分形維數(shù)算法.docx

分形維數(shù)算法分形包括規(guī)則分形和無規(guī)則分形兩種。規(guī)則分形是指可以由簡單的迭代或者是按一定規(guī)律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲線，Sierpinski海綿等。這些分形圖形具有嚴(yán)格的自相似性。無規(guī)則分形是指不光滑的，隨機(jī)生成的分形，如蜿蜒曲折的海岸線，變換無窮的布朗運(yùn)動(dòng)軌跡等。這類曲線的自相似性是近似的或統(tǒng)計(jì)意義上的，這種自相似性只存于標(biāo)度不變區(qū)域。對于規(guī)則分形，其自相似性、標(biāo)度不變性理論上是無限的（觀測尺度可以趨于無限小）。不管我們怎樣縮小（或放大）尺度（標(biāo)度）去觀察圖形，其組成部分和原來的圖形沒有區(qū)別，也就是說它具有無限的膨脹和收縮對稱性。因些對于這類分形，其計(jì)算方法比較簡單，可以用縮小測量尺度的或者不斷放大圖形而得到。分形維數(shù)D=lnN()/ln(1/) （2-20）如Cantor集，分?jǐn)?shù)維D=ln2/ln3=0.631；Koch曲線分?jǐn)?shù)維D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海綿分?jǐn)?shù)維D=ln20/ln3=2.777。對于不規(guī)則分形，它只具有統(tǒng)計(jì)意義下的自相似性。不規(guī)則分形種類繁多，它可以是離散的點(diǎn)集、粗糙曲線、多枝權(quán)的二維圖形、粗糙曲面、以至三維的點(diǎn)集和多枝權(quán)的三維圖形，下面介紹一些常用的測定方法26。（1）尺碼法用某個(gè)選定尺碼沿曲線以分規(guī)方式測量，保持尺碼分規(guī)兩端的落點(diǎn)始終在曲線上。不斷改變尺碼，得到一系列長度N（），越小、N越大。如果作lnNln圖后得到斜率為負(fù)的直線，這表明存在如下的冪函數(shù)關(guān)系N-D （2-21）上式也就是Mandelbrot在分形：形狀、機(jī)遇與維數(shù)專著中引用的Richardson公式。Richardson是根據(jù)挪威、澳大利亞、南非、德國、不列顛西部、葡萄牙的海岸線丈量結(jié)果得出此公式的，使用的測量長度單位一般在1公里到4公里之間。海岸線絕對長度L被表示為：L=N1-D （2-22）他得到挪威東南部海岸線的分維D1.52，而不列顛西部海岸線的分維D1.3。這說明挪威的海岸線更曲折一些27。（2）小島法如果粗糙曲線都是封閉的，例如海洋中的許多小島，就可以利用周長-面積關(guān)系求分維，因此這個(gè)方法又被稱為小島法。對于規(guī)則圖形的周長與測量單位尺寸的一次方成正比，而面積A則與的二次方成正比。通常我們可以把它們寫成一個(gè)簡單的比例關(guān)系：PA1/2 (2-23)對于二維空間內(nèi)的不規(guī)則分形的周長和面積的關(guān)系顯然更復(fù)雜一些，Mandelbrot提出，應(yīng)該用分形周長曲線來代替原來的光滑周長，從而給出了下述關(guān)系式： （2-24）這里的分維D大于1（周長光滑時(shí)D=1，上式轉(zhuǎn)化成為（2.23）式），使P的變化減緩，a0是和島的形狀有關(guān)的常數(shù)，是測量尺寸，一般取為小于1的數(shù)值（如取島的最大直徑為1），使因子（1-D）/D隨測量尺寸減小而增大。作logP()/logA()1/2/圖，從其中直線部分的斜率的倒數(shù)，可以得到分維D。這個(gè)方法也可以推廣到粗糙曲線（表面積-體積法）。（3）計(jì)盒維數(shù)法28這是一種常用的計(jì)算分形圖形分維數(shù)的實(shí)用方法。取邊長為r的小盒子，把分形曲線覆蓋起來。則有些小盒子是空的，有些小盒子覆蓋了曲線的一部分。計(jì)數(shù)多少小盒子不是空的，所得的非空盒子數(shù)記為N（r）。然后縮小盒子的尺寸，所得N（r）自然要增大，當(dāng)r0時(shí)，得到分形維數(shù)： （2-25）實(shí)際計(jì)算中只能取有限的r，通常的做法與尺碼法類似，求一系列r和N（r），然后在雙對數(shù)坐標(biāo)中用最小二乘法擬合直線，所得直線的斜率即所求分形維數(shù)。（）結(jié)構(gòu)函數(shù)法29具有分形特征的時(shí)間序列能使其采樣數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)函數(shù)滿足： （2-26）式中：表示差方的算術(shù)平均值。是數(shù)據(jù)間隔的任意選擇值。針對若干尺度對分形曲線的離散信號(hào)計(jì)算出相應(yīng)的（），然后在對數(shù)坐標(biāo)中得logS()log直線的斜率，則分形維數(shù)： （2-27）2.2.4系統(tǒng)所采用的二種計(jì)算維數(shù)的方法以上介紹的各種測量不規(guī)則分形的分維方法，在原理上都是利用了它們的自相似性和被測量是隨測量尺度的改變而改變的特性。