微分幾何第四版習(xí)題答案梅向明.doc

微分幾何主要習(xí)題解答1曲面的概念1.求正螺面= u ,u , bv 的坐標(biāo)曲線(xiàn).解 u-曲線(xiàn)為=u ,u ,bv =0,0，bvu ,0，為曲線(xiàn)的直母線(xiàn)；v-曲線(xiàn)為=,bv 為圓柱螺線(xiàn)證明雙曲拋物面a（u+v）, b（u-v）,2uv的坐標(biāo)曲線(xiàn)就是它的直母線(xiàn)。證 u-曲線(xiàn)為= a（u+）, b（u-）,2u= a, b,0+ ua,b,2表示過(guò)點(diǎn) a, b,0以a,b,2為方向向量的直線(xiàn); v-曲線(xiàn)為=a（+v）, b（-v）,2v=a, b,0+va,-b,2表示過(guò)點(diǎn)(a, b,0)以a,-b,2為方向向量的直線(xiàn)。3求球面=上任意點(diǎn)的切平面和法線(xiàn)方程。解 = ，=任意點(diǎn)的切平面方程為即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ；法線(xiàn)方程為 。4求橢圓柱面在任意點(diǎn)的切平面方程，并證明沿每一條直母線(xiàn)，此曲面只有一個(gè)切平面 。解 橢圓柱面的參數(shù)方程為x = cos, y = asin, z = t , , 。所以切平面方程為：，即x bcos + y asin a b = 0此方程與t無(wú)關(guān)，對(duì)于的每一確定的值，確定唯一一個(gè)切平面，而的每一數(shù)值對(duì)應(yīng)一條直母線(xiàn)，說(shuō)明沿每一條直母線(xiàn)，此曲面只有一個(gè)切平面 。5證明曲面的切平面和三個(gè)坐標(biāo)平面所構(gòu)成的四面體的體積是常數(shù)。 證，。切平面方程為：。與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面體的體積為：是常數(shù)。 曲面的第一基本形式1. 求雙曲拋物面a（u+v）, b（u-v）,2uv的第一基本形式. 解 , I = 2。求正螺面= u ,u , bv 的第一基本形式，并證明坐標(biāo)曲線(xiàn)互相垂直。解，I =，坐標(biāo)曲線(xiàn)互相垂直。在第一基本形式為I =的曲面上，求方程為u = v的曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)。解 由條件,沿曲線(xiàn)u = v有du=dv ，將其代入得=，ds = coshvdv , 在曲線(xiàn)u = v上，從到的弧長(zhǎng)為。4設(shè)曲面的第一基本形式為I = ，求它上面兩條曲線(xiàn)u + v = 0 ,uv = 0的交角。分析 由于曲面上曲線(xiàn)的交角是曲線(xiàn)的內(nèi)蘊(yùn)量，即等距不變量，而求等距不變量只須知道曲面的第一基本形式，不需知道曲線(xiàn)的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一類(lèi)基本量，曲線(xiàn)u + v = 0與u v = 0的交點(diǎn)為u = 0, v = 0,交點(diǎn)處的第一類(lèi)基本量為，。曲線(xiàn)u + v = 0的方向?yàn)閐u = -dv , u v = 0的方向?yàn)閡=v , 設(shè)兩曲線(xiàn)的夾角為，則有cos= 。5求曲面z = axy上坐標(biāo)曲線(xiàn)x = x ,y =的交角.解 曲面的向量表示為=x,y,axy, 坐標(biāo)曲線(xiàn)x = x的向量表示為= x,y,axy ，其切向量=0，1，ax；坐標(biāo)曲線(xiàn)y =的向量表示為=x , ,ax，其切向量=1，0，a，設(shè)兩曲線(xiàn)x = x與y =的夾角為，則有cos = 6. 求u-曲線(xiàn)和v-曲線(xiàn)的正交軌線(xiàn)的方程.解 對(duì)于u-曲線(xiàn)dv = 0,設(shè)其正交軌線(xiàn)的方向?yàn)閡:v ,則有Eduu + F(duv + dvu)+ G d vv = 0,將dv =0代入并消去du得u-曲線(xiàn)的正交軌線(xiàn)的微分方程為Eu + Fv = 0 .