初高中數(shù)學銜接教材1[1] 2.doc

初高中數(shù)學銜接教材研究怎樣學好高中數(shù)學 高中數(shù)學學習是中學階段承前啟后的關鍵時期，不少學生升入高中后，能否適應高中數(shù)學的學習，是擺在高中新生面前的一個亟待解決的問題，除了學習環(huán)境、教學內(nèi)容和教學因素等外部因素外，同學們還應該轉(zhuǎn)變觀念、提高認識和改進學法。下面我們就來聽聽清華大學附屬中小學網(wǎng)校的老師針對如何學好高中數(shù)學的一些建議。 1、認識高中數(shù)學的特點 高中數(shù)學是初中數(shù)學的提高和深化，初中數(shù)學在教材表達上采用形象通俗的語言，研究對象多是常量，側(cè)重于定量計算和形象思維，而高中數(shù)學語言表達抽象，邏輯嚴密，思維嚴謹，知識連貫性和系統(tǒng)性強。 2、正確對待學習中遇到的新困難和新問題 在開始學習高中數(shù)學的過程中，肯定會遇到不少困難和問題，同學們要有克服困難的勇氣和信心，勝不驕，敗不餒，有一種“初生牛犢不怕虎”的精神，愈挫愈勇，千萬不能讓問題堆積，形成惡性循環(huán)，而是要在老師的引導下，尋求解決問題的辦法，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力。 3、要提高自我調(diào)控的“適教”能力 一般來說，教師經(jīng)過一段時間的教學實踐后，因自身對教學過程的不同理解和知識結(jié)構(gòu)、思維特點、個性傾向、職業(yè)經(jīng)歷等原因，在教學方式、方法、策略的采用上表現(xiàn)出一定的傾向性，形成自己獨特的、一貫的教學風格或特點。作為一名學生，讓老師去適應自己顯然不現(xiàn)實，我們應該根據(jù)教師的特點，立足于自身的實際，優(yōu)化學習策略，調(diào)控自己的學習行為，使自己的學法逐步適應老師的教法，從而使自己學得好、學得快。 4、要將“以老師為中心”轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙宰约簽橹黧w，老師為主導”的學習模式 數(shù)學不是靠老師教會的，而是在老師引導下，靠自己主動思維活動去獲取的，學習數(shù)學就是要積極主動地參與教學過程，并經(jīng)常發(fā)現(xiàn)和提出問題，而不能跟著老師的慣性運轉(zhuǎn)，被動地接受所學知識和方法。 5、要養(yǎng)成良好的個性品質(zhì) 要樹立正確的學習目標，培養(yǎng)濃厚的學習興趣和頑強的學習毅力，要有足夠的學習信心，實事求是的科學態(tài)度，以及獨立思考、勇于探索的創(chuàng)新精神。 6、要養(yǎng)成良好的預習習慣，提高自學能力課前預習而“生疑”，“帶疑”聽課而“感疑”，通過老師的點撥、講解而“悟疑”、“解疑”，從而提高課堂聽課效果。預習也叫課前自學，預習的越充分，聽課效果就越好；聽課效果越好，就能更好地預習下節(jié)內(nèi)容，從而形成良性循環(huán)。 7、要養(yǎng)成良好的審題習慣，提高閱讀能力審題是解題的關鍵，數(shù)學題是由文字語言、符號語言和圖形語言構(gòu)成的，拿到題目要“寧停三分”，“不搶一秒”，要在已有知識和解題經(jīng)驗基礎上，譯字逐句仔細審題，細心推敲，切忌題意不清，倉促上陣，審數(shù)學題有時須對題意逐句“翻譯”，隱含條件轉(zhuǎn)化為明顯條件；有時需聯(lián)系題設與結(jié)論，前后呼應挖掘構(gòu)建題設與目標的橋梁，尋找突破點，從而形成解題思路。 8、要養(yǎng)成良好的演算、驗算習慣，提高運算能力學習數(shù)學離不開運算，初中老師往往一步一步在黑板上演算，因時間有限，運算量大，高中老師常把計算留給學生，這就要同學們多動腦，勤動手，不僅能筆算，而且也能口算和心算，對復雜運算，要有耐心，掌握算理，注重簡便方法。 9、要養(yǎng)成良好的解題習慣，提高自己的思維能力數(shù)學是思維的體操，是一門邏輯性強、思維嚴謹?shù)膶W科。而訓練并規(guī)范解題習慣是提高用文字、符號和圖形三種數(shù)學語言表達的有效途徑，而數(shù)學語言又是發(fā)展思維能力的基礎。因此要逐步夯實基礎，提高自己的思維能力。 10、要養(yǎng)成解后反思的習慣，提高分析問題的能力解完題目之后，要養(yǎng)成不失時機地回顧下述問題：解題過程中是如何分析聯(lián)想探索出解題途徑的?使問題獲得解決的關鍵是什么?在解決問題的過程中遇到了哪些困難?又是怎樣克服的?這樣，通過解題后的回顧與反思，就有利于發(fā)現(xiàn)解題的關鍵所在，并從中提煉出數(shù)學思想和方法，如果忽視了對它的挖掘，解題能力就得不到提高。因此，在解題后，要經(jīng)?？偨Y(jié)題目及解法的規(guī)律，只有勤反思，才能“站得高山，看得遠，駕馭全局”，才能提高自己分析問題的能力。 11、要養(yǎng)成糾錯訂正的習慣，提高自我評判能力 要養(yǎng)成積極進取，不屈不撓，耐挫折，不自卑的心理品質(zhì)，對做錯的題要反復琢磨，尋找錯因，進行更正，養(yǎng)成良好的習慣，不少問題就會茅塞頓開，從而提高自我評判能力。 