因此選擇哪一種方法來測定和計(jì)算分維只能從實(shí)際問題出發(fā)，沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。但在計(jì)算分維時(shí)存在的共同點(diǎn)是在計(jì)算原則上要求圖形象素盡量多以及相似的層次盡量多。但實(shí)際圖形往往達(dá)不到這樣的要求，計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果原則上可以有大得多的線性范圍，但限于計(jì)算時(shí)，一般雙對數(shù)圖上的線性范圍是23個(gè)量級(jí)。因此我們在實(shí)際的研究工作中，對研究對象使用分形或分維等概念時(shí)一定要注意它的適用范圍。下面介紹在系統(tǒng)中所使用的二種求分形的方法。a、 半方差法半方差法用于復(fù)雜的分形曲線的計(jì)算，適用于對隨機(jī)過程數(shù)據(jù)的處理。該方法簡單易行，適合于計(jì)算機(jī)處理，是一種較實(shí)用的計(jì)算方法。設(shè)在某一測量距離或測量時(shí)間序列上得到一族z（t），且隨機(jī)變量的平均差表示為： （2-28）其中：m(a)為平均差；z(t)為在t位置函數(shù)曲線的測量值；z(t+t)為在t+t位置函數(shù)曲線的測量值；t為一對數(shù)據(jù)的間據(jù)n為數(shù)據(jù)對數(shù)。方差表示為： （2-29）半方差表示為： （2-30）式中數(shù)據(jù)的對數(shù)n的確定方法是：若以等間距t連續(xù)測量某一距離的各點(diǎn)數(shù)值時(shí)，得到一隨機(jī)數(shù)據(jù)z(1),z(2),z(k),如圖2-6所示當(dāng)一對數(shù)據(jù)的間距t1=t時(shí)，數(shù)據(jù)的對數(shù)n=k-1,如圖2-6 (a)所示。當(dāng)一對數(shù)據(jù)的間距t2=2t時(shí)，計(jì)算相應(yīng)的半方差時(shí)，數(shù)據(jù)的對數(shù)n2=k-2,如圖2-6 (b)所示。t1=tn1=k-1 z(1) z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9) z(k) (a)t2=2tn2=k-2 z(1) z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9) z(k) (b)t3=3tn3=k-3 z(1) z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9) z(k) (c)當(dāng)一對數(shù)據(jù)的間距t3=3t時(shí)，計(jì)算相應(yīng)的半方差時(shí)，數(shù)據(jù)的對數(shù)n2=k-3,如圖2-6 (c)所示。圖2-6 半方差法中參數(shù)n的確定Fig 2-6 the definition of n in semi-variance method當(dāng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)較多時(shí)，往下依次類推。每當(dāng)改變一對數(shù)據(jù)的間距時(shí)，由式（2-30）可以得到相應(yīng)的半方差r(a)。對于分形曲線，a與r(a)存在如下的冪型關(guān)系：r(a)hW (2-31)其中，W是冪指數(shù)，是分形維數(shù)D的一種逼近，把h和r(h)繪到雙對數(shù)坐標(biāo)圖上，并進(jìn)行線性回歸，得到回歸方程，其斜率即為W。而斜率W與分形維數(shù)D有如下關(guān)系23：W=4-2D （2-32）則 （2-33）b、 變換法這是Dubuc等29介紹的方法，在本質(zhì)上它與計(jì)盒維數(shù)法相似，但對已知分形曲線運(yùn)用此法得到的結(jié)果比計(jì)盒維數(shù)法準(zhǔn)確，。后來Spanos和Irene25把此方法推廣應(yīng)用于粗糙曲面，也得到很好的結(jié)果。此法設(shè)置寬為的矩形（盒子）覆蓋到分形曲線上，矩形的高度由分形曲線在框內(nèi)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)決定（圖2-7），一步一步移動(dòng)矩形遍及所有象素點(diǎn)，將所有矩形的高和寬相乘并且相加起來得到總面積S（R），系列改變的大小重復(fù)以上操作，得到一系列S（R）。注意上述操作過程中矩形經(jīng)過的范圍應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于矩形的寬度。將R2R1圖2-7 變換法求分維Fig 2-7 dimension calculating using variationS（R）除以R得到N（R）S（R）R，作lnN(R)ln(1/R)曲線，取其中線性部分的斜率為分維，因?yàn)樵诰€性范圍內(nèi)存在N（R）R的關(guān)系?；蛘咧苯幼鱨nS(R)