同理可得v-曲線(xiàn)的正交軌線(xiàn)的微分方程為Fu + Gv = 0 .7. 在曲面上一點(diǎn),含du ,dv的二次方程P+ 2Q dudv + R，確定兩個(gè)切方向（du ：dv）和（u ：v），證明這兩個(gè)方向垂直的充要條件是ER-2FQ + GP=0.證明因?yàn)閐u,dv不同時(shí)為零，假定dv0，則所給二次方程可寫(xiě)成為P+ 2Q+ R=0 ,設(shè)其二根, 則=，+=又根據(jù)二方向垂直的條件知E + F(+)+ G = 0 將代入則得 ER - 2FQ + GP = 0 .8. 證明曲面的坐標(biāo)曲線(xiàn)的二等分角線(xiàn)的微分方程為E=G.證用分別用、d表示沿u曲線(xiàn)，v曲線(xiàn)及其二等分角線(xiàn)的微分符號(hào)，即沿u曲線(xiàn)u，v，沿v曲線(xiàn)u，v沿二等分角軌線(xiàn)方向?yàn)閐u:dv ,根據(jù)題設(shè)條件,又交角公式得，即。uvV=1u=-avu=avo展開(kāi)并化簡(jiǎn)得E(EG-)=G(EG-),而EG-0，消去EG-得坐標(biāo)曲線(xiàn)的二等分角線(xiàn)的微分方程為E=G.9設(shè)曲面的第一基本形式為I = ，求曲面上三條曲線(xiàn)u = v, v =1相交所成的三角形的面積。解 三曲線(xiàn)在平面上的圖形（如圖）所示。曲線(xiàn)圍城的三角形的面積是S= =2=2= 。10求球面=的面積。解 = ，=E =,F= 0 , G = = .球面的面積為：S = . 11.證明螺面=ucosv,usinv,u+v和旋轉(zhuǎn)曲面=tcos,tsin,(t1, 02)之間可建立等距映射 =arctgu + v , t= .分析 根據(jù)等距對(duì)應(yīng)的充分條件,要證以上兩曲面可建立等距映射 = arctgu + v , t=,可在一個(gè)曲面譬如在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換使兩曲面在對(duì)應(yīng)點(diǎn)有相同的參數(shù),然后證明在新的參數(shù)下,兩曲面具有相同的第一基本形式.證明 螺面的第一基本形式為I=2+2 dudv+(+1), 旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式為I= ,在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換 =arctgu + v , t = , 則其第一基本形式為:=2+2 dudv+(+1)= I .所以螺面和旋轉(zhuǎn)曲面之間可建立等距映射 =arctgu + v , t = .3曲面的第二基本形式1. 計(jì)算懸鏈面=coshucosv,coshusinv,u的第一基本形式,第二基本形式.解 =sinhucosv,sinhusinv,1,=-coshusinv,coshucosv,0=coshucosv,coshusinv,0,=-sinhusinv,sinhucosv,0,=-coshucosv,-coshusinv,0,= coshu,=0,=coshu.所以I = coshu+ coshu .=,L=, M=0, N=1 . 所以II = -+ 。2. 計(jì)算拋物面在原點(diǎn)的第一基本形式,第二基本形式.解 曲面的向量表示為, , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 , I=, II=.3. 證明對(duì)于正螺面=u,u,bv,-u,v處處有EN-2FM+GL=0。解 ，=0,0,0,=-uucosv,cosv,0,=-ucosv,-usinv,0,， L= 0, M = , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 .4. 求出拋物面在(0,0)點(diǎn)沿方向(dx:dy)的法曲率.