圓的切點弦方程的九種求法-高中數學.doc

圓的切點弦方程的解法探究在理解概念熟記公式的基礎上，如何正確地多角度觀察、分析問題，再運用所學知識解決問題，是解題的關鍵所在。本文僅通過一個例題，圓的部分的基本題型之一，分別從不同角度進行觀察，用不同的知識點和九種不同的解法，以達到介紹如何觀察、分析、解決關于圓的切點弦的問題。一、預備知識：1、在標準方程下過圓上一點的切線方程為： ；在一般方程 （） 下過圓上一點的切線方程為： 。2、兩相交圓 （）與 （） 的公共弦所在的直線方程為： 。3、過圓 （）外一點作圓的切線，其切線長公式為：。4、過圓 （）外一點作圓的切線，切點弦AB所在直線的方程為：（在圓的標準方程下的形式）； （在圓的一般方程下的形式）。二、題目 已知圓外一點P（-4，-1），過點P作圓的切線PA、PB，求過切點A、B的直線方程。三、解法解法一：用判別式法求切線的斜率如圖示1，設要求的切線的斜率為（當切線的斜率存在時），那么過點P（-4，-1）的切線方程為： 即 由 消去并整理得 令 解得 或將或分別代入解得 、從而可得 A(,)、B(1,-1)，再根據兩點式方程得直線AB的方程為：。解法二：用圓心到切線的距離等于圓的半徑求切線的斜率如圖示1，設要求的切線的斜率為（當切線的斜率存在時），那么過點P（-4，-1）的切線方程為： 即 由圓心C(1,2)到切線的距離等于圓的半徑3，得 解得 或所以切線PA、PB的方程分別為：和從而可得切點 A(,)、B(1,-1)，再根據兩點式方程得直線AB的方程為：。解法三：用夾角公式求切線的斜率如圖示1，設要求的切線的斜率為，根據已知條件可得|PC|= ，在中，|PA|=5，由夾角公式，得 解得 或所以切線PA、PB的方程分別為：和從而可得切點 A(,)、B(1,-1)，再根據兩點式方程得直線AB的方程為：。解法四：用定比分點坐標公式求切點弦與連心線的交點如圖示1，根據已知條件可得|PC|= ，在中，|PA|=5，AHPC，從而可得 由定比分點公式，得 H(,)又因為 再根據點斜式方程得直線AB的方程為：。解法五：將切點弦轉化為兩相交圓的公共弦的問題之一如圖示2，因為|PA|=|PB|，所以直線AB就是經過以P為圓心|PA|為半徑的圓C與圓的交點的直線，由切線長公式得|PA|=所以圓C的方程為 根據兩圓的公共弦所在的直線方程，得 即 直線AB的方程為：。解法六：將切點弦轉化為兩相交圓的公共弦的問題之二如圖示3，因為PACA，PBCB，所以P、A、C、B四點共圓，根據圓的直徑式方程，以P（-4，-1）、C（1，2）為直徑端點的圓的方程為即 根據兩圓的公共弦所在的直線方程，得 即 直線AB的方程為：。解法七：運用圓的切線公式及直線方程的意義設切點A、B的坐標分別為、，根據過圓上一點的切線方程，得切線PA、PB的方程分別為 和因為P（-4，-1）是以上兩條切線的交點，將點P的坐標代入并整理，得 由式知，直線 經過兩點A、B，所以，直線AB的方程為：。解法八：直接運用圓的切點弦方程因為P（-4，-1）是圓外一點，根據切點弦所在直線的方程 得整理得，直線AB的方程為：。解法九：運用參數方程的有關知識如圖4，將圓的普通方程 化為參數方程： （其中為參數）設切點A的坐