必修二數(shù)學教案-學案（全冊）3.3.2兩點間的距離.doc

3.3.2兩點間的距離【教學目標】1掌握直角坐標系兩點間距離，用坐標法證明簡單的幾何問題.2通過兩點間距離公式的推導(dǎo)，能更充分體會數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性. 3體會事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，能用代數(shù)方法解決幾何問題.【重點難點】教學重點：平面內(nèi)兩點間的距離公式. 如何建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?教學難點：如何根據(jù)具體情況建立適當?shù)闹苯亲鴺讼祦斫鉀Q問題.【教學過程】一、導(dǎo)入新課、展示目標問題 已知平面上的兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距離|P1P2|?二、檢查預(yù)習、交流展示 核對課前預(yù)習中的答案。1、（1，0）；2、1并說出自己的疑惑處。三、合作探究、精講精練探究一 平面內(nèi)兩點間的距離公式問題 (1)如果A、B是x軸上兩點，C、D是y軸上兩點，它們的坐標分別是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎樣求?(2)求B(3，4)到原點的距離.(3)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.教師 如果A、B是x軸上兩點，C、D是y軸上兩點，它們坐標分別是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎樣求?求點B(3，4)到原點的距離.已知平面上的兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距離|P1P2|.同學們已知道兩點的距離公式，請大家回憶一下我們怎樣知道的(回憶過程).學生 回答 |AB|=|xB-xA|,|CD|=|yC-yD|.通過畫簡圖，發(fā)現(xiàn)一個RtBMO，應(yīng)用勾股定理得到點B到原點的距離是5.圖1 在直角坐標系中，已知兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，如圖1,從P1、P2分別向x軸和y軸作垂線P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分別為M1(x1，0)、N1(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直線P1N1和P2M2相交于點Q. 在RtP1QP2中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2. 因為|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|， 所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2. 由此得到兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式：|P1P2|= 教師 (a)我們先計算在x軸和y軸兩點間的距離.(b)又問了B(3,4)到原點的距離，發(fā)現(xiàn)了直角三角形.(c)猜想了任意兩點間距離公式.(d)最后求平面上任意兩點間的距離公式. 這種由特殊到一般，由特殊猜測任意的思維方式是數(shù)學發(fā)現(xiàn)公式或定理到推導(dǎo)公式、證明定理經(jīng)常應(yīng)用的方法.同學們在做數(shù)學題時可以采用!應(yīng)用示例例1 如圖2，有一線段的長度是13，它的一個端點是A(-4，8)，另一個端點B的縱坐標是3，求這個端點的橫坐標.圖2解:設(shè)B(x，3)，根據(jù)|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.點評：學生先找點，有可能找不全，丟掉點，而用代數(shù)解比較全面.也可以引至到A(-4，8)點距離等于13的點的軌跡(或集合)是以A點為圓心、13為半徑的圓上與y=3的交點，應(yīng)交出兩個點.變式訓練1 課本106頁練習第一題例2 已知點A(-1，2)，B(2，)，在x軸上求一點，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.解:設(shè)所求點P(x，0)，于是有.由|PA|=|PB|,得x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1.即所求點為P(1，0),且|PA|=2.點評：引導(dǎo)學生熟練設(shè)點及應(yīng)用距離公式。變式訓練2課本106頁練習第二題.探究二 建立適當?shù)淖鴺讼祽?yīng)用代數(shù)問題解決幾何問題例3證明平行四邊行四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和.