立體幾何高考命題走向傳統(tǒng)與創(chuàng)新的有機(jī)結(jié)合.doc

立體幾何高考命題走向：傳統(tǒng)與創(chuàng)新的有機(jī)結(jié)合新課程下立體幾何命題特點(diǎn)淺析在新課程實(shí)施的大背景下，立體幾何高考命題是一道最富有特色的靚麗風(fēng)景線。作為中學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的主體內(nèi)容之一，立體幾何高考命題始終把空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直的性質(zhì)與距離的計(jì)算作為考查的重點(diǎn)。對(duì)學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維、演繹推理能力等傳統(tǒng)的考查方式，仍保持相對(duì)的穩(wěn)定。同時(shí)，隨著新課程改革的不斷深化，立體幾何無(wú)疑又成為數(shù)學(xué)學(xué)科高考命題改革的“突破口”與“試驗(yàn)田”，有時(shí)還成為“風(fēng)向標(biāo)”，這些改革嘗試的目的在于“激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，從數(shù)學(xué)的角度去發(fā)現(xiàn)和提出問題，并加以探索和研究，有利于提高學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)”。從近十年來，特別是2004、2005年高考全國(guó)及各省市自主命題中對(duì)立體幾何試題的分析、我們可以清楚地看到，傳統(tǒng)與創(chuàng)新的有機(jī)結(jié)合，正是在新課程理念下立體幾何高考命題的新走向與新特色。一、試題分布特點(diǎn)分析表1、2004年夏季全國(guó)及部分省市自主命題高考試卷中立體幾何題分布表類型題號(hào)試題所占分?jǐn)?shù)整體分?jǐn)?shù)占總分比例題型考查知識(shí)點(diǎn)提要全國(guó)I10521兩小一大14%選擇題截面與正四面體表面積之比的計(jì)算164填空題異面直線在平面射影的位置關(guān)系判定2012解答題四棱錐中的點(diǎn)面距離，二面角的計(jì)算全國(guó)II7521兩小一大14%選擇題球心到小圓截面距離的計(jì)算164填空題直四棱柱的判定2012解答題直三棱柱中線面垂直的論證：二面角的計(jì)算全國(guó)III9521兩小一大14%選擇題正三棱錐的體積計(jì)算134填空題小圓面積與球表面之比的計(jì)算2012解答題三棱錐中的線線垂直的論證，線面角的計(jì)算全國(guó)IV文13522兩小一大14.67%選擇題理7正三棱錐體積的計(jì)算，線面平行、相交、線線平等的判定理105填空題球心到小圓截面的距離計(jì)算文72012解答題四棱錐體積計(jì)算，線線垂直論證類型題號(hào)試題所占分?jǐn)?shù)整體分?jǐn)?shù)占總分比例題型考查知識(shí)點(diǎn)提要北京3526三小一大17.33%選擇題線線垂直、平行、線面垂直、面面平行的判定45選擇題正方體內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到直線距離與軌跡問題綜合115填空題球的小圓弧長(zhǎng)與表面積的計(jì)算1614解答題正三棱柱側(cè)面展開圖對(duì)角線及相關(guān)線段長(zhǎng)與二面角大小計(jì)算上海13420一小一大13.33%填空題線面垂直、平行的判定2116解答題正四面體的判定，二面角的計(jì)算、等體積的直平行六面體的探索天津6522兩小一大14.67%選擇題正方體中異面直線成角余弦值的計(jì)算文85選擇題線面垂直關(guān)系與動(dòng)點(diǎn)軌跡的綜合105選擇題長(zhǎng)方體截面面積的計(jì)算理1912解答題四棱錐中線面垂直、平行的論證、二面角大小的計(jì)算四棱錐中線石平行論證，線面成角正切值計(jì)算文19重慶文16522兩小一大14.67%填空題地球與火星大圓周長(zhǎng)計(jì)算選擇題線面平行、垂直、異面直線的判定85選擇題三棱錐側(cè)面點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)到底面距離，及到直線距離引出動(dòng)點(diǎn)軌跡（與解析幾何綜合）125選擇題正方體鉛孔后的表面積計(jì)算1912解答題四棱錐中異面直線分垂線的論證，線面成角二面角（文）的計(jì)算湖北11517一小一大11.33%選擇題二面角、線面成角的有關(guān)計(jì)算及直線與平面位置關(guān)系的判定文65選擇題四面體的表面積的計(jì)算1812解答題正方體中動(dòng)點(diǎn)位置探求，使得線與面垂直、二面角大小的計(jì)算湖南4522兩小一大14.67%選擇題由翻折圖形得三棱錐體積最大的，線面成角的計(jì)算105選擇題正八面體頂點(diǎn)與排列組合綜合1912解答題四棱錐中線面垂直的證明，二面角的計(jì)算，探求動(dòng)點(diǎn)的位置，使線面平行類型題號(hào)試題所占分?jǐn)?shù)整體分?jǐn)?shù)占總分比例題型考查知識(shí)點(diǎn)提要浙江10521兩小一大14%選擇題正三棱柱中線面成角大小的計(jì)算164填空題點(diǎn)面距離，點(diǎn)線距離的計(jì)算1912解答題不規(guī)則圖形（正方體變化而來）中線面平行（垂直）論證，二面角大小，點(diǎn)面距離、異面直線成角的計(jì)算福建5526三小一大17.33%選擇題線線平行、線面平行、面面平行判定105選擇題球的小圓截面與斜線成角的計(jì)算164填空題六棱柱容器容積最大的計(jì)算（與導(dǎo)數(shù)綜合）1912解答題三棱錐中線線垂直的證明、二面角、點(diǎn)面距離的計(jì)算遼寧3526三小一大17.33%選擇題線面、面面位置關(guān)系判定及充分條件與必要條件105選擇題球的小圓截面與球距離及球體積的計(jì)算154填空題斜四棱柱側(cè)棱與截面距離的計(jì)算1712解答題四棱錐中面面垂直的論證，二面角余弦值的計(jì)算江蘇4517一小一大11.33%選擇題由球心到小圓截面距離求球的體積1812解答題正方體中，線面成角，點(diǎn)面距離的計(jì)算，線線垂直的論證廣東7521兩小一大14%選擇題正方體截去八個(gè)小棱距后剩余體積的計(jì)算154填空題由平面圖形面積的比例關(guān)系，推廣到空間圖形的體積比例關(guān)系1812解答題長(zhǎng)方體中二面角，異面直線成角的計(jì)算表2、2005年夏季全國(guó)及部分省市自主命題高考試卷中立體幾何題分布表類型題號(hào)試題所占分?jǐn)?shù)整體分?jǐn)?shù)占總分比例題型考查