二項(xiàng)式定理__習(xí)題精選.pdf

1 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理習(xí)題精選習(xí)題精選 一 與通項(xiàng)有關(guān)的一些問(wèn)題一 與通項(xiàng)有關(guān)的一些問(wèn)題 例例 1 1 在的展開(kāi)式中 指出 1 第 4 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 2 第 4 項(xiàng)的系數(shù) 3 求常數(shù)項(xiàng) 解解 展開(kāi)式的通項(xiàng)為展開(kāi)式中的第 r 1 項(xiàng) 1 二項(xiàng)式系數(shù)為 2 由 1 知項(xiàng)的系數(shù)為 3 令 6 3r 0 r 2 常數(shù)項(xiàng)為 例例 2 2 若的展開(kāi)式中 前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列 求展開(kāi)式中的有 理項(xiàng) 分析分析 通項(xiàng)為 前三項(xiàng)的系數(shù)為 且成等差 即解得 n 8 從而 要使 Tr 1為有理項(xiàng) 則 r 能被 4 整除 2 例例 3 3 1 求的常數(shù)項(xiàng) 2 求 x 2 3x 2 5的展開(kāi)式中 x 的系數(shù) 解解 1 通項(xiàng) 令 6 2r 0 r 3 常數(shù)項(xiàng)為 2 x 2 3x 2 5 x 1 5 x 2 5 展開(kāi)式中含 x 項(xiàng)由 x 1 5中常數(shù)項(xiàng)乘 x 2 5的一次項(xiàng)與 x 1 5的一次項(xiàng)乘 x 2 5的常數(shù)項(xiàng)相加得到 即為 因而其系數(shù)為 240 例例 4 4 a b c 10的展開(kāi)式中 含 a5b3c2的系數(shù)為 分析分析 根據(jù)多項(xiàng)式相乘的特點(diǎn) 從 a b c 10的十個(gè)因式中選出 5 個(gè)因式中的 a 三個(gè)因式中的 b 兩個(gè)因式中的 c 得到 從而 a 5b3c2的系數(shù)為 小結(jié)小結(jié) 三項(xiàng)式的展開(kāi) 或者轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開(kāi) 或者采用得到二項(xiàng)式定理的方 法去解決 例例 5 5 1 x 3 1 x 4 1 x 5 1 x 100的展開(kāi)式中 x3的系數(shù)為 分析分析 法一 展開(kāi)式中 x 3項(xiàng)是由各二項(xiàng)展開(kāi)式中含 x3項(xiàng)合并而形成 因而系數(shù) 為 法二 不妨先化簡(jiǎn)多項(xiàng)式 由等比數(shù)列求和公式 原式 要求 x 3項(xiàng)只要求分子的 x4項(xiàng) 因而它的系數(shù)為 3 二 有關(guān)二項(xiàng)式系數(shù)二 有關(guān)二項(xiàng)式系數(shù)的問(wèn)題的問(wèn)題 例例 6 6 2x x lgx 8的展開(kāi)式中 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為 1120 則 x 分析分析 二項(xiàng)式系數(shù)最大的為第 5 項(xiàng) 解得 x 1 或 例例 7 7 的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第 項(xiàng) 分析分析 展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)不同于二項(xiàng)式系數(shù) 只能用數(shù)列的分析方法 設(shè)第 r 1 項(xiàng)的系數(shù)最大 則解得 r 7 且此時(shí)上式兩個(gè)等號(hào)都不能取得 因而第 8 項(xiàng)系數(shù)最大 三 賦值法三 賦值法 例例 8 8 已知 1 求 a0 2 求 a1 a2 a3 a4 a5 3 求 a0 a2 a4 2 a 1 a3 a5 2 4 求 a1 a3 a5 5 a0 a1 a5 分析分析 1 可以把 1 2x 5用二項(xiàng)式定理展開(kāi)求解 從另一個(gè)角度看 a0為 x 0 時(shí)右式的結(jié)果 因而令 x 0 1 0 5 a 0 a0 1 4 2 令 x 1 則 1 2 5 a 0 a1 a2 a3 a4 a5 又 a0 1 a1 a2 a3 a4 a5 2 3 令 x 1 得 a0 a1 a2 a5 1 令 x 1 得 3 5 a 0 a1 a2 a3 a4 a5 因而 a0 a2 a4 2 a 1 a3 a5 2 4 聯(lián)立 兩方程 解得 a1 a3 a5 122 5 因而 a0 a1 a5 即為 1 2x 5的展開(kāi)式的所有系數(shù)和 a0 a1 a5 1 2 5 35 243 小結(jié)小結(jié) 求展開(kāi)式的系數(shù)和只需令 x 1 可解 賦值法也需合情合理的轉(zhuǎn)化 例例 9 9 已知 其中 b0 b1 b2 bn 62 則 n 分析分析 令 x 1 則 由已知 2 n 1 2 62 2 n 1 64 n 5 例例 1010 求的展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)的和 分析分析 研究其通項(xiàng) 顯然當(dāng) r 2k k Z 時(shí)為有理項(xiàng) 因而它的有理項(xiàng)系數(shù)和即為 2 t n的奇數(shù)項(xiàng)的 系數(shù)和 設(shè) 2 t n a 0 a1t a2t 2 a nt n 5 令 t 1 即 3 n a 0 a1 a2 an 令 t 1 即 1 a0 a1 a2 1 na n 上兩式相加 解得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和 四 逆用公式四 逆用公式 