沈陽理工大學線性代數(shù)B部分復習題答案.doc

線性代數(shù)B部分復習題答案一、填空題1、；注意項的行標排成標準排列，項的符號取決列標排列的逆序數(shù)。2、由自然數(shù)19組成的排列213i69j85為偶排列，試確定i=7，j=4.3、用對角線法則，僅挑出，注意副對角線以及與副對角線平行線上元素之積取負號。4、若這是范德蒙行列式，套用其結果5、設，若AB=BA，則，y=2；6、設，；7、8、設n階行列式D=det(aij)中，元素aij的代數(shù)余子式是Aij ，則；這是代數(shù)余子式重要性質。9、若n元齊次線性方程組Ax=O有n個線性無關的解向量，則A=O；因Ax=O有n個線性無關的解向量，故基礎解系所含解向量個數(shù)n-R(A)=n，從而R(A)=010、若 線性相關，則11、設A是56階矩陣，如果A有一個3階子式不為零，而所有4階子式全為零，則A的秩是3；12、設齊次線性方程組AX=O的同解方程組為，則方程組的基礎解系為.13、當?shù)闹葹?.14.設方陣A滿足，則據(jù)教材P43推論15、在矩陣A的左端乘以一個初等矩陣，相當于對矩陣A施行了一次相應的初等行變換.16、-2417、二、是非題1、設A、B為n階方陣，且AB=O ，則必有或；（ ）據(jù)方陣行列式性質，注意：方陣取行列式后變成數(shù)了。2、設A為mn矩陣，若AX=AY，且AO，則X=Y； （ ）注意：通常矩陣運算不滿足消去律3、若矩陣A、B滿足AB=O ，且，則必有； （ ）但即A可逆時，才有消去律。4、若矩陣A、B滿足AB=O ，則必有A=O，或； （ ）5、設A為n階方陣，B是A經(jīng)過若干次矩陣的初等變換后所得到的矩陣，則有 ；（ ）據(jù)行列式性質2，36、將行列式對換某兩列后，再將其中一列的倍數(shù)加到另一列上，行列式的值不變； （ ）7、設A為n階方陣，若，則； （ ）據(jù)8、若矩陣A滿足AT= -A，則； （ ）因，故不一定為0.9、若A可逆，則A的伴隨矩陣A*也可逆； （ ）證：10、若A的伴隨矩陣A*可逆，則A也可逆； （ ）11、設A、B、C均為n階方陣，且ABC=E，則CAB=E； （ ）據(jù)教材P43推論及可逆定義12、向量組線性相關的充要條件是每一向量可由其余向量線性表示；（ ）教材P87線性相關等價定義至少有一個向量可由其余向量線性表示，但不一定是每一個.13、若1可由2,3,n線性表示，則向量組1,2,n是線性相關的；( )據(jù)教材P87線性相關等價定義14、n+1個n維向量必線性無關； （ ）據(jù)教材P89定理5(2)15、4個5維向量不一定線性相關； （ ）據(jù)教材P89定理5(2)16、若向量組1,2,n是線性相關的，則1可由2,3,n線性表示；（）據(jù)教材P87線性相關等價定義至少有一個向量可由其余向量線性表示，但不一定是1.17、一個線性無關向量組的任何部分組都線性無關； （ ）據(jù)教材P89定理5(1)18、設A=BC，若C的列向量組線性相關，則A的列向量組也線性相關；(難些) （ ）證故A的列向量組也線性相關19、向量組B：b1，b2，bl與向量組A：a1，a2，am等價的充要條件是R（a1，a2，am）= R（b1，b2，bl）. （ ）20、 若齊次線性方程組AX=O只有零解，則AX=b（bO）有唯一解；（ ）因AX=O只有零解（設），故，但。21、若非齊次線性方程組AX=b（bO）有惟一解,則AX=0只有零解；（ ）因AX=b（bO）（設）有惟一解，故，從而AX=0只有零解。據(jù)教材P71定理3和定理4.22、設A為n階方陣，且R(A) n -1，則； （ ）(難些)因R(A) n -1，故A的n-1階子式全為零，即,而。23、若A是矩陣,則齊次線性方程組AX=0必有非零解.( ) (難些)因，故齊次線性方程組AX=0有非零解.這里用到教材P71定理和定理4和可乘條件。24、若齊次線性方程組有兩個不同解，則該方程組必有無窮多解.( ) 三、計算題帶有參變數(shù)的非齊次線性方程組解的討論，并在有無窮多解時，求通解1.當為何值時，非齊次線性方程組（i）有惟一解，（ii）無解，（iii）有無窮多解，并在有無窮多解時求其通解.解：系數(shù)行列式為 2分（1） 當且時，從而方程組有惟一解； 4分（2） 當時，增廣矩陣 所以R(A)=2，R(B)=3，方程組無解. 6分（3）當時，增廣矩陣所以R(A)= R(B)=1，方程組有無窮多解.可得通解 （x2，x3R） 10分2.設 為何值時，方程組有唯一解？無解？方程組有無窮多解？并求它有通解。解： 將方程組的增廣矩陣B用初等行變換化為行階梯矩陣 所以（1）當且時，R(A)=，從而方程組有惟一解；（2）當時，R(A)，方程組無解. （3）當時，R(A)=，方程組有無窮多解，此時增廣矩陣可得通解 （x3R），即四、證明題 側重復習矩陣對稱性、可逆及向量組線性相關性的證明（5）設向量組a1,a2,a3線性無關，證明向量組b1=a2-a1,b2 =2a3-a2，b3=a1-a3也線性無關.利用線性無關定義證明：設有一組數(shù)x1，x2，x3使x1 b1+x2 b2 + x3 b3=O，即x1(2-1)+x2 (2 3-2)+ x3 (1-3)=O， 即（x3- x1）1 +（x1- x2）2+(2 x2- x3) 3=O 2分因1,2,3