初高中數(shù)學(xué)銜接教材1.doc

初高中數(shù)學(xué)銜接教材目錄引 入 乘法公式第一講 因式分解1. 1 提取公因式1. 2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差）1. 3分組分解法1. 4十字相乘法（重、難點）1. 5關(guān)于x的二次三項式ax2+bx+c(a0)的因式分解第二講 函數(shù)與方程2.1 一元二次方程2.1.1根的判別式2.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）22 二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù)yax2bxc的圖象和性質(zhì)2.2.2 二次函數(shù)的三種表示方式2.2.3 二次函數(shù)的簡單應(yīng)用第三講三角形的“四心”乘法公式我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三數(shù)和平方公式 ；（4）兩數(shù)和立方公式 ；（5）兩數(shù)差立方公式 對上面列出的五個公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明例1 計算：解法一：原式= = =解法二：原式= = =例2 已知，求的值解： 練 習(xí)1填空： （1）（ ）； （2） ； (3 ) 2選擇題：（1）若是一個完全平方式，則等于 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）不論，為何實數(shù)，的值 （ ） （A）總是正數(shù) （B）總是負(fù)數(shù) （C）可以是零 （D）可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)第一講 因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法1十字相乘法例1 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3）； （4） 解：（1）如圖111，將二次項x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項2分解成1與2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為3x，就是x23x2中的一次項，所以，有x23x2(x1)(x2)aybyxx圖1142611圖1131211圖11212xx圖111 說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖111中的兩個x用1來表示（如圖112所示）（2）由圖113，得x24x12(x2)(x6)（3）由圖114，得11xy圖115 （4）xy(xy)1(x1) (y+1) （如圖115所示）課堂練習(xí)一、填空題：1、把下列各式分解因式：（1）_。（2）_。（3）_。（4）_。（5）_。（6）_。（7）_。（8）_。（9）_。（10）_。2、3、若則，。二、選擇題：（每小題四個答案中只有一個是正確的）1、在多項式（1）（2）（3）（4） （5）中，有相同因式的是（ ）A、只有（1）（2） B、只有（3）（4） C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式得（ ）A、 B、 C、 D、3、分解因式得（ ）A、 B、C、 D、4、若多項式可分解為，則、的值是（ ）A、， B、， C、， D、，5、若其中、為整數(shù)，則的值為（ ）A、或 B、 C、 D、或三、把下列各式分解因式1、 2、3、 4、2提取公因式法例2 分解因式： （1）（2） 解： （1）=（2）= = 或 課堂練習(xí)：一、填空題：1、多項式中各項的公因式是_。2、_。3、_。4、_。5、_。6、分解因式得_。7計算= 二、判斷題：（正確的打上“”，錯誤的打上“” ）1、（ ）2、（ ）（ ）4、（ ）3：公式法例3 分解因式：（1） （2）解：(1)=(2) =課堂練習(xí)一、，的公因式是_。二、判斷題：（正確的打上“”，錯誤的打上“” ）1、（ ）2、 （ ）3、 （ ）4、（ ）5、（ ）五、把下列各式分解1、 2、3、 4、4分組分解法例4 （1） （2） （2）= =或 = = =課堂練習(xí)：用分組分解法分解多項式（1）（2）5關(guān)于x的二次三項式ax2+bx+c(a0)的因式分解解： （1）令=0，則解得， = =（2）令=0，則解得， =練 習(xí)1選擇題：多項式的一個因式為 （ ）（A（3）x22x1； （4）習(xí)題121分解因式：（1） ； （2）； （3）； （4）2在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（1） ； （2）； （3）； （4）3三邊，滿足，試判定的形狀4分解因式：x2x(a2a)2.1 一元二次方程2.1.1根的判別式情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過具體實例探索二次方程的根的求法，如求方程的根（1）(2) (3) 我們知道，對于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以將其變形為 因為a0，所以，4a20于是（1）當(dāng)b24ac0時，方程的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根 x1，2；（2）當(dāng)b24ac0時，方程的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根 x1x2；（3）當(dāng)b2 （3）由于該方程的根的判別式為a241(a1)a24a4(a2)2，所以，當(dāng)a2時，0，所以方程有兩個相等的實數(shù)根 x1x21；當(dāng)a2時，0， 所以方程有兩個不相等的實數(shù)根 x11，x2a1（3）由于該方程的根的判別式為2241a44a4(1a)，所以當(dāng)0，即4(1a) 0，即a1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根 ， ； 當(dāng)0，即a1時，方程有兩個相等的實數(shù)根 x1x21； 當(dāng)0，即a1時，方程沒有實數(shù)根說明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類討論分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經(jīng)常地運用這一方法來解決問題2.