知識(shí)點(diǎn)提要全國(guó)I3526三小一大17.33%選擇題由小圓面積求球表面積55選擇題求不規(guī)則五面體的體積164填空題截面圖形判定，面面垂直判定1812解答題四棱錐中,證面面垂直,求異面直線成角，二面角大小全國(guó)II2526三小一大17.33%選擇題截面圖形判定125選擇題求正四面體內(nèi)切球與高的關(guān)系164填空題正三棱錐的判定2012解答題四棱錐中證線面垂直求二面角大小全國(guó)III4422兩小一大14.67%選擇題三棱柱中求四棱錐的體積114選擇題點(diǎn)面距離、位置判定1812解答題證線面垂直，求二面角的大小北京65一小一大12.67%選擇題線面平行，垂直面面垂直的垂直的判定文16理161419解答題證線線垂直，線面平行，求異面直線線角大小解答題直四棱柱中，證線線垂直求二面角及異面直線成角大小天津4517一小一大11.33%選擇題線面垂直充要條件1912解答題斜三棱柱中求線面成角大小，證線面平行，求四面體外接球體積重慶7522兩小一大14.67%選擇題面面平行判定105選擇題求三棱錐體積2012解答題三棱柱中，求異面直線距離，二面角平面角正弦值遼寧4321兩小一大14%選擇題面面平行判定144填空題求點(diǎn)面距離1712解答題三棱錐中證線面垂直，求二面角平面角余弦值，三棱柱外接球表面積求棱長(zhǎng)江蘇8524兩小一大16%選擇題線線、線面、面面平等判定45選擇題求點(diǎn)面距離2114解答題五棱錐中求異面直線線角，二面角大小證線面垂直類型題號(hào)試題所占分?jǐn)?shù)整體分?jǐn)?shù)占總分比例題型考查知識(shí)點(diǎn)提要浙江6522兩小一大14.67%選擇題線線平行，面面垂直判定125選擇題求翻折圖形中異面直線成角大小1812解答題三棱錐中，證線面平行，求線面成角大小，求點(diǎn)在面射影位置福建4522兩小一大14.67%選擇題線線平行、垂直，面面垂直判定85選擇題求異面直線成角2012解答題在不規(guī)則圖形（直三棱柱變形）中，證線面垂直求二面角大小，求點(diǎn)面距離湖北10522兩小一大14.67%選擇題線面平行判定文2012解答題求截面的邊長(zhǎng)，求點(diǎn)面距離125選擇題平行六面體中點(diǎn)面關(guān)系與概率綜合題理2012解答題四棱錐中，求異面直線成角余弦值，由點(diǎn)面距求點(diǎn)線距離湖南5517一小一大11.33%選擇題求點(diǎn)面距離1712解答題由翻折圖形，證異面直線垂直，求二面角大小廣東4524兩小一大16%選擇題三棱柱中求三棱錐體積75選擇題線面平行判定1614解答題四面體中，證線面垂直求二面角大小山東8521兩小一大14%填空題線線、線面、面面平行判定2012選擇題地球上兩地之間的球面距離164解答題在長(zhǎng)方體中，求異面直線成角、二面角（銳角）大小，求點(diǎn)面距離江西9521兩小一大14%選擇題求四面體外接球的體積154填空題求棱柱表面兩點(diǎn)間最短路徑長(zhǎng)（展開圖）2012解答題在長(zhǎng)方體中，證線線垂直求點(diǎn)面距離，求二面角大小求線段長(zhǎng)（1）占分比重：立體幾何在高考中的占分比重，隨課程內(nèi)容的變化有所下降，2003年前的試卷中，一般有三小一大，約26分，占全卷的17.4%，而2004年江蘇、湖北試卷中的一小一大共17分，而2005年天津與湖南試卷中也僅一小一大共17分，僅占11.3%，全國(guó)絕大多數(shù)省、市兩年基本上是兩大一小，約2122分，占全卷的14%。這與立體幾何所占的學(xué)時(shí)比例（36/324）基本相當(dāng)，由于立體幾何內(nèi)容與方法較多，又是考查空間想象能力的重要途徑，我們認(rèn)為題量“兩小一大”較為合理。（2）解答題位置從2004年15份理科試卷及2005年16份理科試卷中，每份均有一道立體幾何解答試題，2004年處在解答題的第1個(gè)位置的僅有遼寧1道試題，第2個(gè)位置的有北京、湖北、江蘇、廣東4道試題，而全國(guó)卷的4道題都處在解答題的第4個(gè)位置；第3個(gè)位置的有天津、重慶、湖北、湖南、浙江、福建6道。而2005年，處在解答題的第1個(gè)位置的仍是遼寧與上海兩道試題，第2位置的有全國(guó)I、全國(guó)III，北京、廣東、湖南5道題，第3個(gè)位置的有江蘇、天津2道試題，而處在第4位置的有全國(guó)II、福建、湖北、山東、浙江、重慶、江西等7道試題，這說明立體幾何解答題屬于中檔題，但又有難度提高并后移的趨勢(shì)。（3）考查方式大題以考查直線與平面位置關(guān)系的證明角度與距離的計(jì)算為主，通常以多面體為載體：如正方體、長(zhǎng)方體、三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐，2004年試卷中涉及棱錐的試題出現(xiàn)的幾率較大，有9道之多當(dāng)中涉及四棱錐的有6道，三棱錐的有3道。涉及柱體的有5道，當(dāng)中三棱柱2道，正方體2道，長(zhǎng)方體的1道。事實(shí)上，浙江的試題也可以看做是以長(zhǎng)方體為模型的立體幾何題。當(dāng)中，關(guān)于二面角的計(jì)算的試題多達(dá)11道試題；判斷垂直與平行的有10道。 2005年試卷中，涉及三棱錐的有3道，四棱錐的有3道，江蘇還出了一道五棱錐，涉及三棱柱3道，四棱柱2道，長(zhǎng)方體2道，福建的試題中不規(guī)則圖形，也可以看成柱體切去一部分，當(dāng)中關(guān)于二面角的計(jì)算14道，證明垂直與平行的有13道。（4）大小題型考查內(nèi)容解答題多采用一題多問的方式，這樣既降低了起點(diǎn)，又分散了難點(diǎn)，試題既包含了一定量的證明步驟，也包含了計(jì)算部分，能較全面地考查邏輯推理能力，空間想象能力和運(yùn)算能力，同時(shí)還應(yīng)注意利用前面的結(jié)論、圖形等分析后面的結(jié)論。估計(jì)這種命題的特點(diǎn)還將保持下去?？疾榫€線、線面、面面關(guān)系的論證，此類題目常以客觀題或解答題的第一步出現(xiàn)。計(jì)算空間的角或距離，常以客觀題或解答題的第二步出現(xiàn)。小題類型大體有：用于覆蓋大題未考查到的直線、平面位置關(guān)系的判定，角度、距離的計(jì)算及球的問題，體積、表面積問題，空間想象問題，與其它知識(shí)（如排列組合概率等）綜合的問題。2005年試卷的選填題中，涉及線線、線面、面面關(guān)系的判斷題有14道，求空間角與距離的僅有5道，簡(jiǎn)單幾何體及其體積有10道，翻析與展開的有2道，與排列、組合、概率綜合的問題有2道。二試題創(chuàng)新特色分析（1）傳統(tǒng)內(nèi)容的“雙軌”處理2005年理科16份試卷中，有13道立體幾何解答題明顯給出了空間坐標(biāo)系的框架，只要利用空間向量的意識(shí)，建立空間坐標(biāo)系后就容易求解，即立體幾何問題大多可以用向量作工作解決，兼顧了九（A）、九（B）兩種教材版本。