高等數(shù)學(xué)習(xí)題課1.pdf

1 一 函數(shù) 二 極限 三 連續(xù) 一 函數(shù) 二 極限 三 連續(xù) 一 主要內(nèi)容一 主要內(nèi)容 第一章 習(xí)題課第一章 習(xí)題課 函 數(shù) 的定義 函 數(shù) 的定義 反函數(shù)反函數(shù) 反函數(shù)與直接 函數(shù)之間關(guān)系 反函數(shù)與直接 函數(shù)之間關(guān)系 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù) 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 初等函數(shù)初等函數(shù) 函 數(shù) 的性質(zhì) 奇偶性 函 數(shù) 的性質(zhì) 奇偶性 單調(diào)性單調(diào)性 有界性有界性 周期性周期性雙曲函數(shù)與 反雙曲函數(shù) 雙曲函數(shù)與 反雙曲函數(shù) 一 函數(shù) 一 函數(shù) 1 函數(shù)的定義1 函數(shù)的定義 記為函數(shù) 上的為定義在則稱映射設(shè)數(shù)集 記為函數(shù) 上的為定義在則稱映射設(shè)數(shù)集 DRDfRD 定義定義 Dxxfy 因變量因變量自變量自變量定義域定義域DDf 000 處的函數(shù)值為函數(shù)在點稱時當(dāng)處的函數(shù)值為函數(shù)在點稱時當(dāng)xxfDx 稱為函數(shù)的值域 函數(shù)值全體組成的數(shù)集 稱為函數(shù)的值域 函數(shù)值全體組成的數(shù)集 DxxfyyDfRf 函數(shù)的分類 函數(shù) 函數(shù)的分類 函數(shù) 初等函數(shù) 非初等函數(shù) 分段函數(shù) 有無窮多項等函數(shù) 初等函數(shù) 非初等函數(shù) 分段函數(shù) 有無窮多項等函數(shù) 代數(shù)函數(shù) 超越函數(shù) 代數(shù)函數(shù) 超越函數(shù) 有理函數(shù) 無理函數(shù) 有理函數(shù) 無理函數(shù) 有理整函數(shù) 多項式函數(shù) 有理分函數(shù) 分式函數(shù) 有理整函數(shù) 多項式函數(shù) 有理分函數(shù) 分式函數(shù) 1 單值性與多值性單值性與多值性 若對于每一個若對于每一個Dx 僅有一個值僅有一個值 xfy 與之對 應(yīng) 與之對 應(yīng) 則稱則稱 xf為單值函數(shù)為單值函數(shù) 否則就是多值函數(shù)否則就是多值函數(shù) x y o x ey x y o 1 1 22 yx 2 函數(shù)的性質(zhì)2 函數(shù)的性質(zhì) 2 函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性 偶函數(shù) 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 有對于關(guān)于原點對稱設(shè)有對于關(guān)于原點對稱設(shè) DxD 為偶函數(shù)稱為偶函數(shù)稱xfxfxf 為奇函數(shù)稱為奇函數(shù)稱xfxfxf y xo x y o xy 3 xy 2 3 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f x 的定義域為的定義域為D 區(qū)間 區(qū)間I D 如果對于區(qū)間 如果對于區(qū)間I上 任意兩點及 當(dāng)時 恒有 上 任意兩點及 當(dāng)時 恒有 1 則稱函數(shù)在區(qū)間則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的上是單調(diào)增加的 或 或 2 則稱函數(shù)在區(qū)間則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的上是單調(diào)遞減的 單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù) 單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù) 1 x 2 x 21 xx 4 函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性 0 0 上無界及在 上無界及在 1 1 上有界及在上有界及在 x y o x y 1 11 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f x 的定義域為的定義域為D 如果存在一個不為零的 數(shù) 如果存在一個不為零的 數(shù)l 使得對于任一使得對于任一 有有 且且 f x l f x 恒成立恒成立 則稱則稱f x 為周期函數(shù)為周期函數(shù) l 稱為稱為 f x 的周期的周期 通常 說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期 通常 說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期 