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理） 若一元二次方程ax2bxc0（a0）有兩個實數(shù)根 ，則有 ； 所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系： 如果ax2bxc0（a0）的兩根分別是x1，x2，那么x1x2，x1x2這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其兩根，由韋達(dá)定理可知 x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0可化為 x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20因此有以兩個數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是x2(x1x2)xx1x20例2 已知方程的一個根是2，求它的另一個根及k的值分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)2，x2所以，方程的另一個根為，k的值為7解法二：設(shè)方程的另一個根為x1，則 2x1，x1由 （）2，得 k7所以，方程的另一個根為，k的值為7例3 已知關(guān)于x的方程x22(m2)xm240有兩個實數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21，求m的值分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24，也可以先研究滿足方程有兩個實數(shù)根所對應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可（1）在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時，還要考慮到根的判別式是否大于或大于零因為，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實數(shù)根例4 已知兩個數(shù)的和為4，積為12，求這兩個數(shù)分析：我們可以設(shè)出這兩個數(shù)分別為x，y，利用二元方程求解出這兩個數(shù)也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解解法一：設(shè)這兩個數(shù)分別是x，y，則 xy4， xy12 由，得 y4x， 代入，得x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 或因此，這兩個數(shù)是2和6解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個數(shù)是方程 x24x120的兩個根 解這個方程， x12，x26所以，這兩個數(shù)是2和6說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達(dá)定理來解題）要比解法一簡捷例5 若x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x23解：x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根， ，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 6（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經(jīng)常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則，| x1x2| 于是有下面的結(jié)論：若x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結(jié)論例6 若關(guān)于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求實數(shù)a的取值范圍解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，則 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 aa的取值范圍是a4練 習(xí)1選擇題：（1）方程的根的情況是 （ ） （A）有一個實數(shù)根 （B）有兩個不相等的實數(shù)根（C）有兩個相等的實數(shù)根 （D）沒有實數(shù)根（2）若關(guān)于x的方程mx2 (2m1)xm0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是 （ ） （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m0 2填空:（1）若方程x23x10的兩根分別是x1和x2，則 （2）方程mx2x2m0（m0）的根的情況是 （3）以3和1為根的一元二次方程是 3已知，當(dāng)k取何值時，方程kx2axb0有兩個不相等的實數(shù)根？4已知方程x23x10的兩根為x1和x2，求(x13)( x23)的值習(xí)題2.1A 組1選擇題:（1）已知關(guān)于x的方程x2kx20的一個根是1，則它的另一個根是（ ） （A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四個說之和為2，兩根之積為7；方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程3 x270的兩根之和為0，兩根之積為；方程3 x22x0的兩根之和為2，兩根之積為0其中正確說法的個數(shù)是 （ ） （A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個（3）關(guān)于x的一元二次方程ax25xa2a0的一個根是0，則a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）方程kx24x10的兩根之和為2，則k （2）方程2x2x40的兩根為，則22 （3）已知關(guān)于x的方程x2ax3a0的一個根是2，則它的另一個根是 2x2(2m1) x10有兩個不相等的實數(shù)根？有兩個相等的實數(shù)根？沒有實數(shù)根？