2009年全國高考試卷(文科數(shù)學)(山東卷).pdf

中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 20092009 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 山東卷山東卷 文科數(shù)學文科數(shù)學 本試卷分第 卷和第 卷兩部分 共 4 頁 滿分 150 分 考試時間 120 分鐘 考試結束后 將本試卷和答題卡一并交回 注意事項 1 答題前 考生務必用 0 5 毫米黑色簽字筆將自己的姓名 座號 準考證號 縣區(qū)和科類 填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上 并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上指定位置 2 第 卷每小題選出答案后 用 2B 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑 如需改動 用橡皮擦干凈后 再選涂其他答案標號 答案不能答在試卷上 3 第 卷必須用 0 5 毫米黑色簽字筆在答題卡各題的答題區(qū)域內(nèi)作答 不能寫在試題卷上 如需改動 先畫掉原來的答案 然后再寫上新的答案 不能使用涂改液 膠帶紙 修正帶 不按以上要求作答的答案無效 4 填空題請直接填寫答案 解答題應寫出文字說明 證明過程或演算步驟 參考公式 柱體的體積公式 V Sh 其中 S 是柱體的底面積 h 是錐體的高 錐體的體積公式 V 1 3 Sh 其中 S 是錐體的底面積 h 是錐體的高 第第 卷卷 共 60 分 一 選擇題 本大題共一 選擇題 本大題共 1212 小題 每小題小題 每小題 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小題給出的四個選項中 只分 在每小題給出的四個選項中 只 有一項是符合題目要求的 有一項是符合題目要求的 1 集合 0 2 Aa 2 1 Ba 若 0 1 2 4 16AB U 則a的值為 A 0B 1C 2D 4 解析 0 2 Aa 2 1 Ba 0 1 2 4 16AB U 2 16 4 a a 4a 故選 D 答案 D 命題立意 本題考查了集合的并集運算 并用觀察法得到相對應的元素 從而求得答案 本題屬于容易題 2 復數(shù) 3 1 i i 等于 A i21 B 12i C 2i D 2i 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 解析 2 2 3 3 1 3242 2 1 1 1 12 iiiiii i iiii 故選 C 答案 C 命題立意 本題考查復數(shù)的除法運算 分子 分母需要同乘以分母的共軛復數(shù) 把分母 變?yōu)閷崝?shù) 將除法轉變?yōu)槌朔ㄟM行運算 3 將函數(shù)sin2yx 的圖象向左平移 4 個單位 再向上平移 1 個單位 所得圖象的函數(shù)解 析式是 A 2 2cosyx B 2 2sinyx C 4 2sin 1 xyD cos2yx 解析 將函數(shù)sin2yx 的圖象向左平移 4 個單位 得到函數(shù)sin2 4 yx 即 sin 2 cos2 2 yxx 的圖象 再向上平移 1 個單位 所得圖象的函數(shù)解析式 為 2 1cos22cosyxx 故選 A 答案 A 命題立意 本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導公式及二倍角公式進行化簡解析 式的基本知識和基本技能 學會公式的變形 4 一空間幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的體積為 A 22 3 B 42 3 C 2 3 2 3 D 2 3 4 3 解析 該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的 圓 柱的底面半徑為 1 高為 2 體積為2 四棱錐的底面 邊長為2 高為3 所以體積為 2 12 3 23 33 所以該幾何體的體積為 2 3 2 3 答案 C 命題立意 本題考查了立體幾何中的空間想象能力 由三視圖能夠想象得到空間的立體圖 并能準確地 計算出 幾何體的體積 2 2 側 左 視圖 2 2 2 正 主 視圖 俯視圖 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 5 在 R 上定義運算 a baabb 2 則滿足x 2 x 0 的實數(shù)x的取值范圍為 A 0 2 B 2 1 C 1 2 UD 1 2 解 析 根 據(jù) 定 義x 02 2 2 2 2 2 xxxxxxx 解 得 12 