2014年考研數(shù)學(xué)二真題與解析[1].doc

2014年考研數(shù)學(xué)二真題與解析一、選擇題 18小題每小題4分，共32分當(dāng)時(shí)，若，均是比高階的無(wú)窮小，則的可能取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】，是階無(wú)窮小，是階無(wú)窮小，由題意可知所以的可能取值范圍是，應(yīng)該選（B）2下列曲線有漸近線的是（A） （B）（C） （D）【詳解】對(duì)于，可知且，所以有斜漸近線應(yīng)該選（C）3設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，則在上（ ）（A）當(dāng)時(shí)， （B）當(dāng)時(shí)，（C）當(dāng)時(shí)， （D）當(dāng)時(shí)，【分析】此題考查的曲線的凹凸性的定義及判斷方法【詳解1】如果對(duì)曲線在區(qū)間上凹凸的定義比較熟悉的話(huà)，可以直接做出判斷 顯然就是聯(lián)接兩點(diǎn)的直線方程故當(dāng)時(shí)，曲線是凹的，也就是，應(yīng)該選（D）【詳解2】如果對(duì)曲線在區(qū)間上凹凸的定義不熟悉的話(huà)，可令，則，且，故當(dāng)時(shí)，曲線是凹的，從而，即，也就是，應(yīng)該選（D）4曲線 上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的曲率半徑是（ ）（）（）(）（）【詳解】 曲線在點(diǎn)處的曲率公式，曲率半徑本題中，所以，對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處，所以，曲率半徑應(yīng)該選（C）5設(shè)函數(shù)，若，則（ ）（）（）（）（）【詳解】注意（1），（2）由于所以可知，6設(shè)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在D的內(nèi)部具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足及，則（ ）（A）的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的邊界上； （B）的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的內(nèi)部；（C）的最大值點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上；（D）的最小值點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上【詳解】 在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，所以在D內(nèi)必然有最大值和最小值并且如果在內(nèi)部存在駐點(diǎn)，也就是，在這個(gè)點(diǎn)處，由條件，顯然，顯然不是極值點(diǎn)，當(dāng)然也不是最值點(diǎn)，所以的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的邊界上所以應(yīng)該選（A）7行列式等于（A） （B）（C） （D）【詳解】應(yīng)該選（B）8設(shè) 是三維向量，則對(duì)任意的常數(shù)，向量，線性無(wú)關(guān)是向量線性無(wú)關(guān)的（A）必要而非充分條件 （B）充分而非必要條件（C）充分必要條件 （D） 非充分非必要條件【詳解】若向量線性無(wú)關(guān)，則（，），對(duì)任意的常數(shù)，矩陣的秩都等于2，所以向量，一定線性無(wú)關(guān)而當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的常數(shù)，向量，線性無(wú)關(guān)，但線性相關(guān)；故選擇（A）二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿(mǎn)分24分. 把答案填在題中橫線上）9 【詳解】10設(shè)為周期為4的可導(dǎo)奇函數(shù)，且，則 【詳解】當(dāng)時(shí)，由可知，即；為周期為4奇函數(shù)，故11設(shè)是由方程確定的函數(shù)，則 【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，所以12曲線的極坐標(biāo)方程為，則在點(diǎn)處的切線方程為 【詳解】先把曲線方程化為參數(shù)方程，于是在處，則在點(diǎn)處的切線方程為，即13一根長(zhǎng)為1的細(xì)棒位于軸的區(qū)間上，若其線密度，則該細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo) 【詳解】質(zhì)心坐標(biāo)14設(shè)二次型的負(fù)慣性指數(shù)是1，則的取值范圍是 【詳解】由配方法可知由于負(fù)慣性指數(shù)為1，故必須要求，所以的取值范圍是三、解答題15（本題滿(mǎn)分10分）求極限【分析】先用等價(jià)無(wú)窮小代換簡(jiǎn)化分母，然后利用洛必達(dá)法則求未定型極限【詳解】16（本題滿(mǎn)分10分）已知函數(shù)滿(mǎn)足微分方程，且，求的極大值和極小值【詳解】解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得到，這是一個(gè)可分離變量的一階微分方程，兩邊分別積分可得方程通解為：，由得，即 令，得，且可知；當(dāng)時(shí)，可解得，函數(shù)取得極大值；當(dāng)時(shí)，可解得，函數(shù)取得極小值17（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)平面區(qū)域計(jì)算【詳解】由對(duì)稱(chēng)性可得18（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿(mǎn)足若，求的表達(dá)式【詳解】設(shè)，則，;；由條件，可知這是一個(gè)二階常用系數(shù)線性非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：其中為任意常數(shù)對(duì)應(yīng)非齊次方程特解可求得為故非齊次方程通解為將初始條件代入，可得所以的表達(dá)式為19（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且單調(diào)增加，證明：（1） ；（2） 【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以即?）令，則可知，且，因?yàn)榍覇握{(diào)增加，所以從而， 也是在單調(diào)增加，則，即得到20（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)函數(shù)，定義函數(shù)列，設(shè)是曲線，直線所圍圖形的面積求極限【詳解】，利用數(shù)學(xué)歸納法可得，21（本題滿(mǎn)分11分）已知函數(shù)滿(mǎn)足，且，求曲線所成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積【詳解】由于函數(shù)滿(mǎn)足，所以，其中為待定的連續(xù)函數(shù)又因?yàn)?，從而可知，得到令，可得且?dāng)時(shí)，曲線所成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為22（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)，E為三階單位矩陣（1） 求方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；（2） 求滿(mǎn)足的所有矩陣【詳解】（1）對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換如下：，得到方程組同解方程組得到的一個(gè)基礎(chǔ)解系（2）顯然B矩陣是一個(gè)矩陣，設(shè)對(duì)矩陣進(jìn)行進(jìn)行初等行變換如下：由方程組可得矩陣B對(duì)應(yīng)的三列分別為，即滿(mǎn)足的所有矩陣為其中為任意常數(shù)23（本題滿(mǎn)分11分）證明階矩陣與相似【詳解】證明：設(shè) ，分別求兩個(gè)矩陣的特征值和特征向量如下：，所以A的個(gè)特征值為；而且A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以一定可以對(duì)角化且；所以B的