第四章 習(xí)題四答案.pdf

第四章第四章 習(xí)題四 習(xí)題四 A A 1 1 下列齊次線性方程組是否有非零解 下列齊次線性方程組是否有非零解 分析分析 n 階方階方陣陣 A AX 0 有非零解有非零解0 Ar An 僅僅有零解有零解0 Ar An 1 1 1234 1234 1234 1234 420 20 3720 31260 xxxx xxxx xxxx xxxx 解解 1142 1112 3 172 13126 A 21 32 41 3 1142 0054 0454 02168 r r rr r r 21 054054 54 45440040 168 21682168 r r 僅有零解 僅有零解 2 2 1245 1234 12345 30 20 426340 xxxx xxxx xxxxx 分析 分析 n 元元齊次線性方程組有非零解齊次線性方程組有非零解 r An 僅有零解 僅有零解 r An 解 解 35r An 有非零解 即有無窮多解 有非零解 即有無窮多解 2 2 求齊次線性方程組 求齊次線性方程組 1234 1234 1234 20 3630 51050 xxxx xxxx xxxx 的一個(gè)基礎(chǔ)解系 的一個(gè)基礎(chǔ)解系 解 解 32 21 1 2 314 12 3 5 1211 01211 01201 0 3613 00040 00010 0 51015 00040 00000 0 rr rr r rr rr A 所以原方程組等價(jià)于所以原方程組等價(jià)于 124 3 20 0 xxx x 24 x x可取任意實(shí)數(shù) 可取任意實(shí)數(shù) 原方程組的通解為原方程組的通解為 124 21 3 42 2 0 xxx xk x xk 12 k kR 改寫為改寫為 11221 211 12 3 422 2221 010 00000 001 xkkkk xkk kk x xkk 12 k kR 因此因此齊次線性方程組的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為基礎(chǔ)解系為 12 21 10 00 01 3 3 求下列非齊次線性方程組求下列非齊次線性方程組 1234 1234 1234 1 2456 2345 xxxx xxxx xxxx 的通解 的通解 解 解 32 21 1 2 313 12 2 1111 11111 1105 32 7 3 2145 60323 4012 31 4 3 1234 50323 40000 0 rr rr r rr rr A b 所以原方程組等價(jià)于所以原方程組等價(jià)于 134 234 57 2 33 24 33 xxx xxx 34 x x可取任意實(shí)數(shù) 可取任意實(shí)數(shù) 原方程組的通解為原方程組的通解為 112 212 31 42 57 2 33 24 33 xkk xkk xk xk 即 即 12 57 2 33 241 33 0 10 1 00 xkk 12 k kR 4 4 確定確定a a的值使下列線性方程組有解 并的值使下列線性方程組有解 并在有解的情形下在有解的情形下求其通解求其通解 123 123 2 123 1axxx xaxxa xxaxa 分析 分析 設(shè)設(shè)A為為nm 矩陣 則矩陣 則n元非齊次線性方程組元非齊次線性方程組bAx 無解無解 rA br A n元非齊次線性方程組元非齊次線性方程組bAx 有無窮多個(gè)解的充分必要條件為有無窮多個(gè)解的充分必要條件為 rA b r An n元非齊次線性方程組元非齊次線性方程組bAx 有唯一解充的分必要條件為有唯一解充的分必要條件為 rA b r A n 解法一 解法一 3121 31 22 2 223 1111111 1111011 111110111 rrrr rar aaaaa A baaaaaaaa aaaaaa 32 22 2 2232 1111 011011 1 002100 1 2 1 1 rr aaaa aaaaaaaa aaaaaa aaa 1 當(dāng)當(dāng) a 1 2 時(shí) 時(shí) r A r A b 3 方程組有唯一解 方程組有唯一解 2 當(dāng)當(dāng) a 2 時(shí) 時(shí) r A 2 2 3 3 r A b 方程組無解 方程組無解 3 當(dāng)當(dāng) a 1 1 時(shí) 時(shí) r A r A b 1 3 方程組有無窮多解 方程組有無窮多解 此時(shí) 此時(shí) 21 31 1 1 111111 1 1 110000 1 1 110000 rr rr A b 123 1xxx 原方程組的通解為原方程組的通解為 112 41 32 1xkk xk xk 即 即 12 111 100 010 xkk 12 k kR 解法二 解法二 1 11 110 11 a a a 即 即1 2a 時(shí)方程組有唯一解時(shí)方程組有唯一解 2 r Ar A b 2 111 11 11 a A baa aa 2 2 11 011 1 00 1 2 1 1 aa aaaa aaa a 由由 2 1 2 0 1 1 0aaaa 得得2a 時(shí) 方程組無解時(shí) 方程組無解 3 3r Ar A b 由 由 2 1 2 1 1 0aaaa 得得1a 時(shí)時(shí) 方程組有無窮多個(gè)方程組有無窮多個(gè) 