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文檔簡介

平面向量應用舉例 授課人 曾超 2 5 1平面幾何中的向量方法 向量的線性運算 加法 減法 數(shù)乘 和數(shù)量積運算都具有鮮明的幾何意義 平面幾何的許多性質(zhì) 如平移 全等 相似 長度 夾角等都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來 因此 我們可以用向量的方法來解決平面幾何中的一些問題 例 平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型 如圖1AC AB AD DB AB AD 你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系嗎 D A C B a b D A B C 圖1 圖2 方法二 作CE AB DF AB于F 則RT ADF RT BCE 所以AD BC AF BE 由于AC AE CE AB BE CE AB 2AB BE BE CE AB 2AB BE BCBD BF DF AB AF DF AB 2AB AF AF DF AB 2AB AF AD AB 2AB BE BC所以AC BD 2 AB BC 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍 D A C F B E 方法三 以AB所在直線為X軸 A為坐標原點建立直角坐標系 設B a 0 D b c 則C a b c AC a b c a 2ab b c BD a b c a 2ab b c AC BD 2a 2 b c 2 AB AD 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y x A B a 0 D b c C a b c 2 2 2 2 2 2 向量方法解決平面幾何問題的 三步曲 1 建立平面幾何與向量的聯(lián)系 用向量表示問題中涉及的幾何元素 將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題 2 通過向量運算 研究幾何元素之間的聯(lián)系 如距離 夾角等問題 3 把運算結(jié)果 翻譯 成幾何關(guān)系 例 如圖 平行四邊形ABCD中 點E F分別是AD DC邊的中點 BE BF分別與AC交于R T兩點 你能發(fā)現(xiàn)AR RT TC之間的關(guān)系嗎 分析 由于R T是對角線AC上的兩點 要判斷AR RT TC之間的關(guān)系 只需要分別判斷AR RT TC與AC的關(guān)系即可 可以根據(jù) 三步曲 來進行解答 第一步 用向量表示問題中的幾何元素第二步 通過向量計算 研究幾何元素關(guān)系第三步 把運算結(jié)果 翻譯 成幾何關(guān)系 D A B C R T E F 例3 已知 如圖 AC為 O的一條直徑 ABC是圓周角 求證 ABC為直角 分析 要證 ABC是直角 即只需要證明AB BC可轉(zhuǎn)化為向量問題進行證明 A C B O 例4 用向量證明三角形的三條高線交于一點已知 如圖1 ABC邊上的高線分別為

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