由于近幾年高考命題傾向于新教材的內(nèi)容，因此，同一道立體幾何綜合題，利用空間向量求解比用傳統(tǒng)方法求解相對(duì)較易，尤其是確定點(diǎn)的位置或探索性問題，利用空間向量的坐標(biāo)形式求解更凸現(xiàn)其解法的優(yōu)越法。例1如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)，（1）求證：AM/平面BDE（2）求二面角ADFB的大??；（3）在線段AC上確定一點(diǎn)P，使得PF與CD所成的角是。分析：此題既可用傳統(tǒng)方法求解，也可用空間向量求解，但要確定一個(gè)點(diǎn)的位置，一般情況下用空間向量比較容易解答，可避免傳統(tǒng)解法中的一些幾何性質(zhì)的論證。解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，連結(jié)NE，則點(diǎn)，E（0，0，1），又，所以且NE與AM不共線，故NE/AM， 所以AM/平面BDE（2）為平面ADF的法向量。，所以為平面BDF的法向量。與的夾角是，即二面角ADFB的大小是。（3）設(shè)得，由于與所成的角是，解得：或（舍去） 所以P是AC的中點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：本題考查空間線面關(guān)系及空間向量概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力。例2如圖2，直三棱柱中ABCAl Bl Cl，ACB=90，AC=1，CB=，側(cè)棱AA11，側(cè)面AA1 B1B的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為D，C1 Bl的中點(diǎn)為M，（I）求證CD平面BDM；（II）求面B1BD與面CBD 所成二面角的大小。本題第I問證明CD平面BDM，則要設(shè)法在該 平面內(nèi)找到與CD垂直的直線。先從該平面已有的三條直線BD、BM、DM入手，因?yàn)锽點(diǎn)為棱柱的頂點(diǎn)，涉及的已知條件比較多，可以先考查從B點(diǎn)上出發(fā)的直線BD。從已知條件可以求得BD1，BG=，但CD長(zhǎng)度未知，且不易求出，這時(shí)要放開眼界，找出和BD有關(guān)的條件。BD進(jìn)一步延長(zhǎng)就是BA1，在A1BC中，BC=CA1，D為A1B的中點(diǎn)，則CDA1B。此時(shí)CD=CC1，DM=AC1=C1M，所以CDMCC1M，所以CDBM。本題也可以連結(jié)CB1BM，從而CDBM 第問是求二面角的大小，要首先找出該二面角的平面角，再找出數(shù)量關(guān)系。雖然已經(jīng)證明CDA1B，但在平面A1BB1內(nèi)，垂直于棱A1 B的垂線不易求得，所以要進(jìn)行相應(yīng)的“移動(dòng)”BlBD是等邊三角形，BD邊上的中線Bl G垂直于棱AlB，其長(zhǎng)為。作GFCD，GF=CD=,利用勾股定理可求得FB1=，再利用余弦定理可以求出FCBl度數(shù)。本題也可以應(yīng)用空間向量解決。因?yàn)轭}目給出的三棱錐是“躺倒”放置的，從C點(diǎn)出發(fā)的一條側(cè)棱和兩條底邊自然組成了互相垂直的“坐標(biāo)架”，因此可以以C點(diǎn)為原點(diǎn)，以上述的三條直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系。建立坐標(biāo)系以后就可以求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，以及各向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積可以證明垂直關(guān)系、求出兩個(gè)向量的夾角。值得注意的是，在解決本題的第問時(shí)，可以不用把垂直于二面角棱的兩條直線移到同一點(diǎn)，只要能證明他們都垂直于二面角的棱，則他們的夾角的大小就是二面角的大小，直接應(yīng)用向量的夾角公式計(jì)算即可。本題采用一題兩法的設(shè)計(jì)，方便考生根據(jù)自己的情況，選擇自己熟悉的方法。但通過解題過程的比較可以發(fā)現(xiàn)，向量的方法比較規(guī)范、簡(jiǎn)捷。本題對(duì)空間想像能力的考查與計(jì)算緊密結(jié)合，而且有多條途徑可以解決問題，給考生以發(fā)揮的空間。既重視傳統(tǒng)解法，也彰顯向量解法的魅力。多法并舉，寬入口，多角度凸顯學(xué)生的能力。結(jié)合新課程新引入向量知識(shí)，豐富與拓展研究手段，既重視傳統(tǒng)的方法又注重向量的方法是高考在立體幾何方面的新動(dòng)向。用向量這一有力的工具解決立體幾何問題，融推理于計(jì)算，兩種方法有機(jī)結(jié)合，相得益彰。 （2）客觀題提高了思維深度由于新高考的題型的比例由各省自定，對(duì)易、中、難題分?jǐn)?shù)比和選修部分不再?gòu)?qiáng)調(diào)“以容易題和中等題為主”的要求出現(xiàn)，勢(shì)必形成客觀題的思維深度進(jìn)一步提高。我們從2003年全國(guó)高考第（8）題：棱長(zhǎng)為a的正方體中，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為（ ）（A） （B） （C） （D）又如2004年全國(guó)高考理第（10）題：已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個(gè)面的中心分別為E、F、G、H，設(shè)四面體EFGH的的表面積為T，則等于（ ）（A） （B） （C） （D）比較可以看出，這兩道題目一脈相承，解法相仿，均需要用推理運(yùn)算進(jìn)行求解，并且后者稍難于前者。前者為正方體，后者為四面體，解決這兩題的難度由此一目了然。這正是思維深度進(jìn)一步提高的詮釋。再如2005年重慶卷第10題：如圖，在體積為1的三棱錐ABCD側(cè)棱AB、AC、AD上分別取點(diǎn)E、F、G使AE：EBAF：FCAC：CD2：1， 記O為三平面 BCG、CDE、DFB的交點(diǎn)，則三棱錐O-BCD的體積等于（A） （B） （C） （D）此題對(duì)空間想象能力、思維能力、運(yùn)算能力的要求都較高。要求考生對(duì)圖形作出細(xì)致的觀察和理性的分析，對(duì)圖形提供的信息進(jìn)行合理加工，會(huì)根據(jù)需要對(duì)圖形進(jìn)行拆分與組合。此題實(shí)際上是求體積比，由于底面相同，則其值等于h0：ha。