12、要養(yǎng)成善于交流的習慣，提高表達能力在數(shù)學學習過程中，對一些典型問題，同學們應善于合作，各抒己見，互相討論，取人之長，補己之短，也可主動與老師交流，說出自己的見解和看法，在老師的點撥中，他的思想方法會對你產(chǎn)生潛移默化的影響。因此，只有不斷交流，才能相互促進、共同發(fā)展，提高表達能力。如果固步自封，就會鉆牛角尖，浪費不必要的時間。 13、要養(yǎng)成勤學善思的習慣，提高創(chuàng)新能力“學而不思則罔，思而不學則貽”。在學習數(shù)學的過程中，要遵循認識規(guī)律，善于開動腦筋，積極主動去發(fā)現(xiàn)問題，進行獨立思考，注重新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，把握概念的內(nèi)涵和外延，做到一題多解，一題多變，不滿足于現(xiàn)成的思路和結(jié)論，善于從多側(cè)面、多方位思考問題，挖掘問題的實質(zhì)，勇于發(fā)表自己的獨特見解。因為只有思索才能生疑解疑，透徹明悟。一個人如果長期處于無問題狀態(tài)，就說明他思考不夠，學業(yè)也就提高不了。 14、要養(yǎng)成歸納總結(jié)的習慣，提高概括能力每學完一節(jié)一章后，要按知識的邏輯關系進行歸納總結(jié)，使所學知識系統(tǒng)化、條理化、專題化，這也是再認識的過程，對進一步深化知識積累資料，靈活應用知識，提高概括能力將起到很好的促進作用。 15、要養(yǎng)成做筆記的習慣，提高理解力為了加深對內(nèi)容的理解和掌握，老師補充內(nèi)容和方法很多，如果不做筆記，一旦遺忘，無從復習鞏固，何況在做筆記和整理過程中，自己參與教學活動，加強了學習主動性和學習興趣，從而提高了自己的理解力。 16、要養(yǎng)成寫數(shù)學學習心得的習慣，提高探究能力寫數(shù)學學習心得，就是記載參與數(shù)學活動的思考、認識和經(jīng)驗教訓，領悟數(shù)學的思維結(jié)果。把所見、所思、所悟表達出來，能促使自己數(shù)學經(jīng)驗、數(shù)學意識的形成，以及對數(shù)學概念、知識結(jié)構(gòu)、方法原理進行系統(tǒng)分類、概括、推廣和延伸，從而使自己對數(shù)學的理解從低水平上升到高水平，提高自己的探究能力。 總之，同學們要養(yǎng)成良好的學習習慣，勤奮的學習態(tài)度，科學的學習方法，充分發(fā)揮自身的主體作用，不僅學會，而且會學，只有這樣，才能取得事半功倍之效。 第一章 銜接教材研究一、初、高中數(shù)學知識存在以下“脫節(jié)”內(nèi)容1立方和、立方差公式在初中已刪去不講，而高中的運算還在用2因式分解，初中一般只限于二次項且系數(shù)為“1”的分解，對系數(shù)不為“1”的涉及不多,而且對三次或高次多項式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡求值都要用到,如解方程、不等式等3二次根式中對分子、分母有理化，初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數(shù)、不等式常用的解題技巧4初中教材對二次函數(shù)要求較低，學生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的重要內(nèi)容配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大、最小值，研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是高中數(shù)學必須掌握的基本題型與常用方法5二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關系（韋達定理）在初中不作要求，此類題目僅限于簡單常規(guī)運算和難度不大的應用題型，而在高中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化是重要內(nèi)容，高考必考內(nèi)容，而高中教材很少安排專門的章節(jié)6圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對其圖像的上、下；左、右平移，兩個函數(shù)關于原點，軸、直線的對稱問題必須掌握7含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中這部分內(nèi)容視為重難點、高考必考方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題8幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都沒有學習，而高中都要涉及二、數(shù)學思想與數(shù)學方法數(shù)學內(nèi)容包包括數(shù)學知識、數(shù)學方法和數(shù)學思想三個部分數(shù)學方法通常指解決數(shù)學問題時采用的方式、途徑或手段任何一個數(shù)學問題的解答離不開一定的數(shù)學方法數(shù)學思想方法是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含于數