解析：首先要建立適當?shù)淖鴺讼?，用坐標表示有關(guān)量，然后進行代數(shù)運算，最后把代數(shù)運算的結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。這一道題可以讓學生討論解決，讓學生深刻體會數(shù)形之間的關(guān)系和轉(zhuǎn)化，并從中歸納出應(yīng)用代數(shù)問題解決幾何問題的基本步驟。 證明：如圖所示，以頂點為坐標原點，邊所在的直線為軸，建立直角坐標系，有（，）。設(shè)（，），（，），由平行四邊形的性質(zhì)的點的坐標為（，），因為所以，,所以， 因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和。點評 上述解決問題的基本步驟可以讓學生歸納如下：第一步：建立直角坐標系，用坐標表示有關(guān)的量。第二步：進行有關(guān)代數(shù)運算。第三步；把代數(shù)結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。思考：同學們是否還有其它的解決辦法？還可用綜合幾何的方法證明這道題。變式訓練：已知0x1,0y1,求使不等式2中的等號成立的條件.解析：此題需要學生將不等式轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩點間的距離問題來研究。數(shù)形結(jié)合。答案：x=y=點評：強調(diào)數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸來解決問題。建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，來解決問題很有必要。當堂檢測 導(dǎo)學案當堂檢測課堂小結(jié) 通過本節(jié)學習，要求大家:掌握平面內(nèi)兩點間的距離公式及其推導(dǎo)過程；能靈活運用此公式解決一些簡單問題；掌握如何建立適當?shù)闹苯亲鴺讼祦斫鉀Q相應(yīng)問題.【板書設(shè)計】一、兩點間距離公式二、例題例1變式1例2 變式2例3變式3 【作業(yè)布置】課本習題3.3 必做題 A組6、7、8；選做題B組6. 及導(dǎo)學案課后練習與提高 3.3.2兩點間的距離課前預(yù)習學案一、預(yù)習目標 1掌握直角坐標系兩點間距離，用坐標法證明簡單的幾何問題.2通過兩點間距離公式的推導(dǎo)，能更充分體會數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性. 3體會事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，能用代數(shù)方法解決幾何問題.二、預(yù)習內(nèi)容 （一）鞏固所學 1直線，無論取任意實數(shù)，它都過點 .2若直線與直線的交點為，則 .（二）探索新知，提出疑惑預(yù)習教材P104 P106，找出疑惑之處3 提出疑惑同學們，通過你的自主學習，你還有那些疑惑，請?zhí)钤谙旅娴谋砀裰幸苫簏c疑惑內(nèi)容 并回答下列問題： 1.已知平面上兩點，則P1P2 = （ ）.特殊地：與原點的距離為 P1P2= （ ）. 2.特別地，當P1P2平行于x軸時，P1P2= （ ）； 當P1P2平行于y軸時，P1P2=（ ）課內(nèi)探究學案一、學習目標 1掌握直角坐標系兩點間距離，用坐標法證明簡單的幾何問題.2通過兩點間距離公式的推導(dǎo)，能更充分體會數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性. 3體會事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，能用代數(shù)方法解決幾何問題.學習重點：平面內(nèi)兩點間的距離公式. 如何建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?學習難點：如何根據(jù)具體情況建立適當?shù)闹苯亲鴺讼祦斫鉀Q問題二、學習過程問題 已知平面上的兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距離|P1P2|?探究一 平面內(nèi)兩點間的距離公式問題 (1)如果A、B是x軸上兩點，C、D是y軸上兩點，它們的坐標分別是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎樣求?(2)求B(3，4)到原點的距離.(3)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.（4）同學們已知道兩點的距離公式，請大家回憶一下我們怎樣知道的(回憶過程)得到兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式：|P1P2|=例1 如圖2，有一線段的長度是13，它的一個端點是A(-4，8)，另一個端點B的縱坐標是3，求這個端點的橫坐標.圖2變式訓練1 課本106頁練習第一題例2 已知點A(-1，2)，B(2，)，在x軸上求一點，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.