例例 1111 求值 S x 1 4 4 x 1 3 6 x 1 2 4 x 1 1 解解 例例 1212 求值 分析分析 注意將此式還原成二項(xiàng)展開(kāi)式的結(jié)構(gòu) 原式 五 應(yīng)用問(wèn)題五 應(yīng)用問(wèn)題 例例 1313 求證 3 2n 2 8n 9 能被 64 整除 證明證明 能被 64 整除 例例 1414 91 92除以 100 的余數(shù)為 分析分析 91 92 90 1 92 被 91 92100 除的余數(shù)為 81 小結(jié)小結(jié) 若將 91 92整理成 100 9 92 6 隨之而來(lái)又引出一新問(wèn)題 即 9 92被 100 除的余數(shù)是多少 所以運(yùn)算量較大 例例 1515 求 0 998 3的近似值 精確到 0 001 解解 典型例題典型例題 例例 1 1 已知二項(xiàng)式展開(kāi)式中 末三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù) 列 求此展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng) 解 二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 由此得二項(xiàng)展開(kāi)式中末三項(xiàng)的系數(shù)分別為 依題意得 注意到這里 故得 n 8 設(shè)第 r 1 項(xiàng)為有理項(xiàng) 則有 x 的冪指數(shù)為整數(shù) r 0 4 8 這里 T1 T5 T9為有理項(xiàng) 又由通項(xiàng)公式得 所求二項(xiàng)展開(kāi)式中的有理項(xiàng)分別為 點(diǎn)評(píng) 點(diǎn)評(píng) 二項(xiàng)展開(kāi)式中關(guān)于某些項(xiàng)或某些項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題 一般都要運(yùn)用通項(xiàng)公式 若 為相對(duì)常數(shù) x 為變量 則當(dāng) g n r 為自然數(shù)時(shí)為整式 項(xiàng) 當(dāng) g n r 為整數(shù)時(shí)為有理項(xiàng) 7 例例 2 2 已知的展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于 512 試求 1 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng) 2 系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng) 3 系數(shù)最大的項(xiàng) 解 由題意得 n 10 二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 1 n 10 二項(xiàng)展開(kāi)式共 11 項(xiàng) 二項(xiàng)展開(kāi)式的中間一項(xiàng)即第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 又 所求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為 2 設(shè)第 r 1 項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大 則有 解之得 注意到 8 故得 r 3 第 4 項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大 所求系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為 3 由通項(xiàng)公式的特征可知 系數(shù)最大的項(xiàng)應(yīng)在項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的項(xiàng)內(nèi) 即在 r 取偶數(shù)的各項(xiàng)內(nèi) 又 r 取偶數(shù) 0 2 4 6 8 10 時(shí) 相應(yīng)的各項(xiàng)系數(shù)分別為 即分別為 1 由此可知 系數(shù)最大的項(xiàng)為第 5 項(xiàng) r 4 即 點(diǎn)評(píng) 點(diǎn)評(píng) 1 解決二項(xiàng)式問(wèn)題要注意區(qū)分兩種系數(shù) 一種是某一項(xiàng)的系數(shù) 按通常的多項(xiàng)式系 數(shù)去理解 認(rèn)定 一種是某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 僅指這一項(xiàng)中所含的那個(gè)組合數(shù) 二者在特 殊情況下方為同一數(shù)值 2 這里展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng) 實(shí)際上是展開(kāi) 式中系數(shù)最大的項(xiàng) 必要時(shí)可適時(shí)轉(zhuǎn)化 3 本題解法 一題兩制 對(duì)于 2 我們運(yùn)用一般方法進(jìn)行推導(dǎo) 對(duì)于 3 我們運(yùn)用認(rèn)知 列舉 比較的方法導(dǎo)出目標(biāo) 當(dāng)指數(shù) n 數(shù)值較小時(shí) 3 的解法頗為實(shí)用 例例 3 3 已知 a 0 b 0 2m n 0 且在的展開(kāi)式中系數(shù)最大 的項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng) 求的取值范圍 解 設(shè)二項(xiàng)展開(kāi)式中為常數(shù)項(xiàng) 依題意令 則將已知式代入 得 9 注意到這里 由 得 r 4 展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是 于是有 因此可知 