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展和應用過程之中數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的靈魂和精髓，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁數(shù)學思想方法一般劃分為三個層次，即數(shù)學的一般方法、數(shù)學思維方法、數(shù)學思想方法數(shù)學的一般方法,是指在解決數(shù)學問題時所使用的常規(guī)方法中學階段用到的數(shù)學方法可分兩類通法與巧法通法是指規(guī)律性較強的通用方法如配方法、挽元法、待定系數(shù)法、分離系數(shù)法、代入法、消元法、數(shù)形結(jié)合法、參數(shù)法、判別式法、放縮法、數(shù)學歸納法、反證法、比較法、構(gòu)造法、割補法，以及用其它知識來解決問題的三角法、解析法、幾何法、代數(shù)法等通法是數(shù)學方法的基礎巧法是指技巧性較強的方法，是對通法的發(fā)展和變式，是把握數(shù)學方法的難點如向量方法、錯項相消(減)法、裂項法、拆添項法、特殊值法等數(shù)學思維方法，主要指邏輯學中的方法，如觀察、分析、歸納、綜合、試驗、演繹、特殊化等方法它們不僅適用于數(shù)學內(nèi)容，而且更具有一般性，在數(shù)學教學中有一定的作用，在高考中也是經(jīng)?？疾榈姆椒〝?shù)學思想方法是適用于中學數(shù)學全部內(nèi)容的通法，主要包括函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想數(shù)學思想方法是高考考查的核心初、高中數(shù)學思想方法比較：1配方法在高中有著相當重要的地位與作用，初中雖也涉及，但還需使學生能熟練掌握配方法的基本過程2換元法也是最基本的數(shù)學方法之一，在數(shù)學解題中有著不可估量的作用，初中對該方法的訓練已大大弱化，高中數(shù)學卻經(jīng)常在應用，可設計專題內(nèi)容進行系統(tǒng)講授分離系數(shù)法、待定系數(shù)法，作為基本的數(shù)學方法初中要求明顯降低，高中教學可進行系統(tǒng)的講授與訓練3數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想是數(shù)學重要的思想方法，僅靠新課講授時的教學顯然不夠，在專門的課時下進行不斷的滲透，讓學生逐步理解并接受，從而能自覺應用于數(shù)學解題中4數(shù)學思想與數(shù)學方法，另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學大大弱化，不利于高中知識的講授三、銜接教學的方式1分散式初中有些知識，與高中有聯(lián)系但比較分散；對于這一部分，高中數(shù)學新授課，就可以從復習初中內(nèi)容的基礎上，引入新內(nèi)容。高一數(shù)學的每一節(jié)內(nèi)容，都是在初中基礎上發(fā)展而來的，故在引入新知識、新概念時，注意舊知識的復習，用學生已熟悉的知識進行鋪墊和引入2集中式初中有些知識，與高中知識聯(lián)系密切，也比較集中；如：因式分解、絕對值和根式、函數(shù)、代數(shù)恒等式的證明、方程和不等式等，對于這一部分，最好在高中新授課前集中進行學習，比較好設計應立足于學生的認知基礎，和對學生能力的要求。選擇與高中知識聯(lián)系較密切的初中知識，按照所選內(nèi)容，內(nèi)在的關聯(lián)順序，及遵循循序漸進的原則，使學生的思維層層展開，逐步深入；同時，合理引入一些新的內(nèi)容四、認真分析教材，落實銜接內(nèi)容1數(shù)與代數(shù)方面（1）初中新課標規(guī)定：有理數(shù)混合運算以三步為主；乘法公式只要求兩個（即平方差、完全平方公式）,沒有立方和與立方差公式；多項式相乘僅指一次式相乘。以上會影響到高中函數(shù)、數(shù)列、二項式定理等相關內(nèi)容的教學（2）初中課改后進一步減少了因式分解的教學內(nèi)容，只要求提公因式法、公式法（直接用公式不超過二次），而十字相乘法、分組分解法在初中新課標中都不作要求，高中教學中要經(jīng)常用到這兩種方法，需補充（3）一元一（二）次方程中含字母系數(shù)的方程、三元一次方程組、可化為一元二次方程的分式方程、無理方程、二元二次方程組等內(nèi)容初中新課標都不作要求，這給高中求軌跡方程與曲線交點等方面帶來障礙（4）初中新課標對分母有理化不作要求，學生有關根式的運算（根號內(nèi)含字母的）能力比較薄弱，如果不加強根式運算，以后高中求圓錐曲線標準方程就會受到影響（5）初中數(shù)學新課標中指出：借助數(shù)軸理解絕對值的意義，會求有理數(shù)的絕對值，但絕對值符號內(nèi)不含字母因此高中的不等式、函數(shù)、方程等含參數(shù)問題的解答就會受到影響（6）關于配方法，初中新課標要求理解配方法，會用因式分解法、公式法、配方法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程但新課標中沒有要求用配方法求二次函數(shù)的頂點，只要求會根據(jù)公式確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸（公式不要求記憶和推導）（7）一元二次方程根的判別式在初中新課標中不要求。