變式訓練2課本106頁練習第二題.探究二 建立適當?shù)淖鴺讼祽?yīng)用代數(shù)問題解決幾何問題例3證明平行四邊行四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和. 上述解決問題的基本步驟學生歸納如下：思考：同學們是否還有其它的解決辦法？還可用綜合幾何的方法證明這道題。變式訓練：已知0x1,0y1,求使不等式2中的等號成立的條件. 學習小結(jié)1.坐標法的步驟：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標表示有關(guān)的量；進行有關(guān)的代數(shù)運算；把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.當堂檢測 1.在x軸上求一點P，使P點到A(-4，3)和B(2，6)兩點的距離相等.2.求在數(shù)軸上，與兩點A(-1,3),B(2,4)等距離的點的坐標.3.已知三點A(3，2)、B(0，5)、C(4，6)，則ABC的形狀是( )A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形4.以A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)為頂點的ABC的形狀是( ) A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形參考答案1. 解:設(shè)點P坐標為(x,0)，由P點到A(-4，3)和B(2，6)兩點的距離相等及兩點間的距離公式，可得x=，即點P坐標為(,0).2.答案：(,0)或(0,5).3.解:由兩點間的距離公式，可得|AB|=|BC|=|CA|=，故選C.答案：C4.答案：C 課后鞏固練習與提高1.點M(x,)、N(y,)之間的距離為( )A.|x+y| B.x+y C.|x-y| D.x-y 2.光線從點A(-3，5)射到x軸上，經(jīng)反射以后經(jīng)過點B(2，10)，則光線從A到B的距離為( )A. B. C. D.3.已知A(3，-1)、B(5，-2)，點P在直線x+y=0上，若使PA+PB取最小值，則P點坐標是( )A.(1，-1) B.(-1，1) C.() D.(-2，2)4.已知A(1，3)、B(5，-2)，點P在x軸上，則使AP-BP取最大值的點P的坐標是( )A.(4，0) B.(13，0) C.(5，0) D.(1，0)5.已知A(a，3)、B(3，3a+3)兩點間的距離是5，則a的值為_.6.以A(-1，1)、B(2，-1)、C(1，4)為頂點的三角形是_三角形.7.已知ABC的頂點坐標為A(3，2)，B(1，0)，C(，)，則AB邊上的中線CM的長為_.8.若2a-b=3，求證：三點A(-2，3)、B(3，a)、C(8,b)在一條直線上.9.如圖3-3-3，ABD和BCE是在直線AC同側(cè)的兩個等邊三角形，試證明AE=CD.圖3-3-310.用坐標法證明等腰梯形的兩條對角線長相等.參考答案1思路解析: 思路解析:考查平面上兩點間距離公式.MN=|x+y|.故選A.2. 思路解析:直接求本題較為麻煩，可以通過對稱問題求解.A(-3,5)關(guān)于x軸的對稱點A(-3，-5)，則AB即為所求，由兩點間距離易求得AB=.答案:C3. 思路解析:點A(3，-1)關(guān)于直線x+y=0的對稱點為A(1，-3)，連結(jié)AB與直線x+y=0的交點即為所求的點，直線AB的方程為y+3=(x-1)，即y=，與x+y=0聯(lián)立,解得x=，y=.答案:C4. 思路解析:點A(1，3)關(guān)于x軸的對稱點為A(1，-3)，連結(jié)AB交x軸于點P，即為所求.直線AB的方程是y+3=(x-1)，即y=.令y=0，得x=13.答案:B5. 思路解析:由兩點間距離公式得AB=，解之,可得a=-1或.答案:-1或 6. 思路解析:本題主要是考查平面上兩點間距離公式和三角形形狀的判斷.目前，判斷三角形的形狀主要是利用三角形的三邊關(guān)系.而知道三角形的三個頂點求三角形的三邊，主要是利用平面上兩點間的距離公式.由兩點間的距離公式可得|AB|=.同理可得|AC|=，|BC|=.所以|AB|=|AC|.又AB2+AC2=BC2=26，所以ABC為等腰直角三角形.答案:等腰直角 7.答案: 思路解析:由中點公式得AB的中點的坐標為M(2，1).由兩點間的距離公式，有|CM|=.AB邊上的中線CM的長為.答案:9.思路解析:本題是證明兩線段的相等問題，可以通過坐標法來證，這就需要根據(jù)圖形的特征建立直角坐標系，得出相關(guān)點的坐標，通過兩點間距離公式證明相等.解:以B為原點，AC所在直線為x軸建立直角坐標系，設(shè)等邊ABD和BCE的邊長分別為2a和2b，于是可得相關(guān)各點坐標：B(0，0)，A(-2a,0)，C(2b,0)，D(-a,)，E(b,),由兩點間的距離公式，則|AE|=，|CD|=，所以|AE|=|CD|10.用坐標法證明等腰梯形的兩條對角線長相等.思路解析:根據(jù)題意，可將問題用數(shù)學表達式