時函數(shù)為減函數(shù) 故選 A 答案 A 命題立意 本題考查了函數(shù)的圖象以及函數(shù)的定義域 值域 單調(diào)性等性質(zhì) 本題的難點 在于給出的函數(shù)比較復雜 需要對其先變形 再在定義域內(nèi)對其進行考察其余的性質(zhì) 7 定義在 R 上的函數(shù) f x 滿足 f x 0 2 1 0 4 log2 xxfxf xx 則 f 3 的值為 A 1B 2C 1D 2 解析 由已知得 2 1 log 5f 2 0 log 42f 2 1 0 1 2log 5fff 2 2 1 0 log 5fff 22 3 2 1 log 5 2log 5 2fff 故選 B 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 答案 B 命題立意 本題考查對數(shù)函數(shù)的運算以及推理過程 8 設 P 是 ABC 所在平面內(nèi)的一點 2BCBABP uuu ruuu ruuu r 則 A 0PAPB uu u ruuu r B 0PBPC uuu ruuu r C 0PCPA uuu ruuu r D 0PAPBPC uuu ruuu ruuu r 解析 因為2BCBABP uuu ruu u ruuu r 所以點 P 為線段 AC 的中點 所以應該選 C 答案 C 命題立意 本題考查了向量的加法運算和平行四邊形法則 可以借助圖形解答 9 已知 表示兩個不同的平面 m 為平面 內(nèi)的一條直線 則 是 m 的 A 充分不必要條件B 必要不充分條件 C 充要條件D 既不充分也不必要條件 解析 由平面與平面垂直的判定定理知如果 m 為平面 內(nèi)的一條直線 m 則 反過來則不一定 所以 是 m 的必要不充分條件 答案 B 命題立意 本題主要考查了立體幾何中垂直關系的判定和充分必要條件的概念 10 設斜率為 2 的直線l過拋物線 2 0 yaxa 的焦點 F 且和y軸交于點 A 若 OAF O 為坐標原點 的面積為 4 則拋物線方程為 A 2 4yx B 2 8yx C 2 4yx D 2 8yx 解析 拋物線 2 0 yaxa 的焦點 F 坐標為 0 4 a 則直線l的方程為2 4 a yx 它與y軸的交點為 A 0 2 a 所以 OAF 的面積為 1 4 2 42 aa 解得8a 所以拋物線 方程為 2 8yx 故選 B 答案 B 命題立意 本題考查了拋物線的標準方程和焦點坐標以及直線的點斜式方程和三角形面 積的計算 考查數(shù)形結合的數(shù)學思想 其中還隱含著分類討論的思想 因參數(shù)a的符號不定而 引發(fā)的拋物線開口方向的不定以及焦點位置的相應變化有兩種情況 這里加絕對值號可以做 到合二為一 A B C P 第 8 題圖 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 11 在區(qū)間 2 2 上隨機取一個數(shù) x cosx的值介于 0 到 2 1 之間的概率為 A 3 1 B 2 C 2 1 D 3 2 解析 在區(qū)間 2 2 上隨機取一個數(shù) x 即 2 2 x 時 要使cosx的值介于 0 到 2 1 之間 需使 23 x 或 32 x 區(qū)間長度為 3 由幾何概型知cosx的值介于 0 到 2 1 之間的概率為 3 1 3 故選 A 答案 A 命題立意 本題考查了三角函數(shù)的值域和幾何概型問題 由自變量 x 的取值范圍 得到函 數(shù)值cosx的范圍 再由長度型幾何概型求得 12 已知定義在 R 上的奇函數(shù) xf 滿足 4 f xf x 且在區(qū)間 0 2 上是增函數(shù) 則 A 25 11 80 fff B 80 11 25 fff C 11 80 25 fff D 25 80 11 fff ff 所以0 1 f 即 25 80 11 fff 0 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 第第 卷卷 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 4 4 小題 每小題小題 每小題 4 4 分 共分 共 1616 分 分 13 在等差數(shù)列 n a中 6 7 253 aaa 則 6 a 解析 設等差數(shù)列 n a的公差為d 則由已知得 64 72 11 1 dada da 解得 1 3 2 a d 所 以 61 513aad 答案 13 命題立意 本題考查等差數(shù)列的通項公式以及基本計算 14 若函數(shù) f x a x x a a 0 且 a 1 有兩個零點 則實數(shù) a 的取值范圍是 解析 設函數(shù) 0 x yaa 且1 a 和函數(shù)yxa 則函數(shù) f