今后高中在直線與圓錐曲線綜合應用時常常要用到，在涉及到函數(shù)圖像與x軸交點問題時也常用到，這無疑是一個障礙。（8）一元二次方程根與系數(shù)關系（韋達定理）初中新課標不要求，初中教材只是將此內(nèi)容編成一個實踐與探索的題目，對韋達定理沒有加以具體證明與闡述，所以大部分學生對此知識及其應用不甚了知（9）換元法初中不作要求，在高中教學中應注意補充這種方法2空間與圖形方面（1）初中新課標刪除繁難的幾何證明題，淡化幾何證明技巧，減少定理數(shù)量，只要求用4條基本事實證明40條左右的命題這與高中數(shù)學教學中對學生推理論證能力的較高要求不相適應（2）平行線等分線段定理、平行線分線段成比例定理、截三角形兩邊或延長線的直線平行于第三邊的判定定理、圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)(有關四點共圓的知識)等初中新課改都不作要求，這樣高中立體幾何、平面解析幾何、解三角形的學習會受到影響（3）初中沒有軌跡概念，高中解析幾何會用到的（4）初中課標只要求通過實例，體會反證法的含義，要求不高（5）在初中新課標中，兩圓連心線的性質(zhì)，兩圓公切線及其相關性質(zhì)，圓的弦切角定理、相交弦定理、切割線定理，正多邊形的有關計算，等分圓周都被刪去了；相切在作圖中的應用初中也不作要求這些會影響高中立體幾何、平面解析幾何的學習五、加強學法指導，掌握學習方法學習的知識，大多是本源性知識、派生性知識，因此初中學習基本采用“感性認識理性認識實踐”的方法；而高中學習基本采用“已知理性認識新的理性認識實踐”的方法1重視學生良好習慣培養(yǎng)。好的學習習慣有勤學好問習慣、上課專心聽講習慣、作筆記的習慣、及時復習的習慣、獨立完成作業(yè)書寫規(guī)范工整的習慣等只有有了良好的學習習慣，才能在教師的有效引導下度過這個銜接階段 2教給基本方法怎樣觀察與思考、怎樣理解與分析、怎樣綜合與應用，是高中教學的難點所在，掌握學習方法是攻破這個難點的措施之一如問題討論法、自學指導法、類比推理法、假設法、實驗輔助法、預習聽課復習（練習）總結(jié)歸納的學習方法，將學與問、學與練、學與思、學與用有機結(jié)合起來3自學能力授人以“漁”，因材施“導”，努力教會學生自學，培養(yǎng)自學能力，是教之根本，而自學能力的提高，首先有賴于閱讀理解能力的培養(yǎng)。高一學生閱讀時，讀不順，讀不細，讀不實，讀不準，所以老師千萬別急，在這個銜接階段，可以編出問題，引導閱讀，如概念敘述與理解，定理、命題的方法與思路。讓學生邊閱讀邊回答，對概念要求會聯(lián)系、會舉例；定理要求會分析、會應用；解題要求盡量一題多解一章結(jié)束會用圖表歸納結(jié)論和要點，弄清重點概念和定理、公式，明白要掌握哪些基礎知識技能4把握好初、高中教法、學法上的不同 初中數(shù)學教學內(nèi)容少，知識難度不大，教學要求較低，因而教學進度較慢，對于某些重點、難點，教師可以有充裕的時間反復講解、多次演練，從而各個擊破。并且同時，不可否認有些初中教師為了應付中考，讓學生通過機械模仿式的重復練習以達到熟能生巧來提高成績，結(jié)果造成“重知識，輕能力”、“重局部，輕整體”、“重試卷（復習資料），輕書本”的不良傾向。初中新課標的實施的確大大緩解這種嚴重束縛了學生思維影響和學生發(fā)現(xiàn)意識的形成的傳統(tǒng)教學方式，但只要考試評價體制不作大的改變，對普通中學這來說對這種情況還是普遍存在著的而進入高中以后，教學教材內(nèi)涵豐富，教學要求高，教學進度快，知識信息廣泛，題目難度加深，知識的重點和難點也不可能象初中那樣通過反復強調(diào)來排難釋疑。新課標下，高中教學往往通過設導、設問、設陷、設變，啟發(fā)引導，開拓思路，然后由學生自己思考、去解答，比較注意知識的發(fā)生過程，傾重對學生思想方法的滲透和思維品質(zhì)的培養(yǎng)，相對比較重視學生自己去學習這使得剛?cè)敫咧械膶W生不容易適應這種教學方法。聽課時就存在思維障礙，不容易跟上教師的思維，從而產(chǎn)生學習障礙，影響數(shù)學的學習.因而高中數(shù)學教師在教學過程中要注意對學生學法的指導良好學習習慣是學好高中數(shù)學的重要因素。它包括：制定計劃、課前自習、專心上課、及時復習、獨立作業(yè)、解決疑難、系統(tǒng)小結(jié)和課外學習這幾個方面。改進學生的學習方法，可以這樣進行：引導學生養(yǎng)成認真制定計劃的習慣，合理安排時間，從盲目的學習中解放出來；引導學生養(yǎng)成課前預習的習慣。可布置一些思考題和預習作業(yè)，保證聽課時有針對性。還要引導學生學會聽課，要求做到“心到”，即注意力高度集中；“眼到”，即仔細看清老師每一步板演；“手到”，即適當做好筆記；“口到”，即隨時回答老師的提問，以提高聽課效率。引導學生養(yǎng)成及時復習的習慣，下課后要反復閱讀書本，回顧堂上老師所講內(nèi)容，查閱有關資料，或向教師同學請教，以強化對基本概念、知識體系的理解和記憶引導學生養(yǎng)成獨立作業(yè)的習慣，要獨立地分析問題，解決問題。