所求的取值范圍為 例例 4 4 求證 1 能被整除 2 證明 1 為利用二項(xiàng)式定理 對(duì)中的底數(shù) n 變形為兩數(shù)之和 或差 且 于是有 注意到 且 故 因此由 式知能被整除 2 證法一 倒序相加法 設(shè) 注意到二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 將 式右邊各項(xiàng)倒序排列 得 10 即 證法二 分項(xiàng)求和法 注意到左邊各項(xiàng)的相同結(jié)構(gòu) 且各項(xiàng)的通項(xiàng) 據(jù)此變形左邊各項(xiàng)得 右邊 右邊 原等式成立 點(diǎn)評(píng) 點(diǎn)評(píng) 證明組合恒等式 除去利用二項(xiàng)公式這一組合的母函數(shù)外 上述兩種方法 特 別是證法二 是基本證明方法 例例 5 5 設(shè)設(shè) 求 求 展開(kāi)式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和 展開(kāi)式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和 展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和 展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和 的值的值 的值的值 的值的值 解 令 注意到這里 n 200 故展開(kāi)式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和 展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和 注意到 11 仿 得 又 解法一 直面原式 又 再由二項(xiàng)式的展開(kāi)式知 點(diǎn)評(píng) 對(duì)于二項(xiàng)展開(kāi)式中各奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和或各偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和或其它有關(guān)多項(xiàng)式中對(duì)于二項(xiàng)展開(kāi)式中各奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和或各偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和或其它有關(guān)多項(xiàng)式中 系數(shù)的和 一般可根據(jù)問(wèn)題的具體情況 對(duì)未知數(shù)系數(shù)的和 一般可根據(jù)問(wèn)題的具體情況 對(duì)未知數(shù) x x 賦予適當(dāng)?shù)臄?shù)值 運(yùn)用特取法求出和賦予適當(dāng)?shù)臄?shù)值 運(yùn)用特取法求出和 式的值 式的值 例例 6 6 化簡(jiǎn)下列各式 1 2 分析 注意到二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的特征 其中 b 的方冪與組合數(shù)上標(biāo)相同 為利用二項(xiàng)式公式求解 依次對(duì)原式實(shí)施湊因子和湊項(xiàng) 即使各項(xiàng)中有關(guān)因子的方冪等于 組合數(shù)上標(biāo) 又使以原式為基礎(chǔ)湊出的式子符合二項(xiàng)展開(kāi)式的特征 解 1 令 x 則 12 即 故得 2 令 x 則 由 得 故得 即 點(diǎn)評(píng) 點(diǎn)評(píng) 對(duì)于組合數(shù)系數(shù)成等比數(shù)列的組合式求和 一般是在適當(dāng)作以湊因子或湊項(xiàng)的 構(gòu)造之后 運(yùn)用二項(xiàng)式公式本身化簡(jiǎn)或求值 例例 7 7 試求下列二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)的系數(shù) 1 的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù) 2 的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù) 3 的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù) 4 的展開(kāi)式中 x 項(xiàng)的系數(shù) 5 的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù) 解 1 借助 配方轉(zhuǎn)化 原式 原展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù) 即展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù) 13 又展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 令得 r 3 展開(kāi)式中 所求原展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為 960 2 注意到的冪指數(shù) 3 較小 借助 局部展開(kāi) 原式 展開(kāi)式中的系數(shù)為 590 3 解法一 求和轉(zhuǎn)化 原式 所求原展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)即為展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù) 所求展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為 解法二 集零為整 考察左式各部 展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為 