x a x x a a 0 且 a 1 有兩個零點 就是函數(shù) 0 x yaa 且1 a 與函數(shù)yxa 有兩個交點 由圖象 可知當10 a時 因為函數(shù) 1 x yaa 的圖象 過點 0 1 而直線yxa 所過的點 0 a 一定在點 0 1 的上方 所以一定有兩個交點 所以實數(shù) a 的取值范圍是 1 aa 答案 1 aa 命題立意 本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關系 隱含著對指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考 查 根據(jù)其底數(shù)的不同取值范圍而分別畫出函數(shù)的圖象進行解答 15 執(zhí)行右邊的程序框圖 輸出的 T 解析 按照程序框圖依次執(zhí)行為 S 5 n 2 T 2 S 10 n 4 T 2 4 6 S 15 n 6 T 6 6 12 S 20 n 8 T 12 8 20 S 25 n 10 T 20 10 30 S 輸出 T 30 答案 30 命題立意 本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖 一般都可以 反復的進行運算直到滿足條件結束 本題中涉及到三個變量 注意每個變量的運行結果和執(zhí)行情況 16 某公司租賃甲 乙兩種設備生產(chǎn) A B 兩類產(chǎn)品 甲種設備每天能生產(chǎn) A 類產(chǎn)品 5 件和 B 開始 S 0 T 0 n 0 T S S S 5 n n 2 T T n 輸出 T 結束 是 否 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 類產(chǎn)品 10 件 乙種設備每天能生產(chǎn)A 類產(chǎn)品6 件和 B 類產(chǎn)品 20 件 已知設備甲每天的租賃費 為 200 元 設備乙每天的租賃費為 300 元 現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn) A 類產(chǎn)品 50 件 B 類產(chǎn)品 140 件 所需租賃費最少為 元 解析 設甲種設備需要生產(chǎn)x天 乙種設備需要生產(chǎn)y天 該公司所需租賃費為z元 則200300zxy 甲 乙兩種設備生產(chǎn) A B 兩類產(chǎn)品的情況為下表所示 產(chǎn)品 設備 A 類產(chǎn)品 件 50 B 類產(chǎn)品 件 140 租賃費 元 甲設備510200 乙設備620300 則滿足的關系為 5650 1020140 0 0 xy xy xy 即 6 10 5 214 0 0 xy xy xy 作出不等式表示的平面區(qū)域 當200300zxy 對應的直線過兩直線 6 10 5 214 xy xy 的交點 4 5 時 目標函數(shù)200300zxy 取得最低為 2300 元 答案 2300 命題立意 本題是線性規(guī)劃的實際應用問題 需要通過審題理解題意 找出各量之間的關 系 最好是列成表格 找出線性約束條件 寫出所研究的目標函數(shù) 通過數(shù)形結合解答問題 三 解答題 本大題共 6 小題 共 74 分 17 本小題滿分12分 設函數(shù)f x 2 0 sinsincos 2 cossin 2 xxx在 x 處取最小值 1 求 的值 2 在 ABC 中 cba 分別是角 A B C 的對邊 已知 2 1 ba 2 3 Af 求角 C 解 1 1cos 2sincos sinsin 2 f xxxx 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 sinsin coscos sinsinxxxx sin coscos sinxx sin x 因為函數(shù) f x 在 x處取最小值 所以sin 1 由誘導公式知sin1 因為0 所以 4 B或 4 3 B 當 4 B時 7 6412 C 當 4 3 B時 3 6412 C 綜上所述 7 12 C 或 12 C 命題立意 本題主要考查了三角函數(shù)中兩角和差的弦函數(shù)公式 二倍角公式和三角函數(shù) 的性質(zhì) 并利用正弦定理解得三角形中的邊角 注意本題中的兩種情況都符合 18 本小題滿分 12 分 如圖 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 底面 ABCD 為等腰梯形 AB CD AB 4 BC CD 2 AA1 2 E E1分別是棱 AD AA1的中點 設 F 是棱 AB 的中點 證明 直線 EE1 平面 FCC1 E AB C F E1 A1 B1 C1D1 D 