Dx Dlx 5 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性 o y x 1 1 xxy 1 T xfy x y o xxf xfx 1 xfy 4 反函數(shù)與直接函數(shù)之間的關(guān)系 反函數(shù)與直接函數(shù)之間的關(guān)系 則函數(shù) 是一一對應(yīng)設(shè)函數(shù) 則函數(shù) 是一一對應(yīng)設(shè)函數(shù) xf f Dxx xffxff 1 11 2 1 xy xfyxfy 圖象對稱于直線 的與 圖象對稱于直線 的與 3 反函數(shù)3 反函數(shù) 1 稱為反函數(shù)確定的由稱為反函數(shù)確定的由xfyxfy xysinh 1 xfy sinhar x 5 基本初等函數(shù)5 基本初等函數(shù) 2 冪函數(shù)冪函數(shù) 是常數(shù) 是常數(shù) xy 3 指數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 1 0 aaay x 4 對數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 1 0 log aaxy a 5 三角函數(shù) 三角函數(shù) cosxy sinxy 6 反三角函數(shù) 反三角函數(shù) arccosxy arcsinxy cot xy tan xy arctan xy ycotarcx 1 常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù) Cy 6 復(fù)合函數(shù) 7 初等函數(shù) 6 復(fù)合函數(shù) 7 初等函數(shù) 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)和稱為由 則且 上有定義在的定義域為設(shè) 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)和稱為由 則且 上有定義在的定義域為設(shè) ufyxgu Dxxgfy DDg DxguDufy f f 定義定義 初等函數(shù)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則 運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用 一個式子表示 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則 運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用 一個式子表示的函數(shù)的函數(shù) 稱為初等函數(shù)稱為初等函數(shù) 3 8 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)8 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù) 2 sinh xx ee x 雙曲正弦 雙曲正弦 2 cosh xx ee x 雙曲余弦 雙曲余弦 xx xx ee ee x x x cosh sinh tanh雙曲正切雙曲正切 雙曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式 sinhxy 反雙曲正弦反雙曲正弦ar tanxy 反雙曲正切反雙曲正切ar coshxy 反雙曲余弦反雙曲余弦ar sinhsinhcoshcosh cosh yxyxyx 1sinhcosh 22 xx coshsinh22sinhxxx sinhcosh2cosh 22 xxx sinhcoshcoshsinh sinh yxyxyx 左右極限左右極限 兩個重要 極限 兩個重要 極限 求極限的常用方法求極限的常用方法 無窮小 的性質(zhì) 無窮小 的性質(zhì) 極限存在的 充要條件 極限存在的 充要條件 判定極限 存在的準(zhǔn)則 判定極限 存在的準(zhǔn)則 無窮小的比較無窮小的比較 極限的運算極限的運算 數(shù)列極限函數(shù)極限數(shù)列極限函數(shù)極限 axn n limAxf xx lim 0 Axf x lim 等價無窮小 及其性質(zhì) 等價無窮小 及其性質(zhì) 極限 的性質(zhì) 極限 的性質(zhì) 無窮小無窮小 0 lim xf 兩者的 關(guān)系 兩者的 關(guān)系 無窮大無窮大 limxf 二 極限 二 極限 1 極限的定義1 極限的定義 定義定義 N 定義定義 如果對于任意給定的正數(shù) 如果對于任意給定的正數(shù) 不論它多么 小 總存在正整數(shù) 不論它多么 小 總存在正整數(shù)N 使得對于 使得對于 Nn 時的一切時的一切 n x 不等式 不等式 axn都成立 那末就稱常數(shù) 都成立 那末就稱常數(shù) a是 數(shù)列 是 數(shù)列 n x 的極限 或者稱數(shù)列 的極限 或者稱數(shù)列 n x 收斂于 收斂于 a 記為 記為 limaxn n 或 或 naxn 如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限 