4 解法一 兩次利用二項(xiàng)式定理 設(shè)展開(kāi)式中第 r 1 項(xiàng)為含有 x 的項(xiàng) 又 14 要使 x 的冪指數(shù)為 1 必須且只需 r 1 即 而展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 故得 原展開(kāi)式中 x 的系數(shù)為 解法二 利用求解組合應(yīng)用題的思路 注意到 欲求展開(kāi)式中 x 的一次項(xiàng) 只要從上式右邊 5 個(gè)因式中有 1 個(gè)因式 取 3x 其余四個(gè)因式都取常數(shù) 2 即可 原展開(kāi)式中 x 的一次項(xiàng)為 所求原展開(kāi)式中 x 的系數(shù)為 240 5 解法一 兩次利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式 注意到 其展開(kāi)式的通項(xiàng) 又的 展 開(kāi) 式 的 通 項(xiàng) 依題意 由此解得 由 得所求展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為 解法二 利用因式分解轉(zhuǎn)化 所求即為展開(kāi)式中的系數(shù) 于是利用 局部展開(kāi) 可得其展開(kāi)式中的系數(shù)為 15 168 小結(jié) 小結(jié) 多項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)系數(shù)的主要求法 1 等價(jià)轉(zhuǎn)化 配方轉(zhuǎn)化 求和轉(zhuǎn)化 分解轉(zhuǎn)化 化整為零 2 局部展開(kāi) 3 兩次利用二項(xiàng)式定理或兩次利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式 4 借助求解組合應(yīng)用題的思想 例例 8 8 已知數(shù)列的通項(xiàng)是二項(xiàng)式與的展開(kāi)式中所有 x 的 次數(shù)相同的各項(xiàng)的系數(shù)之和 求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和公式 解 將與的展開(kāi)式按升冪形式寫(xiě)出 由 可知 只有的展開(kāi)式中出現(xiàn)的偶數(shù)次冪時(shí) 才能與的展 開(kāi)式中 x 的次數(shù)相同 由 得 所求數(shù)列的通項(xiàng)公式為 其前 n 項(xiàng)和公式為 五 高考真題五 高考真題 一 選擇題 一 選擇題 16 1 20052005 全國(guó)卷全國(guó)卷 IIIIII 在的展開(kāi)式中 的系數(shù)是 A 14B 14C 28D 28 分析 對(duì)于多項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)的總數(shù)的尋求 化整為零 為基本方法之一 又的展開(kāi)式中的系數(shù) 為 的系數(shù)為 原展開(kāi)式中的系數(shù)為 應(yīng)選 B 2 2 20052005 江蘇卷 江蘇卷 設(shè) k 1 2 3 4 5 則的展開(kāi)式中的系數(shù)不可能是 A 10B 40C 50D 80 分析 立足于二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式 當(dāng) k 1 時(shí) r 4 的系數(shù)為 當(dāng) k 2 時(shí) r 3 的系數(shù)為 當(dāng) k 3 時(shí) r 2 的系數(shù)為 當(dāng) k 4 時(shí) r 1 的系數(shù)為 綜上可知應(yīng)選 C 點(diǎn)評(píng) 關(guān)于二項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)的問(wèn)題 一般要利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式 3 3 20052005 浙江卷 浙江卷 在的展開(kāi)式中 的項(xiàng)的 系數(shù)為 A 74B 121C 74D 121 分析 考慮求和轉(zhuǎn)化 原式 又的展開(kāi)式中系數(shù)為 的展開(kāi)式中系數(shù)為 原展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為 應(yīng)選 D 4 4 20052005 重慶 重慶 若展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)與含項(xiàng)的系數(shù)之比為 5 17 則 n 等于 A 4B 6C 8D 10 分析 設(shè)第 r 1 項(xiàng)是含的項(xiàng) 又 這一項(xiàng)的系數(shù)為 且 再設(shè)第 s 1 項(xiàng)是含的項(xiàng) 則 這一項(xiàng)的系數(shù)為 且 由 得 故 又由 得 化簡(jiǎn)得 于是由 解得 n 6 r 4 故選 B 5 5 20052005 山東卷山東卷 如果的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 128 則展開(kāi)式中 的系數(shù)是 A 7B 7C 21D 21 分析 設(shè) 則 由已知得 解得 n 7 18 令得 r 6 故所求系數(shù)為 應(yīng)選 C 6 6 20042004 福建卷福建卷 若的展開(kāi)式的第 3 項(xiàng)為 288 則的 值是 A 2B 1C D 分析 由題設(shè) 應(yīng)選 A 二 填空題 二 填空題 1 1 20052005 福建卷 福建卷 展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是 用數(shù)字作答 分析 當(dāng)?shù)?r 2 即所求常數(shù)項(xiàng)為 240 2 2 20042004