方法1不妨設(shè)ABCD為正三棱錐，如圖DH為底面邊BC上的中線，設(shè)A、C在底面上的射影分別是R、S，則HR：RDRS=3：6：4，所以O(shè)R：CS：AR3721，故兩高的比h0：ha1：7方法2 設(shè)DEBG=M，BFCE=N，則CMDN=0觀察下面的兩個(gè)分拆出來的平面圖形，如圖：DM：ME=BD：EC=ADAC3：2，EDEM5：2。又CO：OMCD：MNED：EM=5：2，CO：CM57h0：ha1：7將立體圖形拆分成或抽拿出若干平面圖形，通過平面圖形實(shí)施具體運(yùn)算，可大大簡(jiǎn)化空間圖形的抽象程度，這是解決較復(fù)雜問題的常用手法。在立體幾何中引入空間向量以后，很多問題都可以應(yīng)用向量的方法解決特別是近兩年解答題采取“一題兩法”的設(shè)計(jì)之后，應(yīng)用空間向量的方法，可以通過建立空間坐標(biāo)系，將幾何元素之間的關(guān)系數(shù)量化，進(jìn)而通過計(jì)算解決求角、證明的問題，空間向量更顯現(xiàn)出解題的優(yōu)勢(shì)，因此對(duì)空間想像能力的考查正由大題向小題轉(zhuǎn)移，特別是在新課程卷中一些多面體和旋轉(zhuǎn)體不作要求，小題中對(duì)這些幾何體的計(jì)算要求較低，更多地承擔(dān)起考查空間想像能力的重任。例3對(duì)于直線m、n和平面，下面命題中的真命題是（A）如果m,n,m、n是異面直線，那么n（B）如果m,n,m、n是異面直線，那么n與相交（C）如果m, n，m、n共面，那么mn（D）如果m，n，m、n共面，那么mn分析：首先要讀懂題，將文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言進(jìn)行研究。在選項(xiàng)（A）（B）中，n包含兩種情況，n或n與a只有一個(gè)交點(diǎn)，這兩種情況都可以使m、n為異面直線，因此（A）和（B）都不正確選項(xiàng)（C）恰是由線面平行推出線線平行定理的語(yǔ)言符號(hào)表述，是正確的。于是選項(xiàng)（D）肯定不正確，就不用再判斷了。 本題考查空間直線與平面位置關(guān)系的判定，涉及到異面直線，直線與平面的三種位置關(guān)系，兩條直線平行的判定等內(nèi)容？體現(xiàn)出文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言的能力，判斷幾何命題真假的方法與能力，體現(xiàn)出思維能力與空間想像能力的綜合，屬于中等題。在解決這類問題時(shí)，讀題畫圖是關(guān)鍵，往往采用舉特例排除的方法進(jìn)行判斷。例4 已知a、b為不垂直的異面直線，a是一個(gè)平面，則a、b在上的射影可能是：兩條平行線 兩條相互垂直的直線同一條直線 一條直線及其外一點(diǎn)在上面的結(jié)論中，正確結(jié)論的編號(hào)是（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）分析：因?yàn)楸绢}是判斷a、b在上的射影的可能的情況，對(duì)每個(gè)結(jié)論，如果能作出這種情境就是可能，如果不能構(gòu)造出這種情境還需要證明這個(gè)結(jié)論是不成立的。過直線a作一個(gè)平面和b平行，再作一個(gè)平面與垂直，則a、b在上的射影為兩條平行線這個(gè)結(jié)論是成立的。過直線a作平面，過直線b作平面垂直于，再作一個(gè)平面與、垂直，則a、b在上的射影互相垂直。這個(gè)結(jié)論是成立的。如果a、b在上的射影為同一直線，則a、b都在垂直于的平面內(nèi)，與a、b為異面直線的條件矛盾。這個(gè)結(jié)論是不成立的。作一個(gè)平面和其中的一條直線垂直，則a在上的射影為一個(gè)點(diǎn)，而b的射影為一條直線。這個(gè)結(jié)論是成立的。分析：本題考查空間線面關(guān)系、空間想像能力、射影的概念和性質(zhì)中畫出圖形將有助于解題。本題實(shí)際上是一個(gè)多選題，需要對(duì)結(jié)論進(jìn)行逐個(gè)地判斷。填空題雖然沒有中間步驟、沒有備選答案提示，但其中的題型是豐富多彩的，象本題就是一個(gè)典型的考查概念的題目，通過設(shè)置多個(gè)可能的情況，比較全面、深刻、精細(xì)地考查了直線及其在平面上射影的關(guān)系。例5下面是關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題：若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的兩個(gè)截面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱若四個(gè)側(cè)面兩兩全等，剛該四棱柱為直四棱柱若四棱柱的四條對(duì)角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱 分析：本題是一個(gè)多選題，需要對(duì)四個(gè)命題逐個(gè)一進(jìn)行判斷？判定所給的條件是否能組成直棱柱。若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，如果是兩個(gè)相鄰的側(cè)面垂直于底面，則其交線必垂直于底面，就職可以判定為直棱柱；兩個(gè)相對(duì)的側(cè)面垂直于底面，則不能判定，但題目沒有強(qiáng)調(diào)是相鄰，所以不能判定。 若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的兩個(gè)截面垂直于底面，則其交線垂直于底面，而側(cè)棱與該交線平行，所以側(cè)一棱垂直于底面，滿足條件的四棱柱為直棱柱。 由各邊長(zhǎng)相等且全等的菱形為側(cè)面，可組成個(gè)四棱柱，則其可能為平行六面體，并非一定是直一四棱柱。四棱柱的過相對(duì)側(cè)棱的截面為平行四邊形，二若其對(duì)角線相等則其為矩形，即側(cè)棱垂直于底面，所以滿足條件的四棱柱為直四棱柱。本題考查棱柱的定義和性質(zhì)，直線和平面平行和垂直等位置關(guān)系的判定本題作為一個(gè)多選題，從側(cè)棱、側(cè)面、截面等幾個(gè)角度考查直棱柱的充分或必要條件。題目中有的條件是直四棱柱的性質(zhì)，如、，直四棱柱有這樣的性質(zhì)，但具備這個(gè)性質(zhì)的四棱柱不一定是直四棱柱。而成立的兩個(gè)都可以作為直四棱柱的性質(zhì)或判定條件、在解題過程應(yīng)當(dāng)注意，對(duì)于這樣的判斷題，如果條件成立應(yīng)當(dāng)能夠加以證明，如果不成立，需要舉出反例。本題在考查直四棱柱的性質(zhì)、空間想像能力的同時(shí)，還考查了嚴(yán)格的邏輯推理能力。（3）運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)解決空間圖形問題新考綱對(duì)考生的空間想象能力的考查提出了“能夠想象幾何圖形的運(yùn)動(dòng)和變化情況”的更高要求。