就說數(shù)列是就說數(shù)列是發(fā)散發(fā)散的的 axn n lim 0 axNnN n 恒有時當(dāng)恒有時當(dāng) 定義定義 如果對于任意給定的正數(shù) 如果對于任意給定的正數(shù) 不論它多 么小 總存在正數(shù) 不論它多 么小 總存在正數(shù) 使得對于適合不等式 使得對于適合不等式 0 0 xx的一切 的一切 x 對應(yīng)的函數(shù)值 對應(yīng)的函數(shù)值 xf都 滿足不等式 都 滿足不等式 Axf xx lim 0 0 0 0 時當(dāng)時當(dāng) xx Axf恒有恒有 左極限左極限 0 0 00 Axfxxx恒有時當(dāng)恒有時當(dāng) 右極限右極限 0 0 00 Axfxxx恒有時當(dāng)恒有時當(dāng) AxfAxf xx lim 0 0 或或 AxfAxf xx lim 0 0 或或 lim 00 0 AxfxfAxf xx 定理定理 4 無窮小 極限為零的變量稱為無窮小無窮小 極限為零的變量稱為無窮小 0 lim 0 lim 0 xfxf xxx 或記作或記作 絕對值無限增大的變量稱為無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大 無窮大 無窮大 lim lim 0 xfxf xxx 或記作或記作 在同一過程中 無窮大的倒數(shù)為無窮小 恒不為 零的無窮小的倒數(shù)為無窮大 無窮小與無窮大的關(guān)系 在同一過程中 無窮大的倒數(shù)為無窮小 恒不為 零的無窮小的倒數(shù)為無窮大 無窮小與無窮大的關(guān)系 2 無窮小與無窮大2 無窮小與無窮大 定理定理1 在同一過程中在同一過程中 有限個無窮小的代數(shù)和 仍是無窮小 有限個無窮小的代數(shù)和 仍是無窮小 定理定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 推論推論1 在同一過程中在同一過程中 有極限的變量與無窮小的 乘積是無窮小 有極限的變量與無窮小的 乘積是無窮小 推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 推論推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小 無窮小的運算性質(zhì)無窮小的運算性質(zhì) 定理定理 0 lim 3 lim 2 lim 1 lim lim B B A xg xf BAxgxf BAxgxf BxgAxf 其中 則設(shè) 其中 則設(shè) 推論1推論1 lim lim lim xfcxcf cxf 則為常數(shù)而存在如果 則為常數(shù)而存在如果 lim lim lim nn xfxf nxf 則是正整數(shù)而存在如果 則是正整數(shù)而存在如果推論2推論2 3 極限的運算法則3 極限的運算法則 4 求極限的常用方法4 求極限的常用方法 a 消去零因子法求極限消去零因子法求極限 b 無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限 c 利用無窮小運算性質(zhì)求極限利用無窮小運算性質(zhì)求極限 d 利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限 e 利用等價無窮小代換求極限利用等價無窮小代換求極限 f 利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)求極限利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)求極限 準(zhǔn)則 準(zhǔn)則 如果當(dāng)如果當(dāng) 0 0 rxUx 或或Mx 時時 有有 lim lim 2 1 00 AxhAxg xhxfxg x xx x xx 那末那末 lim 0 xf x xx 存在存在 且等于且等于A 5 判定極限存在的準(zhǔn)則5 判定極限存在的準(zhǔn)則 準(zhǔn)則 準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則 1 1 sin lim 0 x x x 2 e x x x 1 1 lim ex x x 1 0 1 lim 1 sin lim 某過程某過程 1 lim 1 e 某過程某過程 6 兩個重要極限6 兩個重要極限 5 7 無窮小的比較7 無窮小的比較 記作 高階的無窮小是比 就說如果 記作 高階的無窮小是比 就說如果 0lim 1 o 定義 定義 0 且窮小是同一過程中的兩個無設(shè)且窮小是同一過程中的兩個無設(shè) 0lim 3 是同階的無窮小與就說如果是同階的無窮小與就說如果 C 1lim 記作 是等價的無窮小與則稱如果特殊地 記作 是等價的無窮小與則稱如果特殊地 低階的無窮小 是比 就說如果 低階的無窮小 是比 就說如果 lim O 記作 記作 定理定理 等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理 limlim lim 則存在且設(shè)則存在且設(shè) 8 等價無窮小的性質(zhì) 等價無窮小的性質(zhì) 0 0lim 4 無窮小 階的的是就說如果 