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 證明 平面 D1AC 平面 BB1C1C 證明 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 取 A1B1的中點 F1 連接 A1D C1F1 CF1 因為 AB 4 CD 2 且 AB CD 所以 CD A 1F1 A1F1CD 為平行四邊形 所以 CF1 A1D 又因為 E E1分別是棱 AD AA1的中點 所以 EE1 A1D 所以 CF1 EE1 又因為 1 EE 平面 FCC1 1 CF 平面 FCC1 所以直線 EE1 平面 FCC1 連接 AC 在直棱柱中 CC1 平面 ABCD AC 平面 ABCD 所以 CC1 AC 因為底面 ABCD 為等腰梯形 AB 4 BC 2 F 是棱 AB 的中點 所以 CF CB BF BCF 為正三角形 60BCF ACF 為等腰三角形 且30ACF 所以 AC BC 又因為 BC 與 CC1都在平面 BB1C1C 內(nèi)且交于點 C 所以 AC 平面 BB1C1C 而AC 平面 D1AC 所以平面 D1AC 平面 BB1C1C 命題立意 本題主要考查直棱柱的概念 線面平行和線面垂直位置關系的判定 熟練掌 握平行和垂直的判定定理 完成線線 線面位置關系的轉化 19 本小題滿分 12 分 一汽車廠生產(chǎn) A B C 三類轎車 每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號 某月的產(chǎn)量如下 表 單位 輛 轎車 A轎車 B轎車 C 舒適型100150z 標準型300450600 按類型分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取 50 輛 其中有 A 類轎車 10 輛 1 求 z 的值 2 用分層抽樣的方法在 C 類轎車中抽取一個容量為 5 的樣本 將該樣本看成一個總體 從中任取 2 輛 求至少有 1 輛舒適型轎車的概率 3 用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛 經(jīng)檢測它們的得分如下 9 4 8 6 E AB C F E1 A1 B1 C1D1 D F1 E AB C F E1 A1 B1 C1D1 D 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 9 2 9 6 8 7 9 3 9 0 8 2 把這 8 輛轎車的得分看作一個總體 從中任 取一個數(shù) 求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過 0 5 的概率 解 1 設 該廠 本月 生產(chǎn) 轎車 為 n 輛 由 題意 得 5010 100300n 所 以 n 2000 z 2000 100 300 150 450 600 400 2 設所抽樣本中有 m 輛舒適型轎車 因為用分層抽樣的方法在 C 類轎車中抽取一個容量為 5 的樣本 所以 400 10005 m 解得 m 2 也就是抽取了 2 輛舒適型轎車 3 輛標準型轎車 分別記 作 S1 S2 B1 B2 B3 則從中任取 2 輛的所有基本事件為 S1 B1 S1 B2 S1 B3 S2 B1 S2 B2 S2 B3 S1 S2 B1 B2 B2 B3 B1 B3 共 10 個 其中至少有 1 輛舒適型 轎車的基本事件有 7 個基本事件 S1 B1 S1 B2 S1 B3 S2 B1 S2 B2 S2 B3 S1 S2 所以從中任取 2 輛 至少有 1 輛舒適型轎車的概率為 7 10 3 樣本的平均數(shù)為 1 9 48 69 29 68 79 39 08 2 9 8 x 那么與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過 0 5 的數(shù)為 9 4 8 6 9 2 8 7 9 3 9 0 這 6 個數(shù) 總的個數(shù)為 8 所以該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過 0 5 的概率為 75 0 8 6 命題立意 本題為概率與統(tǒng)計的知識內(nèi)容 涉及到分層抽樣以及古典概型求事件的概率問 題 要讀懂題意 分清類型 列出基本事件 查清個數(shù) 利用公式解答 20 本小題滿分 12 分 等比數(shù)列 n a 的前 n 項和為 n S 已知對任意的nN 點 n n S 均在函數(shù) 0 x ybr b 且1 bb r 均為常數(shù) 的圖像上 1 求 r 的值 11 當 b 2 時 記 1 4 n n n bnN a 求數(shù)列 n b的前n項和 