間直角坐標(biāo)系.再取平面AEF的法向量為,然后計(jì)算出法向量為再由得到結(jié)論.【題文】（本小題滿分12分）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且數(shù)列的通項(xiàng)公式滿足（1）試確定實(shí)數(shù)t的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列； （2）當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時，對每個正整數(shù)k，在和之間插入個2，得到一個新數(shù)列。設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，試求滿足的所有正整數(shù)m.【答案】【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的定義；等比數(shù)列的性質(zhì).【答案解析】（1）略 （2） 解析：解：(1)當(dāng)n=1時得同理:n=2時,得時,得則由,得.而當(dāng)時,得,又故此數(shù)列為等差數(shù)列.6分(2)由題意知, ,則當(dāng)m=1時，不合題意,舍去;當(dāng)m=2時, 成立;當(dāng)時,若則不合題意,舍去;從而必是數(shù)列中的某一項(xiàng),則,.9分又所以，因?yàn)闉槠鏀?shù),而為偶數(shù),所以上式無解.即當(dāng)時, .綜上所述,滿足題意得正數(shù)僅有.12分【思路點(diǎn)撥】（1）由對于成立取n=1,2,3時得到即可；（2）由題意對m進(jìn)行取舍，然后在證明出當(dāng)時, ，故可得到結(jié)論.【題文】（本小題滿分13分）設(shè)橢圓的中心和拋物線的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，、的焦點(diǎn)均在x 軸上，過的焦點(diǎn)F作直線l，與交于A、B兩點(diǎn)，在、上各取兩個點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中： （1）求、的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知P、Q是上的兩點(diǎn)，若，求證：為定值；反之，當(dāng)為此定值時，是否成立？請說明理由【答案】【知識點(diǎn)】直線與曲線的位置關(guān)系；根與系數(shù)的關(guān)系.【答案解析】（1）（2）定值,為此定值時不一定成立解析：解：(1) 在橢圓上, 在拋物線上,.4分(2) 若P、Q分別為長軸和短軸的端點(diǎn),則.6分若P、Q都不為長軸和短軸的端點(diǎn),設(shè)OP: 那么OQ: 聯(lián)立方程解得.8分同理聯(lián)立方程,解得綜合可知為定值.10分反之,對于上的任意兩點(diǎn)P、Q,