4求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x27x10各根的相反數(shù)B 組1選擇題:若關(guān)于x的方程x2(k21) xk10的兩根互為相反數(shù)，則k的值為 （ ） （A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若m，n是方程x22005x10的兩個實數(shù)根，則m2nmn2mn的值等于 （2）如果a，b是方程x2x10的兩個實數(shù)根，那么代數(shù)式a3a2bab2b3的值是 3已知關(guān)于x的方程x2kx20（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩根為x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求實數(shù)k的取值范圍4一元二次方程ax2bxc0（a0）的兩根為x1和x2求：（1）| x1x2|和；（2）x13x235關(guān)于x的方程x24xm0的兩根為x1，x2滿足| x1x2|2，求實數(shù)m的值C 組1選擇題：（1）已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2x28x70的兩根，則這個直角三角形的斜邊長等于 （A） （B）3 （C）6 （D）9（2）若x1，x2是方程2x24x10的兩個根，則的值為 （ ） （A）6 （B）4 （C）3 （D）（3）如果關(guān)于x的方程x22(1m)xm20有兩實數(shù)根，則的取值范圍為 （ ） （A） （B） （C）1 （D）1 （4）已知a，b，c是4已知關(guān)于x的方程（1）求證：無論m取什么實數(shù)時，這個方程總有兩個相異實數(shù)根；（2）若這個方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足|x2|x1|2，求m的值及相應(yīng)的x1，x25若關(guān)于x的方程x2xa0的一個大于1、零一根小于1，求實數(shù)a的取值范圍22 二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù)yax2bxc的圖象和性質(zhì)情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過具體實例探索二次函數(shù)的圖象，如作圖（1） (2) (3) 教師可采用計算機(jī)繪圖軟件輔助教學(xué)問題1 函數(shù)yax2與yx2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問題，我們可以先畫出y2x2，yx2，y2x2的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)yax2與yx2的圖象之間所存在的關(guān)系先畫出函數(shù)yx2，y2x2的圖象先列表：x3210123x294101492x2188202818從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴(kuò)大兩倍就可以了再描點、連線，就分別得到了函數(shù)yx2，y2x2的圖象（如圖21所示），從圖21我們可以得到這兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y2x2的圖象可以由函數(shù)yx2的圖象各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫酵瑢W(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)yx2，y2x2的圖象，并研究這兩個函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關(guān)系通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)yax2(a0)的圖象的圖象（如圖22所示），從函數(shù)的同學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數(shù)y2(x1)21的圖象這兩個函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點類似地，還可以通過畫函數(shù)y3x2，y3(x1)21的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)ya(xh)2k(a0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c ，所以，yax2bxc(a0)的圖象可以看作是將函數(shù)yax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)yax2bxc(a0)具有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)a0時，函數(shù)yax2bxc圖象開口向上；頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線x；當(dāng)x時，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x時，函數(shù)取最小值y（2）當(dāng)a0時，函數(shù)yax2bxc圖象開口向下；頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線x；當(dāng)x時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x時，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x時，函數(shù)取最大值y 上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖223和圖224直觀地表示出來因此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題xyOxA圖2.2-3xyOxA圖2.2-4例1 求二次函數(shù)y3x26x1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)x取何值時，y隨x的增大而增大（或減?。