因此立體幾何題中除了固定的線線、線面、面面關(guān)系外，還滲透了一些“動(dòng)態(tài)”的點(diǎn)、線、面元素，給“靜態(tài)”的立體幾何賦予了新的活力，新的亮點(diǎn)。例6（2005，江西）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)。I）證明：D1EA1D； II）（III）略。 略解 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA、DC、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。 設(shè)AE=x，則A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0) “動(dòng)”“靜”結(jié)合，運(yùn)動(dòng)與變化相聯(lián)系，向量法的運(yùn)用，也為處理動(dòng)態(tài)化問題找到了一條簡(jiǎn)捷有效的新途徑。此類問題已成為高考命題的新增長(zhǎng)點(diǎn)，如2001上海，2002全國(guó)，2004湖北，2005江西答卷中均有體現(xiàn)。例7（2004年高考重慶卷）若三棱錐A-BCD，側(cè)面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等；則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與ABC組成的圖形可能是（ ） 解析：當(dāng)AC上平面BCD時(shí)，問題化為點(diǎn)P到AB和BC距離相等的點(diǎn)的軌跡。顯然，P點(diǎn)的軌跡是ABC的平分線。如圖（1），排除（A）、B）當(dāng)AC不垂直平面BCD時(shí)，如圖2）。設(shè)P到平面DBC、到邊BC的距離、到邊AB的距離分別為h、dBC、dAB，設(shè)ABCD的大小為，則=sin1，所以排除（C），選（D）。點(diǎn)撥：此題將立體幾何與解析幾何巧妙結(jié)合，是對(duì)過去分離考核的創(chuàng)新。許多同學(xué)對(duì)此茫然。但此題的解答卻很簡(jiǎn)單，利用普遍性與特殊性的關(guān)系轉(zhuǎn)化，首先考慮特殊圖形，然后考慮一般情形。（4）知識(shí)交匯點(diǎn)上命題，考查綜合能力關(guān)注知識(shí)交匯點(diǎn)，把握知識(shí)縱橫聯(lián)系，揭示普遍規(guī)律，注重綜合應(yīng)用，在知識(shí)交匯點(diǎn)命題，考查綜合分析問題、解決問題的能力，已成為命題的新熱點(diǎn)?？季V要求，命題“從學(xué)科整體和思維價(jià)值的高度的考慮問題，在知識(shí)交匯點(diǎn)上設(shè)計(jì)考題”，“用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)組織材料，對(duì)知識(shí)的考查側(cè)重于理解和應(yīng)用，尤其是綜合和靈活的應(yīng)用，以此來檢測(cè)考生將知識(shí)遷移到不同情境中去的能力”。 例8（2005年全國(guó)卷1）過三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共有15條，其中異面直線有（ ）（A）18對(duì) （B）24對(duì) （C）30對(duì) （D）36對(duì)此題依托空間圖形，借助于考查排列組合，著重考查概括村理論證能力。以這種形式結(jié)構(gòu)命題的還有湖北理科的（12）題、江蘇理科的12）題等。對(duì)分類、整合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思維要求較高，是考查綜合素質(zhì)的優(yōu)秀題目。一般來說，排列組合的分析計(jì)數(shù)過程就是概括推理論證的思維運(yùn)作過程，它與立體幾何的巧妙結(jié)合是體現(xiàn)“多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算”的很好題材。分析1（直接數(shù)）棱與棱成異面直線的有12對(duì)；棱與對(duì)角線成異面直線的有18對(duì)；對(duì)角線與對(duì)角線成異面直線的有6對(duì)；故異面直線共有（12186）對(duì)36對(duì)。分析2（間接數(shù)）上、下底面的共面直線各有對(duì)；每一個(gè)側(cè)面的共面直線共有對(duì)；不同側(cè)面的相交對(duì)角線與底面下棱構(gòu)成的三角形的共面直線共有6對(duì)；故異面直線共有（）對(duì)=36對(duì)。分析3（等價(jià)轉(zhuǎn)化）每四個(gè)不共面的點(diǎn)對(duì)應(yīng)3對(duì)異面直線，在三棱柱中不共面四點(diǎn)的組數(shù)為3=12，所以異面直線的對(duì)數(shù)為12336。 三種思路體現(xiàn)三個(gè)不同的思維層次，分析3最簡(jiǎn)捷，這取決于對(duì)總是理解與契入的深度。例9（2005年江蘇卷）四棱錐的8條棱分別代表8種不同的化工產(chǎn)品，有公共點(diǎn)的兩條棱所代表的代工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是危險(xiǎn)的，沒有公共點(diǎn)的兩條棱所代表的代工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是安全的，現(xiàn)打算用編號(hào)為的四個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放這8種化工產(chǎn)品，那么安全存放的不同方法種數(shù)為（ ）（A）96 （B）48 （C）24 （D）0例10（2005，湖北）以平等六面體ABCD-ABCD的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)取出兩個(gè)三角形，則這兩個(gè)三角形不共面的概率P為（ ）。（A） （B） （C） （D）答：（A） 例11（2004，北京）如圖，在正方體ABCD-ABCD中，P是側(cè)面BB1C1C中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的的曲線是（ ）（A）直線 （B）圓 （C）雙曲線 （D）拋物線答：（D）。以能力立意，命題注重對(duì)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯部分的考查，深入開發(fā)立體幾何題的綜合考查功能，十分引人注目。