數(shù)學思維能力的培養(yǎng).doc

15 數(shù)學思維能力的培養(yǎng) 人民教育出版社章建躍我國初、高中數(shù)學教學大綱中都明確指出，思維能力主要是指：會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；會用歸納、演繹和類比進行推理；會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點；能運用數(shù)學概念、思想和方法，辨明數(shù)學關系，形成良好的思維品質(zhì)。我們認為，大綱中對思維能力的這一闡述是準確的、科學的，反映了心理學對思維能力研究的最新成果，對我國當前的數(shù)學教學具有重要的指導意義。 那么，在數(shù)學課堂教學中應當如何貫徹教學大綱的思想，更加有效地培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力呢？以下我們從發(fā)展心理學、教育心理學的角度談談看法。 一、數(shù)學概括能力的培養(yǎng) 數(shù)學教學中，應當強調(diào)數(shù)學的“過程”與“結(jié)果”的平衡，要讓學生經(jīng)歷數(shù)學結(jié)論的獲得過程，而不是只注意數(shù)學活動的結(jié)果。這里，“經(jīng)歷數(shù)學結(jié)論的獲得過程”的含義是什么呢？我們認為，其實質(zhì)是要讓學生有機會通過自己的概括活動，去探究和發(fā)現(xiàn)數(shù)學的規(guī)律。 概括是思維的基礎。學習和研究數(shù)學，能否獲得正確的抽象結(jié)論，完全取決于概括的過程和概括的水平。數(shù)學的概括是一個從具體向抽象、初級向高級發(fā)展的過程，概括是有層次的、逐步深入的。隨著概括水平的提高，學生的思維從具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展。數(shù)學教學中，教師應根據(jù)學生思維發(fā)展水平和概念的發(fā)展過程，及時向?qū)W生提出高一級的概括任務，以逐步發(fā)展學生的概括能力。 在數(shù)學概念、原理的教學中，教師應創(chuàng)設教學情境，為學生提供具有典型性的、數(shù)量適當?shù)木唧w材料，并要給學生的概括活動提供適當?shù)呐_階，做好恰當?shù)匿亯|，以引導學生猜想、發(fā)現(xiàn)并歸納出抽象結(jié)論。這里，教師鋪設的臺階是否適當，主要看它是否能讓學生處于一種“似懂非懂”、“似會非會”、“半生不熟”的狀態(tài)。猜想實際上是在新舊知識相互作用的過程中，學生對新知識的嘗試性掌握。教師設計教學情境時，首先，應當在分析新舊知識間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別的基礎上，緊密圍繞揭示知識間本質(zhì)聯(lián)系這個目的，安排猜想過程，促使學生發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律；其次，應當分析學生已有數(shù)學認知結(jié)構與新知識之間的關系，并確定同化（順應）模式，從而確定猜想的主要內(nèi)容；再次，要盡量設計多種啟發(fā)路線，在關鍵步驟上放手讓學生猜想，使學生的思維真正經(jīng)歷概括過程。 概括的過程具有螺旋上升、逐步抽象的特點。在學生通過概括獲得初步結(jié)論后，教師應當引導學生把概括的結(jié)論具體化。這是一個應用新獲得的知識去解決問題的過程，是對新知識進行正面強化的過程。在這個過程中，學生的認知結(jié)構與新結(jié)論之間的適應與不適應之間的矛盾最容易暴露，也最容易引起學生形成適應的刺激。 在概括過程中，要重視變式訓練的作用，通過變式，使學生達到對新知識認識的全面性；還要重視反思、系統(tǒng)化的作用，通過反思，引導學生回顧數(shù)學結(jié)論概括的整個思維過程，檢查得失，從而加深對數(shù)學原理、通性通法的認識；通過系統(tǒng)化，使新知識與已有認知結(jié)構中的相關知識建立橫向聯(lián)系，并概括出帶有普遍性的規(guī)律，從而推動同化、順應的深入。 數(shù)學的表現(xiàn)方式是形式化的邏輯體系，數(shù)學理論的最后確立依賴于根據(jù)假定進行抽象概括的能力。因此，教師應當引導學生學會形式抽象，實際上這是一個高層次的概括過程，在這個過程中，學生的邏輯推理能力可以得到很好的培養(yǎng)。 