坎嫵鲈摵瘮?shù)的圖象xOyx1A(1,4)D(0,1)BC圖2.25解：y3x26x13(x1)24，函數(shù)圖象的開口向下；對稱軸是直線x1；頂點坐標(biāo)為(1，4)；當(dāng)x1時，函數(shù)y取最大值y4；當(dāng)x1時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x1時，y隨著x的增大而減??；采用描點法畫圖，選頂點A(1，4)，與x軸交于點B和C，與y軸的交點為D(0，1)，過這五點畫出圖象（如圖25所示）說明：從這個例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確函數(shù)yax2bxc圖象作圖要領(lǐng)：（1） 確定開口方向：由二次項系數(shù)a決定（2） 確定對稱軸：對稱軸方程為（3） 確定圖象與x軸的交點情況，若0則與x軸有兩個交點，可由方程x2bxc=0求出若=0則與x軸有一個交點，可由方程x2bxc=0求出若0則與x軸有無交點。（4） 確定圖象與y軸的交點情況,令x=0得出y=c，所以交點坐標(biāo)為（0，c）（5） 由以上各要素出草圖。練習(xí)：作出以下二次函數(shù)的草圖（1）(2)(3) 例2 某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關(guān)系如下表所示：x /元130150165y/件705035若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？分析：由于每天的利潤日銷售量y(銷售價x120)，日銷售量y又是銷售價x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤的最大值解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設(shè)ykx（B）將x130，y70；x150，y50代入方程，有 解得 k1，b200 yx200設(shè)每天的利潤為z（元），則z(x+200)(x120)x2320x24000 (x160)21600，當(dāng)x160時，z取最大值1600答：當(dāng)售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元例3 把二次函數(shù)yx2bxc的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)yx2的圖像，求b，c的值解法一：yx2bxc(x+)2，把它的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到的圖像，也就是函數(shù)yx2的圖像，所以， 解得b8，c14解法二：把二次函數(shù)yx2bxc的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)yx2的圖像，等價于把二次函數(shù)yx2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)yx2bxc的圖像由于把二次函數(shù)yx2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)y(x4)22的圖像，即為yx28x14的圖像，函數(shù)yx28x14與函數(shù)yx2bxc表示同一個函數(shù)，b8，c14說明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來解決問題，所以，同學(xué)們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進(jìn)行正向的思維來解決的，其運算量相對較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來的問題等價轉(zhuǎn)化成與之等價的問題來解，具有計算量小的優(yōu)點今后，我們在解題時，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q問題例4 已知函數(shù)yx2，2xa，其中a2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應(yīng)的自變量x的值 分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進(jìn)行討論解：（1）當(dāng)a2時，函數(shù)yx2的圖象僅僅對應(yīng)著一個點(2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時x2；（2）當(dāng)2a0時，由圖226可知，當(dāng)x2時，函數(shù)取最大值y4；當(dāng)xa時，函數(shù)取最小值ya2；（3）當(dāng)0a2時，由圖226可知，當(dāng)x2時，函數(shù)取最大值y4；當(dāng)x0時，函數(shù)取最小值y0；（4）當(dāng)a2時，由圖226可知，當(dāng)xa時，函數(shù)取最大值ya2；當(dāng)x0時，函數(shù)取最小值y0xyO2axyO2aa24圖2.26xyOa224a22xyOaa24說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進(jìn)行討論此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實數(shù)，而是取部分實數(shù)來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題練 習(xí)1選擇題：（1）下列函數(shù)圖象中，頂點不在坐標(biāo)軸上的是 （ ） （A）y2x2 （B）y2x24x2（C）y2x21 （D）y2x24x （2）函數(shù)y2(x1)22是將函數(shù)y2x2 （ ） （A）向左平移1個單位、再向上平移2個單位得到的 （B）向右平移2個單位、再向上平移1個單位得到的 （C）向下平移2個單位、再向右平移1個單位得到的 （D）向上平移2個單位、再向右平移1個單位得到的2填空題（1）二次函數(shù)y2x2mxn圖象的頂點坐標(biāo)為(1，2)，則m ，n （2）已知二次函數(shù)yx2+(m2)x2m，當(dāng)m 時，函數(shù)圖象的頂點在y軸上；當(dāng)m 時，函數(shù)圖象的頂點在x軸上；當(dāng)m 時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點（3）函數(shù)y3(x2)25的圖象的開口向 ，對稱軸為 ，頂點坐標(biāo)為 ；當(dāng)x 時，函數(shù)取最 值y ；當(dāng)x 時，y隨著x的增大而減小3求下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、最大（?。