近幾年的高考試題中，以空間圖形為背景的試題，其考查的知識(shí)內(nèi)容和范圍，已不再局限于立體幾何的內(nèi)部，而是旁及到代數(shù)、幾何、三角、向量、組合等學(xué)科分支，對(duì)綜合運(yùn)用各種知識(shí)技能解題的靈活性，要求有所加強(qiáng)，應(yīng)予以重視。 例12（2004年湖北理，11題）已知平面，所成的二面角為80，P為，外一定點(diǎn)，過點(diǎn)P的一條直線與,所成的角都是30，則這樣的直線有且僅有（ ）（A）1條（B）2條（C）3條（D）4條這類綜合問題，雖為小題，但形式新穎，知識(shí)的交匯自然，具有一定的深度，已成為考查數(shù)學(xué)思想和方法，考查知識(shí)遷移能力的重要渠道。（5）精心設(shè)計(jì)與編制研究型、探索型、開放型問題考綱對(duì)考生的能力提出了創(chuàng)新意識(shí)的要求，并指出“設(shè)計(jì)考查數(shù)學(xué)主體內(nèi)容，體現(xiàn)數(shù)學(xué)素質(zhì)的題目，反映數(shù)、形運(yùn)動(dòng)變化的題目，研究型、探索型、開放型的問題”。例13（2003年全國(guó)，15題）在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)ABC 的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2”，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則”。 這是一個(gè)將勾股定理拓展到空間的探究式問題。考查學(xué)生的空間想像能力和探究能力，檢查了研究性學(xué)習(xí)的開展情況和效果。這道題得分率很低。 從平面到空間的類比問題，近年來多次出現(xiàn)，如：2002年上海春12題、2004年廣東15題教師面積到體積的類比問題。應(yīng)注意的是，這里的類比不是簡(jiǎn)單的知識(shí)遷移，還需要感知從二維到三維時(shí)，圖形、度量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在猜想、歸納的基礎(chǔ)上進(jìn)行證明。此類考題為考查創(chuàng)新意識(shí)提供了有效途徑。通過開放條件、結(jié)論、策略、情景，讓學(xué)生的思維在創(chuàng)造的氣氛中得到鍛煉與發(fā)展，并讓學(xué)生在開放探索中發(fā)散思維，尋求問題眾多的結(jié)構(gòu)或結(jié)果，從而使學(xué)生的主體意識(shí)得以喚起，創(chuàng)新精神得以呈現(xiàn)。例14，是兩個(gè)不同的平面，m,n是平面及之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：mn, , n, m。以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題。略解 四個(gè)論斷中選三個(gè)論斷定作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，一共可以構(gòu)造四個(gè)命題：； ；。其中只有兩個(gè)正確命題。此類試題通過開放條件、結(jié)論、策略、情況，考查學(xué)生發(fā)散性恩維能力和創(chuàng)新思維的能力。以立體幾何為載體的探索性問題成為近年的命題熱點(diǎn)之一。利用向量數(shù)量積的性質(zhì)解決有關(guān)幾何、代數(shù)問題，具有新穎、直觀簡(jiǎn)明等優(yōu)點(diǎn)，特別是對(duì)一些探索性問題用向量法去思考，思路清晰，目標(biāo)明確，從而大大降低了求解難度，值得引起大家的重視。在復(fù)習(xí)中對(duì)它的研究將有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，開拓解決立體幾何問題的新領(lǐng)域。研究性學(xué)習(xí)的目的是發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律（知識(shí)的規(guī)律與方法的規(guī)律），培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力，引入課題式的設(shè)計(jì)是檢測(cè)課改成果的一種有效嘗試。例15（2004，上海）如圖，PABC是底面邊長(zhǎng)為1的正三棱錐，D、E、F分別為棱PA、PB、PC上的點(diǎn)，截面DEF底面ABC，且棱臺(tái)DBF-ABC與棱錐PABC的棱長(zhǎng)和相等。（棱長(zhǎng)和是指多面體中所有棱的長(zhǎng)度之和）。（1）、（2）略；（3）設(shè)棱臺(tái)DEF一ABC的體積為V，是否存在體積為V且各棱長(zhǎng)均相等的平行六面體，使得它與棱臺(tái)DEF-ABC有相同的棱長(zhǎng)和？若存在，請(qǐng)具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)六面體，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由。 略解 棱臺(tái)DEF-ABC的棱長(zhǎng)和6（等于正四面體的各棱長(zhǎng)和，而正四面體的棱長(zhǎng)為1），正四面體P ABC體積為，故0V，所以存在滿足，條件的平行六面體。設(shè)直平行六面體各棱長(zhǎng)均為，底面相鄰兩邊夾角為，則該平行六面體的棱長(zhǎng)和為6，體積為。若=V，則sin=8V，所以0V，08V0),用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個(gè)四棱柱，則a的取值范圍是_.分析和解 這兩個(gè)相同的直三棱柱各有5個(gè)面，但是拼合的方法卻有7種，由于底面三角形是直角三角形，所以拼合底面的方法只有一種，而每個(gè)側(cè)面都有兩種不同的拼合方法，拼成后的三棱柱或四棱柱，其俯視圖如圖所示。如果拼合成四棱柱，俯視圖有（2），（4），（6），（7）四種，由于粘合的面積越大，四棱柱的表面積越小，所以表面積最小的四棱柱當(dāng)屬（6），（7）兩種，且其表面積都是。如果拼合成三棱柱，俯視圖有（1），（3），（5）三種，計(jì)算可知對(duì)應(yīng)的三棱柱的表面積分別為：12a2+48,24a2+36,24a2+32。為使S最小，只須滿足24a2+2812a2+48,解得a?；仡櫴陙砀呖贾辛Ⅲw幾何例題的改革創(chuàng)新歷程，記憶猶新：1996年主觀試題客觀化，1997年的填空題以組合的面目出現(xiàn)，1998年的填空題由已知結(jié)果探求條件，且答案不唯一，使試題更具開放性和探索性，1999年則要求考生將四個(gè)論斷中的三個(gè)作條件，余下一個(gè)為結(jié)論，寫出正確命題，2002年是多選題，通過一個(gè)空間圖形在不同平面上的映射，考查學(xué)生多角度思考問題和空間想象的能力，進(jìn)入新世紀(jì)后又在大題上進(jìn)行了改革使其更有綜合性、開放性。