以下課例較好地反映了上述思想（為了節(jié)省篇幅，我們只列出提綱）。 課例 平行線的判定（參考成都20中傅自素老師的教案） 引入通過展示日常生活中的實例，引入判定兩直線平行的課題；通過一定的數(shù)學問題，讓學生認識到用平行線的定義來判定兩直線平行關系的困難性，從而引起探求新的判斷兩直線平行方法的需求。平行線判定公理的認知 1.用三線八角活動教具（如圖1所示），讓直線a繞點A運動，1的大小隨著改變，請學生觀察在什么位置時有ab。圖12.讓學生用已學會的方法，過直線a外一點A畫已知直線的平行線，并要求學生思考：畫平行線時，“三角板的一邊緊貼直尺移動”的過程中，什么量保持不變？說明：“三線八角”是學生熟悉的幾何圖形，通過運動變化，使學生感受平行線判定公理實際上是“三線八角”圖形的一種特殊位置，從而為學生自己得出判定公理作了鋪墊。這里滲透了運動變化、特殊與一般相互轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法。用兩塊三角板畫平行線也是學生熟悉的，由此而讓學生思考“移動過程中的不變量”，滲透了觀察能力的培養(yǎng)，由此也為學生認識“用角的相等判斷直線平行”作了鋪墊。有了這樣的準備，判定公理的得出就“水到渠成”了。）3.請學生用自己的語言敘述出上述過程中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。（提醒學生注意：判斷兩條直線平行時，用了“轉(zhuǎn)化”思想，即將判斷平行問題轉(zhuǎn)化為判斷角相等問題）說明：讓學生用自己的語言敘述規(guī)律，是一個歸納概括的過程，這對學生獲得原理是非常重要的。4.同時用圖形語言、文字語言和符號語言表示“平行線判定公理”。 說明：在幾何教學中，“三種語言”結(jié)合使用非常重要，特別是要注意“用圖形說話”。5.鞏固性練習：（1）如圖2， 如果1150，2150，ab嗎？為什么？（2）如圖3，C30，當ABE 時，可使BECD。（3）如圖4， 已知12，34。判斷下列推理是否正確，并說明理由。如圖4，12（已知），EMFG。（同位角相等，兩直線平行）如圖4，34（已知），ABCD。（同位角相等，兩直線平行）說明：這里的練習編排具有一定的變化性，其思路是對判定公理的條件、結(jié)論的置換，還有是背景圖形的變化在一個相對復雜的變式圖形中應用判定公理，目的是為了強調(diào)“同位角相等”這個條件。圖2圖3圖4探究平行線的判定定理1.利用圖形、教具，引導學生觀察、猜想。問：觀察圖形，結(jié)合已學過的判定公理和前面學過的有關兩角相等的知識，你能否找出判斷兩條直線平行的新方法？請大家討論一下，提出猜想。說明：這里，教師在猜想的方向上做出了引導，并用語言喚起學生已有認知結(jié)構中的相關知識，這樣做有利于學生通過適當?shù)臍w納推理的出猜想。 2.驗證猜想，發(fā)現(xiàn)證明思路。猜想所獲得的結(jié)論不一定正確，也既猜想的正確性需要通過嚴格的邏輯論證。為了尋找證明思路，我們可以先考察一些特殊情況。請同學們畫出兩條直線，使它們與第三條直線相交所得的內(nèi)錯角為30。測量一下這兩條直線是否平行。再以你自己選定的一個角為內(nèi)錯角畫出圖形，測量一下它們的位置關系。 結(jié)合判定公理，考慮一下它們?yōu)槭裁聪嗟龋?不難發(fā)現(xiàn)：由公理知，只要證明23，即有ABCD，而2130（已知），13（對頂角相等），于是330（等量代換），23，ABCD（同位角相等，兩直線平行）。圖5改變2、1的大小，保持12的關系不變，讓學生觀察AB與CD的關系，得出都有ABCD。教師強調(diào)：由于不能一一驗證，因此應當進行推理來證明一般情況的正確性。說明：這里，為了使學生獲得經(jīng)驗，先用具體例子驗證，再通過運動變化將具體推向一般，并引導學生體驗對一般情況進行證明的必要性。這樣的設計體現(xiàn)了對學生的概括活動從具體到抽象的、循序漸進的引導。3.證明猜想，獲得定理。教師引導：所謂證明，實際上就是把要證明的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)成立的公理或定理。現(xiàn)在我們知道哪些判定兩直線平行的方法？（定義、判定公理）那么，能否把“內(nèi)錯角相等”轉(zhuǎn)化為“同位角相等”？由上面對具體例子的分析，學生經(jīng)過一定的思考后不難完成如下證明：12（已知），13（對頂角相等），23（等量代換）。ABCD（同位角相等，兩直線平行）。