無窮小 階的的是就說如果kkC k k O 記作 記作 1 1 1ln 1 0 xxxxxe x x 時 時 2 1 cos1 arctan arcsin tan sin 2 xx xxxxx 9 極限的性質(zhì) 極限的性質(zhì) 局部 有界性 局部 有界性 定理2定理2 若在某個過程下 若在某個過程下 xf有極限 則存在 過程的一個時刻 在此時刻以后 有極限 則存在 過程的一個時刻 在此時刻以后 xf有界 唯一性 有界 唯一性定理定理 1 若若 limxf存在存在 則極限唯一則極限唯一 0 0 0 0 0 lim 0 0 xfxfxUx AAAxf o xx 或時當(dāng)則 或且若 或時當(dāng)則 或且若 定理3定理3 0 0 0 0 0 lim 0 0 AAxfxf xUxAxf o xx 或則或 時當(dāng)且若 或則或 時當(dāng)且若 推論 局部 保號性 推論 局部 保號性 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 子列收斂性子列收斂性 lim lim 0 0 Axf xxxfxfAxf n n n xx 則有時的任一子列 當(dāng)是數(shù)列若 則有時的任一子列 當(dāng)是數(shù)列若定理定理4 左右連續(xù)左右連續(xù) 在區(qū)間 a b 上連續(xù) 在區(qū)間 a b 上連續(xù) 閉區(qū)間上 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 閉區(qū)間上 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 初等函數(shù) 的連續(xù)性 初等函數(shù) 的連續(xù)性 間斷點定義間斷點定義 連續(xù)定義連續(xù)定義 0lim 0 y x lim 0 0 xfxf xx 連續(xù)的 充要條件 連續(xù)的 充要條件 連續(xù)函數(shù)的 運算性質(zhì) 連續(xù)函數(shù)的 運算性質(zhì) 振蕩間斷點 無窮間斷點 跳躍間斷點 可去間斷點 第一類第二類 振蕩間斷點 無窮間斷點 跳躍間斷點 可去間斷點 第一類第二類 三 連續(xù) 三 連續(xù) 1 連續(xù)的定義1 連續(xù)的定義 定義1定義1 0lim 0 y x 若若 則稱函數(shù)則稱函數(shù)y f x 在點在點x0連續(xù)連續(xù) 0 lim 00 0 xfxxf x 或或 定義2定義2 lim 0 0 xfxf xx 若若 則稱函數(shù)則稱函數(shù)y f x 在點在點x0連續(xù)連續(xù) 定義3定義3 0 0 0 0 xfxf xx時 有當(dāng)時 有當(dāng) 則稱函數(shù)則稱函數(shù)y f x 在點在點x0連續(xù)連續(xù) 注意 注意 6 3 連續(xù)的充要條件 2 單側(cè)連續(xù) 3 連續(xù)的充要條件 2 單側(cè)連續(xù) 0 000 處左連續(xù)在點則稱 且內(nèi)有定義在若函數(shù) 處左連續(xù)在點則稱 且內(nèi)有定義在若函數(shù) xxf xfxfxaxf 0 000 處右連續(xù)在點則稱 且內(nèi)有定義在若函數(shù) 處右連續(xù)在點則稱 且內(nèi)有定義在若函數(shù) xxf xfxfbxxf 定理定理 00 左連續(xù)又右連續(xù) 處既在處連續(xù)在 左連續(xù)又右連續(xù) 處既在處連續(xù)在xxfxxf 4 間斷點的定義4 間斷點的定義 0 條件處連續(xù)必須滿足的三個在點函數(shù)條件處連續(xù)必須滿足的三個在點函數(shù)xxf 1 0處有定義 在點處有定義在點xxf lim 2 0 存在存在xf xx lim 3 0 0 xfxf xx 00 或間斷點的不連續(xù)點 為并稱點或間斷處不連續(xù)在點函數(shù) 則稱少有一個不滿足如果上述三個條件中至 或間斷點的不連續(xù)點 為并稱點或間斷處不連續(xù)在點函數(shù) 則稱少有一個不滿足如果上述三個條件中至 xf xxxf 5 間斷點的分類5 間斷點的分類 第一類間斷點 第二類間斷點 間斷點 第一類間斷點 第二類間斷點 間斷點 見下圖見下圖 存在 存在 00 xfxf 一個不存在 至少 一個不存在 至少 00 xfxf 可去間斷點 跳躍間斷點 可去間斷點 跳躍間斷點 00 xfxf 00 xfxf 無窮間斷點 振蕩間斷點 無窮間斷點 振蕩間斷點 上連續(xù)在閉區(qū)間函數(shù) 則稱處左連續(xù)在右端點處右連續(xù) 并且在左端點內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間 上連續(xù)在閉區(qū)間函數(shù) 則稱處左連續(xù)在右端點處右連續(xù) 并且在左端點內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間 baxf bxax ba 6 閉區(qū)間上連續(xù) 7 連續(xù)性的運算性質(zhì) 6 閉區(qū)間上連續(xù) 7 連續(xù)性的運算性質(zhì) 定理定理 0 0 0 0 處也連續(xù)在點 則處連續(xù)在點若函數(shù) 處也連續(xù)在點 則處連續(xù)在點若函數(shù) x