展望立體幾何高考命題趨勢(shì)，方向更明：考查空間線面關(guān)系和幾何量的計(jì)算仍是高考的核心和熱點(diǎn)，但表現(xiàn)形式由重結(jié)果向重形成過程轉(zhuǎn)移。對(duì)基本技能和基本方法的考查由應(yīng)用向提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、并創(chuàng)造性的解決問題轉(zhuǎn)移，設(shè)置開放式的題型，引導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)與教學(xué)創(chuàng)新。正是體現(xiàn)了傳統(tǒng)與創(chuàng)新的有機(jī)結(jié)合。三、備考復(fù)習(xí)建議1、強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)由于立幾的命題整體穩(wěn)定，考查的重點(diǎn)沒有變化，所以教學(xué)中仍然需要在著力培養(yǎng)空間想象能力的前提下，對(duì)平行、垂直及有關(guān)幾何體的性質(zhì)重點(diǎn)過關(guān)，注意歸納歷年來各類問題的常規(guī)題型(如：球的問題主要有截面、球面距、體積與表面積、與多面體的組合問題等)，力保常規(guī)問題不失分，注意到大題中的線、面關(guān)系較多，如何有效地選擇和組合題中的信息，需要有規(guī)范合理的思維程序，在教學(xué)中應(yīng)注意提示這些思維程序。復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）理解定義、定理本質(zhì)，科學(xué)地進(jìn)行判斷與論證。依據(jù)定義、定理，定義定理是對(duì)立體幾何中各元素間的關(guān)系或幾何體的某些特性的存在與否進(jìn)行判定與論證的依據(jù)，是高考的重要內(nèi)容之一，高考中常以判斷題的形式出現(xiàn)，解此類問題，關(guān)鍵是相關(guān)的概念、判定定理、性質(zhì)定理要清楚，其次要否定某些錯(cuò)誤的判斷，可運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的思想，讓點(diǎn)或直線或平面在滿足條件的情況下充分運(yùn)動(dòng)，往往可以發(fā)現(xiàn)一些特殊情況或極端位置時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。將文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言靈活準(zhǔn)確地進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解答這類題目的前提，舉反例是解判斷題的常用方法。（2）重視九（A）與九（B）教材的互補(bǔ)作用。立體幾何九（B）考試要求與九（A）相比，除了一些次序上的變化和空間向量?jī)?nèi)容的增加外，絕大多數(shù)要求都是一致的，立體幾何九（B）最顯著的特點(diǎn)就是：將原有的“平面向量”知識(shí)引申拓寬到“空間向量”，完善了向量的知識(shí)體系；同時(shí)，以空間向量為工具，利用向量的代數(shù)運(yùn)算來解決空間的幾何問題。既開闊了解決立體幾何問題的視野，增加了解決空間問題的途徑，也順應(yīng)了幾何改革代數(shù)化的方向，因此，使用立體幾何九（A）的學(xué)校在高三復(fù)習(xí)中，在原有立體幾何九（A）的基礎(chǔ)上，老師也應(yīng)根據(jù)學(xué)生的具體情況，適時(shí)地增加一些立體幾何九（B）中空間向量的有關(guān)知識(shí)，順應(yīng)新課程改革的潮流，以增加我們對(duì)新教材、新高考的適應(yīng)能力，豐富我們解決這類問題的手段。高三復(fù)習(xí)中如何將兩種教材中的優(yōu)勢(shì)揉合在一起，讓九（B）成為九（A）的延伸和補(bǔ)充，充分發(fā)揮其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，有很多的工作要我們?nèi)プ?。又如二面角作為空間中最重要的角之一，是高考的必考內(nèi)容之一，我們認(rèn)為不管是哪一種教材體系，都應(yīng)當(dāng)把它列為重要的研究對(duì)象，而九（B）教材對(duì)二面角的處理僅僅設(shè)置了1課時(shí)，給師生以一帶而過的感覺，特別是對(duì)二面角平面角的作法，絕大多數(shù)學(xué)生在一節(jié)課的時(shí)間內(nèi)難以掌握，所以當(dāng)學(xué)生都無(wú)法找到計(jì)算對(duì)象時(shí)，就更談不上去求解它了。另外，該部分內(nèi)容又不容易自然地納入向量方法體系之中。因此，建議復(fù)習(xí)時(shí)增加關(guān)于二面角的例題，一方面把二面角的求解與向量方法結(jié)合起來；另一方面借此適當(dāng)?shù)靥岣呔C合推理的訓(xùn)練，因?yàn)榭臻g的角度（也包括距離）是立體幾何中重要的度量問題，這些問題的解決又一定程度依賴于綜合推理。正如課程標(biāo)準(zhǔn)中要求所說：“把幾何推理與代數(shù)運(yùn)算推理有機(jī)地結(jié)合起來，為學(xué)生的思維活動(dòng)開發(fā)了更加廣闊的空間，在教學(xué)中要緊緊把握這個(gè)大方向，不能有所偏廢?！?、把握向量方法利用向量方法來研究立體幾何問題，這給傳統(tǒng)的高中立體幾何的教學(xué)注入了一股新鮮的氣息，使學(xué)生初步體會(huì)到作為解決幾何問題的通法-向量方法的威力。新課程高考立體幾何題目設(shè)計(jì)的立意是考查思維能力和空間想象能力，特別是在解答題中使用向量代數(shù)方法解決立體幾何問題的能力，讓幾何問題代數(shù)化。在復(fù)習(xí)空間向量這個(gè)內(nèi)容時(shí)，由于空間向量與平面向量的框架結(jié)構(gòu)、內(nèi)容基本一致或相似，所以要注意多使用類比法復(fù)習(xí)空間向量。要側(cè)重于簡(jiǎn)單多面體和球中所涉及的空間直線與平面各種位置關(guān)系的復(fù)習(xí)，著眼于空間觀念和公理化體系處理問題的思想方法的訓(xùn)練。讓學(xué)生在解決空間有關(guān)垂直、角度、距離等問題時(shí)，多從代數(shù)的角度考慮基底的選擇和適當(dāng)坐標(biāo)系的建立，把相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為向量的模和夾角的問題來分析處理。