解 ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率. 5. 已知平面到單位球面(S)的中心距離為d(0d1),求與(S)交線(xiàn)的曲率與法曲率.解 設(shè)平面與(S) 的交線(xiàn)為(C), 則(C)的半徑為,即(C)的曲率為,又(C)的主法向量與球面的法向量的夾角的余弦等于,所以(C)的法曲率為=1 .6. 利用法曲率公式,證明在球面上對(duì)于任何曲紋坐標(biāo)第一、第二類(lèi)基本量成比例。證明 因?yàn)樵谇蛎嫔先我稽c(diǎn)處，沿任意方向的法截線(xiàn)為球面的大圓，其曲率為球面半徑R的倒數(shù)1/R。即在球面上，對(duì)于任何曲紋坐標(biāo)(u,v)，沿任意方向du:dv或-，所以，即第一、第二類(lèi)基本量成比例。7求證在正螺面上有一族漸近線(xiàn)是直線(xiàn)，另一族是螺旋線(xiàn)。證明對(duì)于正螺面=u,u,bv，=0,0,0，=-ucosv,-usinv,0， L=0, N=0 .所以u(píng)族曲線(xiàn)和v族曲線(xiàn)都是漸近線(xiàn)。而u族曲線(xiàn)是直線(xiàn)，v族曲線(xiàn)是螺旋線(xiàn)。8. 求曲面的漸近線(xiàn).解 曲面的向量表示為,.漸近線(xiàn)的微分方程為,即一族為dy=0, 即,為常數(shù). 另一族為2ydx=-xdy, 即.9. 證明每一條曲線(xiàn)在它的主法線(xiàn)曲面上是漸近線(xiàn).證 在每一條曲線(xiàn)(C)的主法線(xiàn)曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量與(C)的主法向量所確定的平面,與曲線(xiàn)(C)的密切平面重合,所以每一條曲線(xiàn)(C)在它的主法線(xiàn)曲面上是漸近線(xiàn).方法二：任取曲線(xiàn)，它的主法線(xiàn)曲面為，在曲線(xiàn)上，t = 0 , ,曲面的單位法向量，即，所以曲線(xiàn)在它的主法線(xiàn)曲面上是漸近線(xiàn).10. 證明在曲面z=f(x)+g(y)上曲線(xiàn)族x=常數(shù), y=常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng).證 曲面的向量表示為 =x,y, f(x)+g(y),x=常數(shù),y=常數(shù)是兩族坐標(biāo)曲線(xiàn)。,.因?yàn)?所以坐標(biāo)曲線(xiàn)構(gòu)成共軛網(wǎng)，即曲線(xiàn)族 x=常數(shù), y=常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng)。11.確定螺旋面=u,u,bv上的曲率線(xiàn).解，=0,0,0，=-ucosv,-usinv,0，=-sinv,cosv,0,， L=0, M= , N=0,曲率線(xiàn)的微分方程為:,即,積分得兩族曲率線(xiàn)方程:. 12.求雙曲面z=axy上的曲率線(xiàn).解 N=0 . 由=0得,積分得兩族曲率線(xiàn)為.13.求曲面上的曲率線(xiàn)的方程.解 M=,N=0.代入曲率線(xiàn)的微分方程得所求曲率線(xiàn)的方程是: . 14.給出曲面上一曲率線(xiàn)L,設(shè) L上每一點(diǎn)處的副法線(xiàn)和曲面在該點(diǎn)的法向量成定角,求證L是一平面曲線(xiàn).證法一：因 L是曲率線(xiàn),所以沿L有,又沿L 有=常數(shù),求微商得,所以,即-=0,則有=0,或=0 .若=0, 則L是平面曲線(xiàn)；若=0 ，L又是曲面的漸近線(xiàn)，則沿L ，=0 ，這時(shí)d=，為常向量，而當(dāng)L是漸近線(xiàn)時(shí)，=，所以為常向量，L是一平面曲線(xiàn).證法二：若 ，則因 ，所以 ，所以d，由伏雷內(nèi)公式知d（）而L是曲率線(xiàn)，所以沿L有d，所以有=0,從而曲線(xiàn)為平面曲線(xiàn)；若不垂直于， 則有=常數(shù),求微商得因?yàn)長(zhǎng)是曲率線(xiàn)，所以沿L有，所以，所以，即-=0 ，若=0，則問(wèn)題得證；否則=0 ，則因，有，（-） ，矛盾。