切忌有點小問題，或習題不會做，就不加思索地請教老師同學引導學生養(yǎng)成系統(tǒng)復習小結(jié)的習慣，將所學新知識融入有關的體系和網(wǎng)絡中，以保持知識的完整性第二章 銜接教材目 錄1.1 數(shù)與式的運算1.1.1絕對值1.1.2. 乘法公式1.1.3二次根式1.1.分式12 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1根的判別式2.1.2 根與系數(shù)的關系（韋達定理）22 二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù)yax2bxc的圖像和性質(zhì)2.2.2 二次函數(shù)的三種表示方式2.2.3 二次函數(shù)的簡單應用2.3 方程與不等式2.3.1 二元二次方程組解法2.3.2 一元二次不等式解法31 相似形3.1.1平行線分線段成比例定理3.1.2相似形3.2 三角形3.2.1 三角形的“四心”3.2.2 幾種特殊的三角形33圓3.3.1 直線與圓，圓與圓的位置關系3.3.2 點的軌跡1.1 數(shù)與式的運算1.1絕對值絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零即絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離 兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離例1 解不等式：4解法一：由，得；由，得；若，不等式可變?yōu)?，?，解得x0，又x1，x0；若，不等式可變?yōu)?，?4，不存在滿足條件的x；若，不等式可變?yōu)椋?， 解得x4又x3，x4綜上所述，原不等式的解為 x0，或x4解法二：如圖111，表示x軸上坐標為x的點P到坐標為1的點A之間的距離|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示x軸上點P到坐標為2的點B之間的距離|PB|，即|PB|x3|所以，不等式4的幾何意義即為|PA|PB|4由|AB|2，可知點P 在點C(坐標為0)的左側(cè)、或點P在點D(坐標為4)的右側(cè)x0，或x4點評：本題考查了分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想練 習1填空：（1）若，則x=_；若，則x=_.（2）如果，且，則b_；若，則c_.2選擇題：下列敘述正確的是（A）若，則 （B）若，則 （C）若，則 （D）若，則3化簡：|x5|2x13|（x5）1.1.2. 乘法公式我們在初中已經(jīng)學習過了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ； （2）完全平方公式我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；（2）立方差公式；（3）三數(shù)和平方公式 ；（4）兩數(shù)和立方公式；（5）兩數(shù)差立方公式對上面列出的五個公式，有興趣的同學可以自己去證明例1 計算：解法一：原式=解法二：原式=例2 已知，求的值解： 練 習1填空： （1）（ ）； （2） ； (3 ) 2選擇題：（1）若是一個完全平方式，則等于（A） （B） （C） （D）（2）不論，為何實數(shù)，的值 （A）總是正數(shù) （B）總是負數(shù) （C）可以是零 （D）可以是正數(shù)也可以是負數(shù) 1.1.3二次根式 一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式. 例如 ，等是無理式，而，等是有理式1分母（子）有理化把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化為了進行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等 一般地，與，與，與互為有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎上去括號與合并同類二次根式2二次根式的意義例1將下列式子化為最簡二次根式：（1）； （2）； （3）解： （1）； （2）； （3）例2計算：解法一： 解法二： 例3 試比較下列各組數(shù)的大小：（1）和； （2）和.解： （1）， ，又， （2） 又 42， 42， .例4化簡：解： 例 5 化簡：（1）； （2） 解：（1）原式 （2）原式=， 所以，原式例 6 已知，求的值 解：，練 習1填空：（1）_ _；（2）若，則的取值范圍是_ _；（3）_ _；（4）若，則_ _2選擇題：等式成立的條件是 （A） （B） （C） （D）3若，求的值4比較大?。? （填“”，或“”）1.1.