這也需要我們老師多加引導(dǎo)，讓學(xué)生在解決這類問題時(shí)多留個(gè)心眼兒，優(yōu)先從空間向量的角度考慮。近幾年來高考命題著重考查圖形辨識(shí)、幾何元素間的位置關(guān)系及一些幾何量的計(jì)算，所出現(xiàn)的綜合題基本是以簡(jiǎn)單多面體和球?yàn)橐劳?，把論證和計(jì)算的幾何問題寓于其間，帶有一定的綜合性，因而我們?cè)谶@部分內(nèi)容的復(fù)習(xí)上，也應(yīng)做好知識(shí)立意向能力立意的轉(zhuǎn)化，將邏輯思維能力、推理能力、計(jì)算能力融于空間想象能力和使用向量代數(shù)方法解決立體幾何問題的能力之中。當(dāng)然，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，仍是我們解決立體幾何問題的最基本的思維策略，難度宜把握在中檔題水平，不必把面積和體積的計(jì)算作為重點(diǎn)。2003年前空間向量以解決線線角、線面角為主，2004年與2005年擴(kuò)充到二面角、點(diǎn)面距、探索性問題等，能力要求相應(yīng)提高，坐標(biāo)系建立的隱蔽性加大，平面的法向量在各地的參考答案中被大量地采用。例17（2004年重慶文，19題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，AM=EF（1）證明MF是異面直線AB與PC的公垂線；（2）若PA=3AB，求二面角E-AB-D的平面角的大小。（2）中，通過幾何推理很容易得到，就是二面角兩面的法向量，再用向量方法求二面角的大小變得極為簡(jiǎn)單，綜合法與向量法在解立幾題時(shí)各有優(yōu)勢(shì)，因此，在解題時(shí)最好用幾何推理對(duì)線面關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確“定性”的基礎(chǔ)上，再利用空間向量進(jìn)行“定量”計(jì)算，實(shí)現(xiàn)兩法的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)。利用空間向量解決立體幾何問題，關(guān)鍵是要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，能準(zhǔn)確地用向量表示空間點(diǎn)、線，善于求解空間面的法向量，能熟練運(yùn)用距離及夾角公式進(jìn)行計(jì)算。策略上將線面角、面面角轉(zhuǎn)化為線線角，把空間距離轉(zhuǎn)化為求某個(gè)向量的?；螯c(diǎn)面距?？臻g向量數(shù)與形兼?zhèn)?，用它解決空間角、空間距離等問題簡(jiǎn)潔、直觀，且有代數(shù)推理的嚴(yán)密性?？臻g向量的引入，導(dǎo)致解題方法增加，如點(diǎn)面距的求法有：傳統(tǒng)的體積法，作垂線段求長(zhǎng)度及求斜線段在法向量方向的射影長(zhǎng)等，不同的方法因題設(shè)條件的不同而各有長(zhǎng)短，需要針對(duì)具體的情況選擇合理、簡(jiǎn)捷、有效的解法，因此，教學(xué)中應(yīng)通過典型問題給學(xué)生對(duì)比辨析，提高“選法”能力和考試中的應(yīng)變能力。3、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法化歸思想是立體幾何中最常見、最重要的數(shù)學(xué)思想方法，在解答問題時(shí)，往往需要定理之間的相互轉(zhuǎn)化，這當(dāng)中，一個(gè)定理的結(jié)論，常常又是后續(xù)定理的前提條件。在對(duì)問題的證明或計(jì)算時(shí)，一般需要將立體圖形化歸為平面圖形，把新的問題情景納入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，用我們熟悉的平面幾何知識(shí)或三角方法解答。立體幾何中，平面與空間圖形間的變換（如把平面圖形折疊、旋轉(zhuǎn)成空間圖形，把空間圖形展開成平面圖形，把空間圖形切割、補(bǔ)形與換底等），點(diǎn)、線、面之間的平行與垂直關(guān)系，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題等等都屬常見的化歸與轉(zhuǎn)化。例18（全國(guó)卷III）在正方體ABCD-ABCD中，過對(duì)角線BD的一個(gè)平面交AA于E，交CC于F，則（1）四邊形BFDE一定是平行四邊形。（2）四邊形BFDE有可能是正方形。（3）四邊形BFDE在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形。（4）平面BFDE在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形。以上結(jié)論正確的為。（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）解答此題，考生需對(duì)每一命題進(jìn)行分析，畫出圖形且對(duì)圖形中的點(diǎn)、線、面有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，然后作出準(zhǔn)確的判斷這需要有一定的空間想象能力。正方體是學(xué)生熟悉的基本圖形。但這類問題仍可?？汲Ｐ?，此題有著較好的體現(xiàn)當(dāng)四邊形BFDE以BD為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，對(duì)其幾何性態(tài)如何改變作出準(zhǔn)確判斷是解決問題的關(guān)鍵，求解時(shí)應(yīng)注意對(duì)“一定”、“可能”等語(yǔ)言的準(zhǔn)確理解。由面面平行的性質(zhì)定理，有BEFD，BFED。故(1)正確：E、F分別為AA、CC的中點(diǎn)時(shí)四邊形的四條邊才相等，此時(shí)顯然不是正方形，（2）不對(duì)；四邊形BFDE在底面的投影就是底面ABCD。（3）正確；當(dāng)E、F分別為AA,CC的中點(diǎn)時(shí)，EF與BD、BB都垂直。（4）正確。面面平行或面面垂直的判斷，關(guān)鍵是能否將其轉(zhuǎn)化為線線平行或線線垂直的判斷，這是立體幾何中的“降維等價(jià)轉(zhuǎn)換”，即面面線面線線的轉(zhuǎn)換（如圖）?？臻g圖形位置的不確定性，某些最值問題（如異面直線間的距離即異面直線上任意兩點(diǎn)之間的距離的最小值），三角形的邊角關(guān)系等，常常要建立目標(biāo)函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)求解，或列方程（組），運(yùn)用方程的觀點(diǎn)解決。 立體幾何中的計(jì)算與證明問題，離不開示意圖，正確的圖形有助于解題