xg xg xf xgxfxgxf xxgxf 定理1定理1嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連 續(xù)反函數(shù) 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連 續(xù)反函數(shù) 定理2定理2 lim lim lim 00 0 xfafxf aufax xxxx xx 則有連續(xù)在點函數(shù)若則有連續(xù)在點函數(shù)若 0 00 00 也連續(xù)在點 則復(fù)合函數(shù)連續(xù)在點而函數(shù) 且連續(xù)在點設(shè)函數(shù) 也連續(xù)在點 則復(fù)合函數(shù)連續(xù)在點而函數(shù) 且連續(xù)在點設(shè)函數(shù) xxxfy uuufyu xxxxu 定理3定理3 定理4定理4基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的 定理5定理5一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的內(nèi)都是連續(xù)的 定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間 9 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)9 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理1 最大值和最小值定理 在閉區(qū)間上連續(xù) 的函數(shù)一定有最大值和最小值 定理1 最大值和最小值定理 在閉區(qū)間上連續(xù) 的函數(shù)一定有最大值和最小值 8 初等函數(shù)的連續(xù)性8 初等函數(shù)的連續(xù)性 7 定理 3 零點定理 設(shè)函數(shù)定理 3 零點定理 設(shè)函數(shù) xf在閉區(qū)間 在閉區(qū)間 ba 上連續(xù) 且上連續(xù) 且 af與與 bf異號 即異號 即0 bfaf 那末在開區(qū)間 那末在開區(qū)間 ba 內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù) xf的一個零 點 即至少有一點 的一個零 點 即至少有一點 ba 使 使0 f 定理2 有界性定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定 在該區(qū)間上有界 定理2 有界性定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定 在該區(qū)間上有界 推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M 與最小值與最小值m之間的任何值之間的任何值 定理 4 介值定理 設(shè)函數(shù)定理 4 介值定理 設(shè)函數(shù) xf在閉區(qū)間 在閉區(qū)間 ba 上 連續(xù) 且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值 上 連續(xù) 且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值 Aaf 及 及 Bbf 那末 對于 那末 對于A與與B之間的任意一個數(shù)之間的任意一個數(shù)C 在開區(qū)間 在開區(qū)間 ba 內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點 使得 使得cf ba x 01 x 11 x 2 1 4 x x x 4221 的周期是先證 令證明的周期是先證 令證明xg a T baxfxg xg 的正周期 也是設(shè)是最小周期再證 xgT a T a T xg b a T xaf baxfTbaxf 8 bT a bx af a T TTTaxfTa 即的周期 也是 即的周期 也是 的正周期 也是設(shè)是最小周期再證 xgT a T Taxf 則 baxfxg 令 令 xf T a bx g a bx g b a bx af TTa a T T 即要證 的周期即可也是只要證明xfT a 例4例4 1 1 1 1 lim 1 242 n xxxx x n L求 時當(dāng) 求 時當(dāng) 解解 將分子 分母同乘以因子將分子 分母同乘以因子 1 x 則則 x xxxxx n n 1 1 1 1 1 1 lim 242 L 原式原式 x xxxx n n 1 1 1 1 1 lim 2422 L x xx nn n 1 1 1 lim 22 x x n n 1 1 lim 1 2 1 1 x 0lim 1 1 2 n xx n 時當(dāng)時當(dāng)Q 例5例5 sin1 tan1 lim 3 1 0 x x x x 求求 解解 3 1 0 1 sin1 tan1 1 lim x x x x 原式原式 3 1 0 sin1 sintan 1 lim x x x xx 3 0 1 sin1 sintan lim xx xx x Q 3 0 1 cos sin1 cos1 sin lim xxx xx x 3 2 0 