分式 1分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式當M0時，分式具有下列性質(zhì)：；上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì) 2繁分式 像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式例1若，求常數(shù)的值解： ， 解得 例2（1）試證：（其中n是正整數(shù)）； （2）計算：； （3）證明：對任意大于1的正整數(shù)n， 有（1）證明：，（其中n是正整數(shù)）成立（2）解：由（1）可知 （3）證明：， 又n2，且n是正整數(shù)，一定為正數(shù)，例3設，且e1，2c25ac2a20，求e的值解：在2c25ac2a20兩邊同除以a2，得 2e25e20， (2e1)(e2)0， e1，舍去；或e2e2練 習1填空題：對任意的正整數(shù)n， ()；2選擇題：若，則 （ ）（A） （B） （C） （D）3正數(shù)滿足，求的值4計算習題11A 組1解不等式： (1) ； (2) ； (3) 已知，求的值3填空：（1）_；（2）若，則的取值范圍是_；（3）_ B 組1填空： （1），則_ _；（2）若，則_ _；2已知：，求的值C 組1選擇題：（1）若，則 （ ） （A） （B） （C） （D）（2）計算等于 （ ）（A） （B） （C） （D）2解方程3計算：4試證：對任意的正整數(shù)n，有12 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應了解求根法及待定系數(shù)法1十字相乘法例1 分解因式： （1） x23x2； （2）x24x12； （3）； （4） 解：（1）如圖121，將二次項x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項2分解成1與2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為3x，就是x23x2中的一次項，所以，有x23x2(x1)(x2)aybyxx圖1242611圖1231211圖12212xx圖121 說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖121中的兩個x用1來表示（如圖122所示）11xy圖125（2）由圖123，得x24x12(x2)(x6)（3）由圖124，得 （4）xy(xy)1(x1) (y+1) （如圖125所示）2提取公因式法與分組分解法例2 分解因式： （1）； （2）解：（1）=或 （2）= =或 = =3關于x的二次三項式ax2+bx+c(a0)的因式分解若關于x的方程的兩個實數(shù)根是、，則二次三項式就可分解為.例3把下列關于x的二次多項式分解因式：（1）； （2）解： （1）令=0，則解得， =（2）令=0，則解得， =練 習1選擇題：多項式的一個因式為（A） （B） （C） （D）2分解因式：（1）x26x8； （2）8a3b3； （3）x22x1； （4）習題121分解因式： （1） ； （2）； （3）； （4）2在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（1） ； （2）； （3）； （4）3三邊，滿足，試判定的形狀4分解因式：x2x(a2a)參考答案練習1.21 B 2（1）(x2)(x4) （2）（3） （4）習題121（1） （2） （3） （4） 2（1）；（2）；（3）； （4）3等邊三角形4 2.1 一元二次方程2.1.1根的判別式我們知道，對于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以將其變形為 因為a0，所以，4a20于是（1）當b24ac0時，方程的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根 x1，2；（2）當b24ac0時，方程的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根 x1x2；（3）當b24ac0時，方程的右端是一個負數(shù)，而方程的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實數(shù)根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情況可以由b24ac來判定，我們把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判別式，通常用符號“”來表示綜上所述，對于一元二次方程ax2bxc0（a0），有當0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根x1，2；當0時，方程有兩個相等的實數(shù)根 x1x2；當0時，方程沒有實數(shù)根例1 判定下列關于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0解：（1）3241330，方程沒有實數(shù)根（2）該方程的根的判別式a241(1)a240，所以方程一定有兩個不等的實數(shù)根， （3）由于該方程的根的判別式為a241(a1)a24a4(a2)2，所以 當a2時，0，所以方程有兩個相等的實數(shù)根： x1x21； 當a2時，0， 