高階等差等比數(shù)列的通項及求法.doc

一、高階等差數(shù)列的及的求法求高階等差數(shù)列的通項及前和的時候，通常采用逐差法或待定系數(shù)法。下面先介紹逐差法求通項。方法一 逐差法。我們先看一個例題。例1 求數(shù)列的通項：1，7，25，61，121，211，解：先作各階差數(shù)列：數(shù)列：1，7，25，61，121，211，一階差數(shù)列：6，18，36，60，90，二階差數(shù)列：12，18，24，30，三階差數(shù)列：6，6，6，由此可見，數(shù)列是3階等差數(shù)列，數(shù)列是首項為12、公差為6的等差數(shù)列，故，于是得到將以上各式兩邊分別相加，得因為此公式當時的值，故數(shù)列的通項公式為又由此可得，當時，將以上各式相加，得又此式當時的值，故數(shù)列的通項公式為一般地，設(shè)數(shù)列的K階差數(shù)列記為，如果數(shù)列是P階等差數(shù)列，那么（P-1）階差數(shù)列是等差數(shù)列，于是可以求出數(shù)列的通項公式，利用，仿照上述例題的作法，可以求出數(shù)列的通項公式，依次類推，可求出數(shù)列的通項公式.利用逐差法求高階差數(shù)數(shù)列的通項還是比較麻煩的，下面介紹待定系數(shù)法求通項.方法二 待定系數(shù)法下面先證明兩個定理.定理1 設(shè)P為正整數(shù)，前n個自然數(shù)的P次冪的和記為，即.則是關(guān)于n的（p+1）次多項式.證明 用數(shù)學歸納法.當p=1時，因，它是關(guān)于n的2次多項式，故結(jié)論是正確的.設(shè)結(jié)論當是正確的，既是關(guān)于n的（k+1）次多項式.，于是.根據(jù)假設(shè)分別是關(guān)于n的（k+1）次、k次、（k-1）次，1次多項式，而與n無關(guān)，因此是關(guān)于n的(k+2)次多項式.就是說，當 p=k+1時，是關(guān)于n的(k+2)次多項式，即結(jié)論當p=k+1時也是正確.因此，是關(guān)于n的(p+1)次多項式.定理2 數(shù)列為p階等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列的通項為n的p次多項式.證明 先證必要性.用數(shù)學歸納法.當p=1時，數(shù)列是等差數(shù)列，其通項，這是關(guān)于n的一次多項式.設(shè)p= k，即當為k階差數(shù)列時，數(shù)列就是k階差數(shù)列時，根據(jù)假設(shè)可令依次令n=2,3,4，得將以上各式兩邊分別相加，化簡后得根據(jù)定理1，右邊第一個括號的和是關(guān)于n的(k+1)次多項式，第二個括號是關(guān)于n的k次多項式，因此，是關(guān)于n的(k+1)次多項式.所以，當為(k+1)階等差數(shù)列時，是關(guān)于n的(k+1)次多項式，即p=k+1時結(jié)論也是成立的.由上述證明可知，當為p階等差數(shù)列時，是關(guān)于n的p次多項式.充分性.設(shè)數(shù)列的通項是關(guān)于n的p次多項式,設(shè)作它的一階差數(shù)列：如果連續(xù)作p次，則得到p階差數(shù)列是常數(shù)列，因此數(shù)列是p階等差數(shù)列.定理3 若數(shù)列為p階等差數(shù)列，則它的前n項和是關(guān)于n的（p+1）次多項式.證明 因為是p階等差數(shù)列，根據(jù)定理2，它的通項公式是關(guān)于n是p次多項式.設(shè)，則根據(jù)定理1，分別是關(guān)于n的（p+1）次、p次、（p-1）次，多項式，因此，是關(guān)于n的（p+1）次多項式.根據(jù)定理2和定理3，我們可以求出任意的高階等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式.例1 求下面數(shù)列的通項公式及前n項和5，17，35，59，89，解 先判斷是幾階等差數(shù)數(shù)列.數(shù)列：5，17，35，59，89，一階差數(shù)列：12，18，24，30二階差數(shù)列：6，6，6，因此，數(shù)列是二階等差數(shù)列，根據(jù)定理2，是關(guān)于n的2次多項式；根據(jù)定理3，前項n和是關(guān)于n的3次多項式.于是設(shè) 其中都是待定系數(shù).因為于是由式得方程組解之得因此數(shù)列的通項公式為因此于是由式得方程組：解之得因此，數(shù)列的前n項和例2 求數(shù)列的和解 數(shù)列的通項是關(guān)于n的2次多項式，因此，數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的3次多項式，于是可設(shè)因于是得方程組解這個方程組得因此，數(shù)列的和這個例題，如果是自然數(shù)的方冪和公式來計算，則會簡單一些：.二、高階等比數(shù)列的通項及的求法下面我們介紹用逐差法求高階等比數(shù)列的通項及前n頂和的問題.例1 求下列數(shù)列的通項：（1）：5，11，23，47，（2）：5，15，49，155，477，.解（1）先作各階差數(shù)列：數(shù)列：5，11，23，47，一階差數(shù)列6，12，24，由此可知，數(shù)列是一階等比數(shù)列，數(shù)列的首項為6，公比為2，于是將以上各式兩邊分別相加，得因此，數(shù)列的通項公式為（2）數(shù)列及其各階差數(shù)列為：數(shù)列5，15，49，155，477，一階差數(shù)列：10，34，106，322，二階差數(shù)列：24，72，216，由此可見，數(shù)列是首項為24、公比為3的等比數(shù)列，于是數(shù)列的通項公式為將以上各式兩邊分別相加，得又將以上各式兩邊相加，得因此，數(shù)列的通項公式為下面介紹用待定系數(shù)法求一階和二階等比數(shù)列的通項的方法.定理 若數(shù)列為一階等比數(shù)列，則數(shù)列的通項公式為其中A、B為非0的常數(shù)，q為一階差數(shù)列的公比.證明 因為數(shù)列是一階等比數(shù)列，故數(shù)列是等比數(shù)列.設(shè)公比為，則因為.由此得將以上各式兩邊分別相加，得.此公式當，時的值為，因此數(shù)列通項公式為令則數(shù)列的通項公式可以寫成定理證畢.當數(shù)列為二階等比數(shù)列時，因為一階差數(shù)列是一階等比數(shù)列，由定理可得此數(shù)列的通項公式為其中q是二階差數(shù)列的公比，是常數(shù).將此公式兩邊求和，得即.由此可以得到，二階等比數(shù)列的通項公式為.其中都是常數(shù).一般地說，p階等比數(shù)列的通項形式為.利用上述結(jié)論，可以用待定系數(shù)法求高階等比數(shù)列的通項公式.例2 求數(shù)列：1，31，221，1211，6201，31191，的通項公式.解 不難驗證，數(shù)列是2階等比數(shù)列，且二階差數(shù)列的公比為5，于是可設(shè)數(shù)列通項為因于是得方程組解這個方程組，得A=10，B=-10，C=1.因此，數(shù)列的通項公式為因為p階等比數(shù)列的通項公式為于是數(shù)列的前n項和為.由此可見，只要求出了高階等比數(shù)列的通項公式，它的前n項和也是可以求出來的.例3 求數(shù)列的前n項和.解 先求數(shù)列：3，