本章復習與小結.ppt

2 1 1矩陣的概念1 矩陣的概念 零矩陣 行矩陣 列矩陣 2 矩陣的表示 3 相等的矩陣 2 1 2二階矩陣與平面列向量的乘法1 二階矩陣與平面向量的乘法規(guī)則 2 理解矩陣對應著向量集合到向量集合的映射 3 待定系數(shù)法是由原象和象確定矩陣的常用方法 2 1二階矩陣與平面向量 的矩形數(shù)字 或字母 陣列稱為矩陣 通常用大寫黑體的拉丁字母A B C 表示 或者用 aij 表示 其中i j分別表示元素aij所在的行與列 同一橫排中按原來次序排列的一行數(shù) 或字母 叫做矩陣的行 同一豎排中按原來次序排列的一行數(shù) 或字母 叫做矩陣的列 組成矩陣的每一個數(shù) 或字母 稱為矩陣的元素 2 2 1恒等變換2 2 2伸壓變換2 2 3反射變換2 2 4旋轉變換2 2 5投影變換2 2 6切變變換 2 2幾種常見的平面變換 恒等變換矩陣 單位矩陣 恒等變換 對平面上任何一點 向量 或圖形施以矩陣對應的變換 都把自己變成自己 這種特殊的矩陣稱為恒等變換矩陣 單位矩陣 恒等變換矩陣實施的對應變換稱為恒等變換 二階單位矩陣一般記為E 垂直伸壓變換矩陣 伸壓變換 將平面圖形作沿y軸方向伸長或壓縮 或作沿x軸方向伸長或壓縮的變換矩陣 通常稱做沿y軸或x軸的垂直伸壓變換矩陣 伸壓變換矩陣對應的變換稱為垂直伸壓變換 簡稱伸壓變換 一般地 稱形如M1 M2 M3 M4 M5這樣的矩陣為反射變換矩陣 對應的變換叫做反射變換 其中 2 叫做中心反射 其余叫軸反射 其中定直線叫做反射軸 定點稱為反射點 M l1a l2b l1Ma l2Mb 上式表明 在矩陣M的作用下 直線l1a l2b變成直線l1Ma l2Mb 這種把直線變成直線的變換 通常叫做線性變換 反之 平面上的線性變換可以用矩陣來表示 但二階矩陣不能刻畫所有平面圖形的性變換 即形如的幾何變換叫做線性變換 旋轉變換 矩陣通常叫做旋轉變換矩陣 對應的變換稱做旋轉變換 其中的角q做旋轉角 點O叫做旋轉中心 旋轉變換只改變幾何圖形的位置 不會改變幾何圖形的形狀 圖形的旋轉由旋轉中心和旋轉角度決定 1 投影變換的幾何要素 投影方向 投影到的某條直線L 2 投影變換矩陣能反映投影變換的幾何要素 3 與投影方向平行的直線投影于L的情況是某個點 4 投影變換是映射 但不是一一映射 像這類將平面內(nèi)圖形投影到某條直線 相應的變換稱做投影變換 或某個點 上的矩陣 我們稱之為投影變換矩陣 投影變換 平移 ky 個單位 當ky 0時 沿x軸正方向移動 當ky 0時 沿x軸負方向移動 當ky 0時 原地不動 在此變換作用下 圖形在x軸上的點是不動點 切變變換 矩陣把平面上的點P x y 沿x軸方向 像由矩陣確定的變換通常叫做切變變換 對應的矩陣叫做切變變換矩陣 2 3 1矩陣乘法的概念2 3 2矩陣乘法的的簡單性質 2 3變換的復合與矩陣的乘法 規(guī)定 矩陣乘法的法則是 建構數(shù)學 矩陣的乘法的幾何意義 矩陣乘法MN的幾何意義為 對向量連續(xù)實施的兩次幾何變換 先TN 后TM 的復合變換 建構數(shù)學 當連續(xù)對向量實施n n N 次變換TM時 記作 Mn M M M 在數(shù)學中 一一對應的平面幾何變換都可以看做是伸壓 反射 旋轉 切變變換的一次或多次復合 而伸壓 反射 旋轉 切變等變換通常叫做初等變換 對應的矩陣叫做初等變換矩陣 2 4 1逆矩陣的概念2 4 2二階矩陣與二元一次方程組 2 4逆變換與逆矩陣 對于二矩陣A B若有AB BA E則稱A是可逆的 B稱為A的逆矩陣 通常記A的逆矩陣為A 1 若二階矩陣A存在逆矩陣B 則逆矩陣是唯一的 建構數(shù)學 逆矩陣的唯一性 思考 A的逆矩陣有多少個 若二階矩陣A B均存在逆矩陣 則AB也存在逆矩陣 且 AB 1 B 1A 1 建構數(shù)學 對于二階矩陣什么條件下可以滿足消去律 已知A B C為二階矩陣 且AB AC 若矩陣A存在逆矩陣 則B C 建構數(shù)學 用逆矩陣的知識理解二元一次方程組的求解過程 設矩陣A 如果對于實數(shù)l 存在一個 非零向量a 使得Aa la 則稱l是矩陣A的一個特征值 a是矩陣A的屬于特征值l的一個特征向量 從幾何上看 特征向量的方向經(jīng)過變換矩陣A的作用后 保持在同一條直線上 這時 特征向量或者方向不變 l 0 或者方向相反 l 0 特別地 當l 0時 特征向量被變換成了0向量 2 5特征值與特征向量 建構數(shù)學 設矩陣A l R 我們把行列式 稱為A的特征多項式 分析表明 如果l是矩陣A的特征值 則f l 0 此時 將l代入方程組 得到一組非零解 即為矩陣A的屬于l的一個特征向量 如果a是矩陣A的屬于特征值l的一個特征向量 則對任意的非零常數(shù)t ta也是矩