所以方程有兩個不相等的實數(shù)根： x11，x2a1（3）由于該方程的根的判別式為2241a44a4(1a)，所以當0，即4(1a) 0，即a1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根 ， ；當0，即a1時，方程有兩個相等的實數(shù)根：x1x21；當0，即a1時，方程沒有實數(shù)根點評：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況進行討論，這一方法叫做分類討論分類討論這一思想方法是高中數(shù)學中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經(jīng)常地運用這一方法來解決問題2.1.2 根與系數(shù)的關系（韋達定理）若一元二次方程ax2bxc0（a0）有兩個實數(shù)根，則有 ； 所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關系即韋達定理： 如果ax2bxc0（a0）的兩根分別是x1，x2，那么x1x2，x1x2特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其兩根，由韋達定理可知 x1x2p，x1x2q，即p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0可化為 x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20因此有以兩個數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是x2(x1x2)xx1x20例2 已知方程的一個根是2，求它的另一個根及k的值分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根但由于我們學習了韋達定理，又可以利用韋達定理來解題，即由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數(shù)和常數(shù)項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出k的值解法一：2是方程的一個根，522k260，k7所以，方程就為5x27x60，解得x12，x2所以，方程的另一個根為，k的值為7解法二：設方程的另一個根為x1，則 2x1，x1由 （）2，得 k7所以，方程的另一個根為，k的值為7例3 已知關于x的方程x22(m2)xm240有兩個實數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21，求m的值分析：本題可以利用韋達定理，由實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21得到關于m的方程，從而解得m的值但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數(shù)根，因此，其根的判別式應大于零解：設x1，x2是方程的兩根，由韋達定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221，(x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化簡，得 m216m170， 解得 m1，或m17當m1時，方程為x26x50，0，滿足題意；當m17時，方程為x230x2930，302412930，不合題意，舍去綜上，m17點評：在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數(shù)根所對應的m的范圍，然后再由“兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達定理解題時，還要考慮到根的判別式是否大于或大于零因為，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數(shù)根本題考查了了配方法、待定系數(shù)法及分類討論等數(shù)學思想方法例4 已知兩個數(shù)的和為4，積為12，求這兩個數(shù)分析：我們可以設出這兩個數(shù)分別為x，y，利用二元方程求解出這兩個數(shù)也可以利用韋達定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解解法一：設這兩個數(shù)分別是x，y，則 xy4， xy12 由，得 y4x，代入，得x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 或因此，這兩個數(shù)是2和6解法二：由韋達定理可知，這兩個數(shù)是方程x24x120的兩個根 解這個方程，得x12，x26所以，這兩個數(shù)是2和6點評：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達定理來解題）要比解法一簡捷例5 