解解 5 確定 a b的值使下列線性方程組有解 并在有解的情形下求其通解 1234 234 1234 1234 2222 1 3 5 xxxx xxx xxxxa xxxxb 解 解 12 3132 4141 2 3 122221222210040 011110111101111 11130111200001 11150333200001 rr rrrr rrrr A b aaa bbb a 1 b 1 時(shí) 時(shí) r A 2 2 4 4 r A b 方程組無解 方程組無解 a 1 b 1 時(shí) 時(shí) r A 2 2 r A b 方程組有無窮多解 方程組有無窮多解 此時(shí)此時(shí) 1222210040 0111101111 1113100000 1115100000 A b 所以原方程組等價(jià)于所以原方程組等價(jià)于 14 234 40 1 xx xxx 34 x x可取任意實(shí)數(shù) 可取任意實(shí)數(shù) 原方程組的通解為原方程組的通解為 12 212 31 42 4 1 xk xkk xk xk 即 即 12 040 111 100 010 xkk 12 k kR 6 6 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為 3 3 已知 已知 1 2 3是它的三個(gè)解向量 是它的三個(gè)解向量 且且 1 2345 T 23 1234 T 求該方程組的通解 求該方程組的通解 解解 由于矩陣的秩為由于矩陣的秩為 3 n r 4 3 1 故其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)向量故其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)向量 且由于且由于 321 均為非齊次線性方程組的解 由解的性質(zhì)得均為非齊次線性方程組的解 由解的性質(zhì)得 1231212 3 2 4 5 6 齊次解齊次解齊次解 為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 故此故此非齊次線性非齊次線性方程組的通解 方程組的通解 5 4 3 2 6 5 4 3 kx Rk 7 7 設(shè) 設(shè) 123 是 方 程 組是 方 程 組AX 0的 一 個(gè) 基 礎(chǔ) 解 系 證 明 向 量 組的 一 個(gè) 基 礎(chǔ) 解 系 證 明 向 量 組 123123 也是也是Ax 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系的一個(gè)基礎(chǔ)解系 解解 123 是方程組是方程組AX 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系的一個(gè)基礎(chǔ)解系 所以所以Ax 0的任意三個(gè)線性無關(guān)解向量的任意三個(gè)線性無關(guān)解向量 的都是它的基礎(chǔ)解系 且的都是它的基礎(chǔ)解系 且 123 是方程組是方程組AX 0的線性無關(guān)解向量組 的線性無關(guān)解向量組 由齊次線性方程組的解的性質(zhì)得由齊次線性方程組的解的性質(zhì)得 123123 也是也是Ax 0的解 的解 設(shè)設(shè) 1123 12 3 2 3 得得 111 11020 001 C 知知 123123 線性無關(guān) 線性無關(guān) 因此 向量組因此 向量組 123123 也是也是Ax 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系 的一個(gè)基礎(chǔ)解系 8 8 設(shè)設(shè) 是非齊次線性方程組是非齊次線性方程組Ax b b 0 的一個(gè)解的一個(gè)解 1 n r是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程 組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 rR A 證明 證明 1 1 1 n r線性無關(guān)線性無關(guān) 2 2 1 n r 線性無關(guān)線性無關(guān) 證明證明 1 1 反證法反證法 假設(shè)假設(shè) 1 n r 線性相關(guān)線性相關(guān) 則存在著不全為則存在著不全為 0 0 的數(shù)的數(shù) 01 n r c cc 使得使得 下式成立下式成立 01 1 0 n rn r CCC 1 1 其中其中 0 0c 否則否則 1 n r 線性相關(guān)線性相關(guān) 而與基礎(chǔ)解系不是線性相關(guān)的產(chǎn)生矛盾 而與基礎(chǔ)解系不是線性相關(guān)的產(chǎn)生矛盾 由于由于 為特解 為特解 1 n r 為基礎(chǔ)解系 故得為基礎(chǔ)解系 故得 bCACCCCA rnrn00110 而由而由 1 1 式可得式可得 01 1 0 n rn r A CCC 故故0b 而題中 而題中 該方程組為非齊次線性方程組該方程組為非齊次線性方程組 得得0b 產(chǎn)生矛盾產(chǎn)生矛盾 假設(shè)不成立假設(shè)不成立 故故 1 n r 線性無關(guān)線性無關(guān) 2 2 