15如果一曲面的曲率線(xiàn)的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線(xiàn)。 證 曲線(xiàn)的密切平面與曲面的切平面成定角，即曲線(xiàn)的副法向量和曲面的法向量成定角，由上題結(jié)論知正確。 16求正螺面的主曲率。解 設(shè)正螺面的向量表示為=u,u,bv.解，=0,0,0，=-ucosv,-usinv,0，=-sinv,cosv,0,， L= 0, M = , N = 0,代入主曲率公式（EG-）-（LG-2FM+EN）+ LN-= 0 得=。 所以主曲率為 。17確定拋物面z=a()在（0，0）點(diǎn)的主曲率.解 曲面方程即， 。在（0，0）點(diǎn),E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以-4a+4=0 ，兩主曲率分別為 = 2 a , = 2 a .18. 證明在曲面上的給定點(diǎn)處,沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù).證 曲面上的給定點(diǎn)處兩主曲率分別為 、，任給一方向及與其正交的方向+，則這兩方向的法曲率分別為， ，即為常數(shù)。19.證明若曲面兩族漸近線(xiàn)交于定角,則主曲率之比為常數(shù).證 由 得 ,即漸進(jìn)方向?yàn)?=-.又-+=2 為常數(shù),所以為為常數(shù),即為常數(shù).20. 求證 正螺面的平均曲率為零.證 由第3題或第16題可知.21. 求雙曲面z=axy在點(diǎn)x=y=0的平均曲率和高斯曲率.證 在點(diǎn)x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=, K =-.22.證明極小曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn).證法一： 由H=0有=0或=-0 .若=0,則沿任意方向,=0 ,即對(duì)于任意的du:dv , ,所以有L=M=N=0,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為平點(diǎn).若=-0,則K=0 ,即LN-M 0 ,G 0 ,所以L(fǎng)N 0 。若=0，則L = M = N = 0 ，曲面上的點(diǎn)是平點(diǎn)，若 a 0 , b+acos 0,所以L(fǎng)N - 的符號(hào)與cos的符號(hào)一致,當(dāng)0和 0 ,曲面上的點(diǎn)為橢圓點(diǎn)，即圓環(huán)面外側(cè)的點(diǎn)為橢圓點(diǎn)；當(dāng)-，曲面上的點(diǎn)為雙曲點(diǎn), 即圓環(huán)面內(nèi)側(cè)的點(diǎn)為雙曲點(diǎn)；當(dāng)=或 時(shí)，LN -=0，為拋物點(diǎn)，即圓環(huán)面上、下兩緯圓上的點(diǎn)為拋物點(diǎn)。25若曲面的第一基本形式表示為的形式，則稱(chēng)這個(gè)曲面的坐標(biāo)曲線(xiàn)為等溫網(wǎng)。試證：旋轉(zhuǎn)曲面上存在等溫網(wǎng)。證 旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式為 ，做參數(shù)變換，v=,則在新參數(shù)下，為等溫網(wǎng)。26兩個(gè)曲面、交于一條曲線(xiàn)（C），而且（C）是的一條曲率線(xiàn)，則（C）也是的一條曲率線(xiàn)的充要條件為、沿著（C）相交成固定角。證 兩個(gè)曲面、交于曲線(xiàn)（C），、分別為、的法向量，則沿交線(xiàn)（C），與成固定角的充要條件為=常數(shù)，這等價(jià)于d()=0,即d+d=0 ,而（C）是的一條曲率線(xiàn)，因此d與（C）的切向量d共線(xiàn)，則與 正交，即d=0，于是d=0，又d，所以 d= d=0的充要條件為d/ d，即（C）是的曲率線(xiàn)。27證明在曲面(S)上的一個(gè)雙曲點(diǎn)P處，若兩條漸近線(xiàn)都不是