若x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根（1）求| x1x2|的值；（2）求的值；（3）x13x23解：x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根， ，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x26， | x1x2|（2）（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()點評：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經(jīng)常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則，| x1x2|于是有下面的結(jié)論：若x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結(jié)論例6 若關于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求實數(shù)a的取值范圍解：設x1，x2是方程的兩根，則x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 aa的取值范圍是a4練 習1選擇題：（1）方程的根的情況是（A）有一個實數(shù)根 （B）有兩個不相等的實數(shù)根（C）有兩個相等的實數(shù)根 （D）沒有實數(shù)根（2）若關于x的方程mx2 (2m1)xm0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是 （A）m（B）m （C）m，且m0 （D）m，且m0 2填空:（1）若方程x23x10的兩根分別是x1和x2，則 （2）方程mx2x2m0（m0）的根的情況是 （3）以3和1為根的一元二次方程是 3已知，當k取何值時，方程kx2axb0有兩個不相等的實數(shù)根？4已知方程x23x10的兩根為x1和x2，求(x13)( x23)的值習題2.1A 組1選擇題:（1）已知關于x的方程x2kx20的一個根是1，則它的另一個根是（ ） （A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四個說法： 方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程3 x270的兩根之和為0，兩根之積為；方程3 x22x0的兩根之和為2，兩根之積為0其中正確說法的個數(shù)是 （ ） （A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個（3）關于x的一元二次方程ax25xa2a0的一個根是0，則a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）方程kx24x10的兩根之和為2，則k （2）方程2x2x40的兩根為，則22 （3）已知關于x的方程x2ax3a0的一個根是2，則它的另一個根是 （4）方程2x22x10的兩根為x1和x2，則| x1x2| 3試判定當m取何值時，關于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有兩個不相等的實數(shù)根？有兩個相等的實數(shù)根？沒有實數(shù)根？4求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x27x10各根的相反數(shù)B 組1選擇題:若關于x的方程x2(k21) xk10的兩根互為相反數(shù)，則k的值為 （A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若m，n是方程x22005x10的兩個實數(shù)根，則m2nmn2mn的值等于 （2）如果a，b是方程x2x10的兩個實數(shù)根，那么代數(shù)式a3a2bab2b3的值是 3已知關于x的方程x2kx20（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設方程的兩根為x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求實數(shù)k的取值范圍4一元二次方程ax2bxc0（a0）的兩根為x1和x2求：（1）| x1x2|和；（2）x13x235關于x的方程x24xm0的兩根為x1，x2滿足| x1x2|2，求實數(shù)m的值C 組1選擇題：（1）已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2x28x70的兩根，則這個直角三角形的斜邊長等于 （A） （B）3 （C）6 （D）9（2）若x1，x2是方程2x24x10的兩個根，則的值為 （ ） （A）6 （B）4 （C）3 （D）（3）如果關于x的方程x22(1m)xm20有兩實數(shù)根，則的取值范圍為 （ ） （A） （B） （C）1 （D）1 （4）已知a，b，c是ABC的三邊長，那么方程cx2(ab)x0的根的情況是 （ ） （A）沒有實數(shù)根 （B）有兩個不相等的實數(shù)根（C）有兩個相等的實數(shù)根