cos sin1 2 1 lim xxx xx x 2 1 1 3 1 sin1 sintan sintan sin1 0 sin1 sintan 1lim x x xx xx x x x xx 思考題思考題 求極限求極限 x xx x 1 93lim 思考題解答思考題解答 x xx x 1 93lim x x x x x 1 1 1 3 1 9lim x x x x x 3 1 3 3 1 1lim999 0 e 1 例6例6 1 lim 2 lim 0 2 3 xp x xp x xxp xp x x 求 且是多項式設(shè) 求 且是多項式設(shè) 解解 2 lim 2 3 x xxp x Q 2 23 為待定系數(shù)其中可設(shè)為待定系數(shù)其中可設(shè)babaxxxxp 1 lim 0 x xp x Q又又 0 0 xxp 1 0 ab從而得從而得 2 23 xxxxp 故 故 0 2 23 xxbaxxxxp且且 小結(jié) 小結(jié) 為非負(fù)整數(shù)時有和當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時有和當(dāng)nmba 0 0 00 lim 1 10 1 10 mn mn mn bxbxb axaxa n nn m mm x 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) L L 0 0 b a 0 9 例7例7 1 2 cos 1 1 的連續(xù)性討論 的連續(xù)性討論 x x xx xf 解解 改寫成將改寫成將 xf 1 1 11 2 cos 1 1 xx x x xx xf 例8例8 2 1 2 1 0 1 0 1 0 ff ffxf 使得證明必有一點 且上連續(xù)在閉區(qū)間設(shè) 使得證明必有一點 且上連續(xù)在閉區(qū)間設(shè) 證明證明 2 1 xfxfxF 令 令 2 1 0 上連續(xù)在則上連續(xù)在則xF 0 2 1 0 ffF Q 2 1 1 2 1 ffF 討論討論 則若則若 0 2 1 0 0 FF 2 1 0 FF 2 0 2 1 ff 0 則若則若 0 2 1 0 0 FF 2 1 0 FF 2 0 2 1 ff 0 由零點定理知由零點定理知 0 2 1 0 F使使 2 1 成立即成立即 ff 綜上綜上 2 1 0 必有一點必有一點 2 1 成立使成立使 ff 0 0 F若若 0 取則取則 0 2 1 0 ff 有 有 0 2 1 F若若 2 1 取則取則 2 1 2 1 2 1 ff 有 有 例例9 設(shè)設(shè)xxfsgn 2 1 xxg 試研 究復(fù)合函數(shù) 試研 究復(fù)合函數(shù) xgf與與 xfg的連續(xù)性的連續(xù)性 2 1 xxg Q 1sgn 2 xxgf 1 2 sgn1 xxfg 0 1 0 2 x x 在在 上處處連續(xù)上處處連續(xù) xgf 在在 0 0 上處處連續(xù)上處處連續(xù) xfg 0 x 是它的第一類可去間斷點是它的第一類可去間斷點 0 1 0 0 0 1 x x x xf 解解 說明 內(nèi) 外函數(shù) 連續(xù)是復(fù)合 函數(shù)連續(xù)的 充分條件 說明 內(nèi) 外函數(shù) 連續(xù)是復(fù)合 函數(shù)連續(xù)的 充分條件 10 思考題思考題在某個過程中 若有極限 無極限 那么是否有極限 為 什么 在某個過程中 若有極限 無極限 那么是否有極限 為 什么 xf xg xgxf 思考題解答思考題解答 沒有極限 假設(shè)有極限 沒有極限 假設(shè)有極限 xgxf xfQ 有極限 由極限運算法則可知 有極限 由極限運算法則可知 xfxgxfxg 必有極限 與已知矛盾 故假設(shè)錯誤 必有極限 與已知矛盾 故假設(shè)錯誤 思考題解答思考題解答 Q xf在在 0 x連續(xù) 連續(xù) lim 0 0 xfxf xx 0 00 xfxfxfxf 且且 lim 0 0 xfxf xx lim lim lim 000 2 xfxfxf xxxxxx 0 2 xf 故故 xf 2 xf在在 0 x都連續(xù)都連續(xù) 思考題思考題 若若 xf在在 0 x連續(xù) 則連續(xù) 則 xf 2 xf在在 0 x是 否連續(xù) 又若 是 否連續(xù) 又若 xf 2 xf在在 0 x連續(xù) 連續(xù) xf在在 0 x是否連續(xù) 是否連續(xù) 但反之不成立但反之不成立 例例 0 1 0 1 x x xf在在0 0 x不連續(xù)不連續(xù) 但但 xf 2 xf在在0 0 x連續(xù)連續(xù) 思考題思考題 若若 xf在在 0 x連續(xù) 則連續(xù) 則 xf 2 xf在在 0 x是 否連續(xù) 又若 是 否連續(xù) 又若 xf 2 xf在在 0 x連續(xù) 連續(xù) xf在在 0 x是否連續(xù) 是否連續(xù) 思考題解答思考題解答 一 選擇題 1 函數(shù) 一 選擇題 1 函數(shù) 2 1 arccos1 x xy的定義域是 A 的定義域是 A 1 x B B 13 x C C 1 3 D D 131 xxxx 2 函數(shù) 2 函數(shù) 30 1 04 3 2 xx xx xf的定義域是 A 的定義域是