反證法反證法 假使假使 1 n r 線性相關(guān)線性相關(guān) 則存在著不全為零的數(shù)則存在著不全為零的數(shù) 01 n r c cc 使得下式成立使得下式成立 011 0 n rn r ccc 2 即即 011 1 0 n rn rn r ccccc 1 1 若若 01 0 n r ccc 由于由于 1 n r 是線性無關(guān)的一組基礎(chǔ)解系是線性無關(guān)的一組基礎(chǔ)解系 2 2 故故 01 0 n r ccc 由由 2 2 式得式得 0 0c 此時(shí)此時(shí) 01 0 n r ccc 與假設(shè)矛盾與假設(shè)矛盾 3 3 若若 01 0 n r ccc 由題由題 1 1 知知 1 n r 線性無關(guān)線性無關(guān) 故故 0112 0 n rn r cccccc 與假設(shè)矛盾與假設(shè)矛盾 綜上綜上 假設(shè)不成立假設(shè)不成立 原命題得證原命題得證 第四章第四章 習(xí)題四 習(xí)題四 B B 一 填空題一 填空題 1 1 設(shè)設(shè)A為為n階方陣 且與階方陣 且與n階單位陣階單位陣E等價(jià) 則方程組等價(jià) 則方程組bAx 的解的個(gè)數(shù)為的解的個(gè)數(shù)為1 1 分析 分析 n 階方陣階方陣 A AX b 只只有一個(gè)解有一個(gè)解0 Ar An ABr Ar B 解 解 AEr Ar En AX b 只只有一個(gè)解有一個(gè)解 2 2 已知已知A B均為均為n階方陣 階方陣 A 1 1 B 2 2 那么 那么0ABx 的非零解的個(gè)數(shù)等于的非零解的個(gè)數(shù)等于0 0 分析 分析 n 階方陣階方陣 A AX 0 只只有一個(gè)解 即只有零解 有一個(gè)解 即只有零解 0 Ar An 解 解 A B均為均為n階方陣階方陣AB 為為n階方陣 階方陣 20ABA B 0ABx 只有零解只有零解 3 3 齊次線性方程組 齊次線性方程組 123 123 23 0 20 30 xkxx xxx kxx 只有零解 則只有零解 則k應(yīng)滿足的條件是應(yīng)滿足的條件是 解 解 1111 1 21 3 21101 21350 35 0303 kk k Akkk k kk 4 4 111 1110 111 A Ax 設(shè)則的通解為x 0 0 解 解 111111 11102040 111002 A AX 0 只只有一個(gè)解 即零解有一個(gè)解 即零解 5 5 線性方程組 線性方程組 121 232 343 454 515 xxa xxa xxa xxa xxa 有解的充要條件是有解的充要條件是 12345 0aaaaa 分析 分析 設(shè)設(shè)A為為nm 矩陣 則矩陣 則n元非齊次線性方程組元非齊次線性方程組bAx 有解有解 rA br A 解 解 5123 4 11 22 33 44 512345 1100011000 0110001100 0011000110 0001100011 1000100000 rrrrr aa aa A baa aa aaaaaa 6 6 設(shè) 設(shè)A B均為均為n階方陣階方陣3n Axb 只有一個(gè)解 只有一個(gè)解 B的行秩為的行秩為 3 3 則 則BA的列秩等于的列秩等于 分析 分析 n 階方陣階方陣 A AX b 只只有一個(gè)解有一個(gè)解0 Ar An r A A 的列向量組的秩的列向量組的秩 A 的行向量組的秩的行向量組的秩 A 為可逆矩陣為可逆矩陣 r BAr Br ABr B 或 解 解 AX b 只只有一個(gè)解有一個(gè)解0A 所以 所以 A 可逆 可逆 BA的列秩的列秩 3r BAr B 7 7 設(shè) 設(shè)A是是 3 3 階方陣 且方程組階方陣 且方程組Axb 只有一個(gè)解 只有一個(gè)解 B B 是劃去是劃去A的第一列所得到的矩陣的第一列所得到的矩陣 則則 B的秩的秩r B 分析 分析 n 元元齊次線性方程組有非零解齊次線性方程組有非零解 r An 僅有零解 僅有零解 r An 12 m 線性無關(guān)線性無關(guān) 12 m rm 解 解 3 3 元元齊次線性方程組僅有零解 即有唯一解 齊次線性方程組僅有零解 即有唯一解 3r An A 的列向量組的秩的列向量組的秩 3r A A 的列向量組的向量個(gè)數(shù) 的列向量組的向量個(gè)數(shù) 所以所以 A 的列向量組線性無關(guān) 從而的列向量組線性無關(guān) 從而 B 的的列向量組線性無關(guān) 從而列向量組線性無關(guān) 從而 2r B 8 8 已知齊次線性方程組 0Ax有唯一解 A為 5 行 4 列的矩陣 則A的秩 r A 解 解 4 4 元元齊次線性方程組僅有零解 即有唯一解 齊次線性方程組僅有零解 即有唯一解 4r An 二 解答題 1 求一個(gè)齊次線性方程組 使它的基礎(chǔ)解系為 12 0 1 2 3 3 2 1 0 TT 解 齊次線性方程組的通解為解 齊次線性方程組的通解為 121212 0301 121 32 3 33 212 31 3 3010 xkkkkk kR 或或 1212 01 1 32 3 2 31 3 10 xccc cR 1212 134212241 312341234 4141 1 32 31 32 3 2 31 32 31 3 230 32