n T 解 因為對任意的nN 點 n n S 均在函數(shù) 0 x ybr b 且1 bb r 均為常數(shù) 的圖 像上 所以得 n n Sbr 當1n 時 11 aSbr 當2n 時 111 1 1 nnnnn nnn aSSbrbrbbbb 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 當 n 2 時 2 1 abb 又因為 n a 為等比數(shù)列 所以 2 1 a b a 即 1 b b b br 解得1r 2 由 1 知 nN 11 1 2 nn n abb 所以 11 111 44 22 n nn n nnn b a 2341 2341 2222 n n n T L 34512 12341 222222 n nn nn T L 兩式相減 得 234512 1211111 2222222 n nn n T L 31 2 11 1 11 22 1 22 1 2 n n n 12 311 422 nn n 所以 11 31133 22222 n nnn nn T 命題立意 本題主要考查了等比數(shù)列的定義 通項公式 以及已知 n S求 n a的基本題型 并 運用錯位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對應項乘積所得新數(shù)列的前n項和 n T 21 本小題滿分 12 分 已知函數(shù) 32 1 3 3 f xaxbxx 其中0a 1 當ba 滿足什么條件時 xf取得極值 2 已知0 a 且 xf在區(qū)間 0 1 上單調(diào)遞增 試用a表示出b的取值范圍 解 1 由已知得 2 21fxaxbx 令0 xf 得 2 210axbx xf要取得極值 方程 2 210axbx 必須有解 所以 2 440ba 即 2 ba 此時方程 2 210axbx 的根為 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 22 1 244 2 bbabba x aa 22 2 244 2 bbabba x aa 所以 12 fxa xxxx 當0 a時 x x1 x1 x1 x2 x2 x2 fx 0 0 f x 增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù) 所以 xf在 x1 x2處分別取得極大值和極小值 當0時 xf取得極值 2 要使 xf在區(qū)間 0 1 上單調(diào)遞增 需使 2 210fxaxbx 在 0 1 上恒成立 即 1 0 1 22 ax bx x 恒成立 所以 max 1 22 ax b x 設 1 22 ax g x x 2 22 1 1 222 a x a a g x xx 令 0g x 得 1 x a 或 1 x a 舍去 當1 a時 1 01 a 1 22 ax g x x 單調(diào)增函數(shù) 當 1 1 x a 時 0g x 1 22 ax g x x 單調(diào)減函數(shù) 所以當 1 x a 時 g x取得最大 最大值為 1 ga a 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 所以ba 當01aa時 ba 當01a 時 1 2 a b 命題立意 本題為三次函數(shù) 利用求導的方法研究函數(shù)的極值 單調(diào)性和函數(shù)的最值 函 數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù) 則導函數(shù)在該區(qū)間上的符號確定 從而轉為不等式恒成立 再轉為函 數(shù)研究最值 運用函數(shù)與方程的思想 化歸思想和分類討論的思想解答問題 22 本小題滿分 14 分 設mR 在平面直角坐標系中 已知向量 1 amx y r 向量 1 bx y r ab rr 動點 M x y的軌跡為 E 1 求軌跡 E 的方程 并說明該方程所表示曲線的形狀 2 已知 4 1 m 證明 存在圓心在原點的圓 使得該圓的任意一條切線與軌跡 E 恒有兩個 交點 A B 且OAOB O 為坐標原點 并求出該圓的方程 3 已知 4 1 m 設直線l與圓 C 222 xyR 1 Rm且1 m時 方程表示的是橢圓 當0 即 22 410kt 即 22 41tk 且 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k 222 222 222 12121212 222 44 84 1 41 41 4 ktk ttk y ykxt kxtk x xkt xxtt kkk 要使OAOB uuu ruuu r 需使 1212 0 x xy y 即 22222 222 444544 0 141414 tt