這樣，我們就把“猜想”變成了“定理”，我們將它稱為平行線判定定理1。這個定理可簡述為“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”。4.練習鞏固，加深理解（略）。 5.思想方法的總結(jié)。判定定理1的探討過程是：猜想驗證證明應用這是探索問題的常用方法。在這個過程中我們可以看到，為了解決新的問題，我們常常將它轉(zhuǎn)化為一個已知的命題來解決。這樣，如何實現(xiàn)轉(zhuǎn)化就成為解決問題的關鍵。另外，“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”。6.知識遷移，獨立推理。請同學們用證明判定定理1的方法，自己探索一下“兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行”是否成立。學生獨立思考，練習書寫說理過程。綜合應用（略）。課堂小結(jié) 1.請同學們回顧一下我們已經(jīng)獲得的判定兩直線平行的方法。 2.探討過程中用到的思想方法。 上述課例中，教師根據(jù)初中一年級學生思維處于從直觀形象思維向抽象邏輯思維轉(zhuǎn)折時期的特點，通過活動教具、作圖等，引導學生操作、觀察，歸納概括而得平行線判定的有關猜想。在此基礎上，通過具體例子引導學生體會證明猜想的方法，并由特殊推向一般、從具體引向抽象，獲得了判定定理1的證明。這個概括過程，先使學生獲得關于推理的一些直接經(jīng)驗，形象直觀，有操作、有想象、有分析、有歸納，思維經(jīng)歷了從具體到抽象的過程。在獲得定理的證明后，及時概括相應的數(shù)學思想方法，使學生的思維得到及時升華。接著，讓學生用剛剛獲得思想方法去證明其它猜想，從而及時鞏固了學到的知識。由于所有判定定理都是學生自己事先猜想出來的，而猜想的證明也是在教師的引導下學生自己獨立作出的，因此學生從中體驗到了自己也有能力獲得數(shù)學定理，這對激發(fā)學生的學習愿望，形成數(shù)學學習的自信心也是非常有好處的。另外，在教學過程中，教師特別重視了“化歸”這一重要的數(shù)學思想方法的滲透，充分利用知識之間的相互聯(lián)系性，通過分析、歸納、概括，將要解決的新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題，這個過程的實質(zhì)就是概括。我們相信，通過這樣的教學，長期堅持，潛移默化，學生的觀察、猜想、分析、歸納、概括以及邏輯論證等能力都會得到很好的培養(yǎng)和提高。實踐表明，通過向?qū)W生展示各個平行線定理的直觀背景、產(chǎn)生過程及其證明方法的形成過程，學生的思維活動被激活了，通過他們自己主動的思維活動，不但獲得了關于定理的猜想，概括出了定理的證明方法，而且還受到了數(shù)學思想方法乃至數(shù)學觀念的訓練：從特殊到一般、從簡單到綜合，即一般化和特殊化思想；從直觀到抽象不斷轉(zhuǎn)化，即化歸思想；運動變化思想等等。另外，在這樣的概括過程中，學生還能體驗到，數(shù)學不僅有嚴密的邏輯推理，抽象的演繹論證，在數(shù)學理論的產(chǎn)生過程中，也有直觀、猜想、非邏輯性，而且也有合情推理。這種展示了數(shù)學活動真實過程的教學情境，使學生有機會看到數(shù)學知識的實際背景和抽象過程，使他們有機會開展主動的思維活動，通過自己的猜想、發(fā)現(xiàn)來概括數(shù)學原理，確實使學生的數(shù)學概括能力得到了很好的培養(yǎng)和提高。必須指出的是，概括能力的培養(yǎng)，不論采取何種教學方法（發(fā)現(xiàn)法或講授法），關鍵是要有正確的教學思想，使學生真正成為學習的主體，把教學真正建立在學生自己的獨立探索、思考、理解的基礎上，真正給學生以獨立探索的機會，使他們在學習過程中有充分的自由思想空間，使學生有機會經(jīng)歷數(shù)學概括的全過程。但是，在教學實踐中，要做到這些并不容易，教師對學生的學習能力往往并不完全信任，他們總怕學生出錯，總怕學生會浪費時間，總想攙扶著學生，甚至不惜去代替學生思維。而這些做法與培養(yǎng)學生的數(shù)學概括能力的要求是背道而馳的，也是與數(shù)學學習的本來面目不相符合的。因此，在數(shù)學教學中，我們應當從數(shù)學概括的自身特點出發(fā)，在使用抽象的數(shù)學語言和符號表述數(shù)學定義、定理或原理之前，通過可觀察的（實物、圖形、圖表等等）、描述性的、可親身體驗的形式來傳播新的思想，從而引起學生的學習興趣，促使他們自己去試驗、構造，用他們自己的語言去闡述和解釋，通過自己的獨立思維活動來學習知識。