┲导皔隨x的變化情況，并畫出其圖象（1）yx22x3； （2）y16 xx24已知函數(shù)yx22x3，當(dāng)自變量x在下列取值范圍內(nèi)時，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當(dāng)函數(shù)取最大（小）值時所對應(yīng)的自變量x的值：（1）x2；（2）x2；（3）2x1；（4）0x32.2.2 二次函數(shù)的三種表示方式通過上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：1一般式：yax2bxc(a0)；2頂點式：ya(xh)2k (a0)，其中頂點坐標(biāo)是(h，k)除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來表示為了研究另一種表示方式，我們先來研究二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸交點個數(shù)當(dāng)拋物線yax2bxc(a0)與x軸相交時，其函數(shù)值為零，于是有ax2bxc0 并且方程的解就是拋物線yax2bxc(a0)與x軸交點的橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)為零），于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線yax2bxc(a0)與x軸交點個數(shù)與方程的解的個數(shù)有關(guān)，而方程的解的個數(shù)又與方程的根的判別式b24ac有關(guān)，由此可知，拋物線yax2bxc(a0)與x軸交點個數(shù)與根的判別式b24ac存在下列關(guān)系：（1）當(dāng)0時，拋物線yax2bxc(a0)與x軸有兩個交點；反過來，若拋物線yax2bxc(a0)與x軸有兩個交點，則0也成立（2）當(dāng)0時，拋物線yax2bxc(a0)與x軸有一個交點（拋物線的頂點）；反過來，若拋物線yax2bxc(a0)與x軸有一個交點，則0也成立（3）當(dāng)0時，拋物線yax2bxc(a0)與x軸沒有交點；反過來，若拋物線yax2bxc(a0)與x軸沒有交點，則0也成立于是，若拋物線yax2bxc(a0)與x軸有兩個交點A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2是方程ax2bxc0的兩根，所以x1x2，x1x2，即 (x1x2)， x1x2所以，yax2bxca() = ax2(x1x2)xx1x2 a(xx1) (xx2) 由上面的推導(dǎo)過程可以得到下面結(jié)論：若拋物線yax2bxc(a0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為ya(xx1) (xx2) (a0)這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：3交點式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)今后，在求二次函數(shù)的表達(dá)式時，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點式、交點式這三種表達(dá)形式中的某一形式來解題 例1 已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點在直線yx1上，并且圖象經(jīng)過點（3，1），求二次函數(shù)的解析式分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件最大值、頂點位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點式，再由函數(shù)圖象過定點來求解出系數(shù)a解：二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱坐標(biāo)，頂點的縱坐標(biāo)為2又頂點在直線yx1上，所以，2x1，x1頂點坐標(biāo)是（1，2）設(shè)該二次函數(shù)的解析式為，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（3，1），解得a2二次函數(shù)的解析式為，即y2x28x7說明：在解題時，由最大值確定出頂點的縱坐標(biāo)，再利用頂點的位置求出頂點坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點式，最終解決了問題因此，在解題時，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡捷地解決問題例2 已知二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，且頂點到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達(dá)式分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過的兩點實際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標(biāo)，于是可以將函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成交點式解法一：二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，可設(shè)二次函數(shù)為ya(x3) (x1) (a0)，展開，得 yax22ax3a， 頂點的縱坐標(biāo)為 ，由于二次函數(shù)圖象的頂點到x軸的距離2，|4a|2，即a所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為y，或y分析二：由于二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，所以，對稱軸為直線x1，又由頂點到x軸的距離為2，可知頂點的縱坐標(biāo)為2，或2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成頂點式來解，然后再利用圖象過點(3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達(dá)式解法二：二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，對稱軸為直線x1又頂點到x軸的距離為2，頂點的縱坐標(biāo)為2，或2于是可設(shè)二次函數(shù)為ya(x1)22，或ya(x1)22，由于函數(shù)圖象過點(1，0)，0a(11)22，或0a(11)22a，或a所以，所求的二次函數(shù)為y(x1)22，或y(x1)22說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點坐標(biāo)及頂點的坐標(biāo)這兩個不同角度，利用交點式和頂點式來解題，在今后的解題過程中，要善于利用條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q問題例3 已知二次函數(shù)的圖象過點(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函數(shù)的表達(dá)式解：設(shè)該二次函數(shù)為yax2bxc(a0)由函數(shù)圖象過點(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得 解得 a2，b12，c8所以，所求的二次函數(shù)為y2x212x8通過上面的幾道例題，同學(xué)們能否歸納出：在什么情況下，分別利用函數(shù)的一般式、頂點式、交點式來求二次函數(shù)的表達(dá)式？ 練 習(xí)1選擇題:（1）函數(shù)yx2x1圖象與x軸的交點個數(shù)是 （ ） （A）0個 （B）1個 （C）2個 （D）無法確定 （2）函數(shù)y(x1)22的頂點坐標(biāo)是 （ ） （A）(1，2) （B）(1，2) （C）(1，2) （D）(1，2)2填空：（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與x軸交于點(1，0)和(2，0)，則該二次函數(shù)的解析式可設(shè)為ya (a0) （2）二次函數(shù)yx2+2x1的函數(shù)圖象與x軸兩交點之間的距離為 3根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式（1）圖象經(jīng)過點(1，2)，(0，3)，(1，6)； （2）當(dāng)x3時，函數(shù)有最小值5，且經(jīng)過點(1，11)；（3）函數(shù)圖象與x軸交于兩點(1，0)和(1，0)，并與y軸交于(0，2)2.2.3 二次函數(shù)的簡單應(yīng)用一、函數(shù)圖象的平移變換與對稱變換1平移變換問題1 在把二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時，有什么特點？依據(jù)這一特點，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在對二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時，具有這樣的特點只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問題時，只需利用二次函數(shù)圖象的頂點式研究其頂點的位置即可例1 求把二次函數(shù)yx24x3的圖象經(jīng)過下列平移變換后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式：（1）向右平移2個單位，向下平移1個單位；（2）向上平移3個單位，向左平移2個單位分析：由于平移變換只改變函數(shù)圖象的位置而不改變其形狀（即不改變二次項系數(shù)），所以只改變二次函數(shù)圖象的頂點位置（即只改變一次項和常數(shù)項），所以，首先將二次函數(shù)的解析式變形為頂點式，然后，再依據(jù)平移變換后的二次函數(shù)圖象的頂點位置求出平移后函數(shù)圖像所對應(yīng)的解析式解：二次函數(shù)y2x24x3的解析式可變?yōu)?y2(x1)21，其頂點坐標(biāo)為(1，1)（1）把函數(shù)y2(x1)21的圖象向右平移2個單位，向下平移1個單位后，其函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是(3，2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為 y2(x3)22（2）把函數(shù)y2(x1)21的圖象向上平移3個單位，向左平移2個單位后，其函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是(1， 2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為 y2(x1)222對稱變換問題2 在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對稱變換時，有什么特點？依據(jù)這一特點，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對稱變換時，具有這樣的特點只改變函數(shù)圖象的位置或開口方向、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)圖象的對稱變換問題時，關(guān)鍵是要抓住二次函數(shù)的頂點位置和開口方向來解決問題xyOx1A(1,1)A1(3,1)圖2.27例2 求把二次函數(shù)y2x24x1的圖象關(guān)于下列直線對稱后所得到圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式：（1）直線x1；（2）直線y1解：（1）如圖227，把二次函數(shù)y2x24x1的圖象關(guān)于直線x1作對稱變換后，只改變圖象的頂點位置，不改變其形狀由于y2x24x12(x1)21，可知，函數(shù)y2x24x1圖象的頂點為A(1,1)，所以，對稱后所得到圖象的頂點為A1(3，1)，所以，二次函數(shù)y2x24x1的圖象關(guān)于直線x1對稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y2(x3)21，即y2x212x17xyOy1A(1,1)B(1，3)圖2.28（2）如圖228，把二次函數(shù)y2x24x1的圖象關(guān)于直線x1作對稱變換后，只改變圖象的頂點位置和開口方向，不改變其形狀由