要為學生創(chuàng)造一種環(huán)境，使他們在其中扮演自主活動的角色，有發(fā)揮自己的聰明才智進行創(chuàng)造性學習的機會，能自己去尋找需要的證據(jù)，獲得能夠反映自身特點的對數(shù)學原理的解釋，在他們自己的水平上完成對數(shù)學原理的概括過程。我們應當把數(shù)學當作一種科學探索的過程（當然，它是在教師的指導下進行的），而不要把它當成是一種語言、一種高度抽象的理論。應當努力促使學生形成自己對數(shù)學的理解，并能用自己的語言來表達這種理解，而不要只是追求所謂的精確性。因為在學生的數(shù)學學習中，精確而沒有理解，理解但不精確的現(xiàn)象都不少見。通過死記硬背而一字不差地重述一個定理，在任何時候都不能與理解一個定理劃上等號。二、重點放在培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)上 心理學家認為，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維品質(zhì)是發(fā)展數(shù)學能力的突破口。思維品質(zhì)包括思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性和創(chuàng)造性，它們反映了思維的不同方面的特征，因此在教學過程中應該有不同的培養(yǎng)手段。 數(shù)學的性質(zhì)決定了數(shù)學教學既要以學生思維的深刻性為基礎，又要培養(yǎng)學生的思維深刻性。數(shù)學思維的深刻性品質(zhì)的差異集中體現(xiàn)了學生數(shù)學能力的差異，教學中培養(yǎng)學生數(shù)學思維的深刻性，實際上就是培養(yǎng)學生的數(shù)學能力。數(shù)學教學中應當教育學生學會透過現(xiàn)象看本質(zhì)，學會全面地思考問題，養(yǎng)成追根究底的習慣。對于那些容易混淆的概念，如正數(shù)與非負數(shù)、空集F和集合0、銳角和第一象限的角、充分條件和必要條件、映射與一一映射、sin(arcsinx)與arcsin(sinx)等等，可以引導學生通過辨別對比，認清概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，在同化概念的同時，使新舊概念分化，從而深刻理解數(shù)學概念。通過變式教學揭示并使學生理解數(shù)學概念、方法的本質(zhì)與核心。在解題教學中，引導學生認真審題，發(fā)現(xiàn)隱蔽關系，優(yōu)化解題過程，尋找最佳解法等等。 數(shù)學思維的敏捷性，主要反映了正確前提下的速度問題。因此，數(shù)學教學中，一方面可以考慮訓練學生的運算速度，另一方面要盡量使學生掌握數(shù)學概念、原理的本質(zhì)，提高所掌握的數(shù)學知識的抽象程度。因為所掌握的知識越本質(zhì)、抽象程度越高，其適應的范圍就越廣泛，檢索的速度也就越快。另外，運算速度不僅僅是對數(shù)學知識理解程度的差異，而且還有運算習慣以及思維概括能力的差異。因此，數(shù)學教學中，應當時刻向?qū)W生提出速度方面的要求，另外還要使學生掌握速算的要領。例如，每次上課時都可以選擇一些數(shù)學習題，讓學生計時演算；結(jié)合教學內(nèi)容教給學生一定的速算要領和方法；常用的數(shù)字，如20以內(nèi)自然數(shù)的平方數(shù)、10以內(nèi)自然數(shù)的立方數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、無理數(shù) 、 、lg2、lg3的近似值都要做到“一口清”；常用的數(shù)學公式如平方和、平方差、立方和、立方差、一元二次方程的有關公式、對數(shù)和指數(shù)的有關公式、三角函數(shù)的有關公式、各種面積、體積公式、基本不等式、排列數(shù)和組合數(shù)公式、二項式定理、復數(shù)的有關公式、斜率公式、直線、二次曲線的標準方程等等，都要做到應用自如。實際上，速算要領的掌握和熟記一些數(shù)據(jù)、公式等，在思維活動中是一個概括的過程，同時也訓練了學生的數(shù)學技能，而數(shù)學技能的泛化就成為能力。 數(shù)學思維功能僵化現(xiàn)象在學生中是大量存在的，這與學生平時所受的思維訓練有很大關系。教師在教學過程中過分強調(diào)程式化和模式化；例題教學中給學生