3.2.1復數代數形式的加減運算及其幾何意義 (3).doc

:3.2.1 復數代數形式的加減運算及其幾何意義 教學目標重點:復數代數形式的加法、減法的運算法則難點:復數加法、減法的幾何意義.知識點:.掌握復數代數形式的加、減運算法則;.理解復數代數形式的加、減運算的幾何意義.能力點:培養(yǎng)學生滲透轉化、數形結合的數學思想方法,提高學生分析問題、解決問題以及運算的能力教育點:通過探究學習,培養(yǎng)學生互助合作的學習習慣,培養(yǎng)學生對數學探索和渴求的思想. 在掌握知識的同時,形成良好的思維品質和鍥而不舍的鉆研精神.自主探究點：如何運用復數加法、減法的幾何意義來解決問題.考試點：會計算復數的和與差;能用復數加、減法的幾何意義解決簡單問題.易錯易混點：復數的加法與減法的綜合應用.拓展點：復數與其他知識的綜合.一、 引入新課復習引入.虛數單位：它的平方等于,即; .對于復數： 當且僅當時,是實數; 當時,為虛數; 當且時,為純虛數; 當且僅當時,就是實數.復數集與其它數集之間的關系：.復數 復平面內的點一一對應.復數幾何意義：一一對應復數 復平面內的向量我們把實數系擴充到了復數系,那么復數之間是否存在運算呢?答案是肯定的,這節(jié)課我們就來研究復數的加減運算.【設計意圖】通過復習回顧復數概念、幾何意義等相關知識,使學生對這一知識結構有個清醒的初步認知,逐漸過渡到對復數代數形式的加減運算及其幾何意義的學習情境,為探究本節(jié)課的新知識作鋪墊.二、探究新知探究一:復數的加法.復數的加法法則我們規(guī)定,復數的加法法則如下:設,是任意兩個復數,那么：提出問題：()兩個復數的和是個什么數,它的值唯一確定嗎?()當時,與實數加法法則一致嗎?()它的實質是什么?類似于實數的哪種運算方法?學生明確:()仍然是個復數,且是一個確定的復數;()一致;()實質是實部與實部相加,虛部與虛部相加,類似于實數運算中的合并同類項【設計意圖】加深對復數加法法則的理解,且與實數類比,了解規(guī)定的合理性:將實數的運算通性、通法擴充到復數,有利于培養(yǎng)學生的學習興趣和創(chuàng)新精神 .復數加法的運算律實數的加法有交換律、結合律,復數的加法滿足這些運算律嗎?對任意的,有（交換律）,（結合律）.【設計意圖】引導學生根據實數加法滿足的運算律,大膽嘗試推導復數加法的運算律,學生先獨立思考,然后小組交流.提高學生的建構能力及主動發(fā)現(xiàn)問題,探究問題的能力.復數加法的幾何意義復數與復平面內的向量有一一對應關系,那么請同學們猜想一下,復數的加法也有這種對應關系嗎?設分別與復數對應,則有,由平面向量的坐標運算有.這說明兩個向量的和就是與復數對應的向量.因此,復數的加法可以按照向量加法的平行四邊形法則來進行.這就是復數加法的幾何意義.如圖所示：由圖可以看出,以、為鄰邊畫平行四邊形,其對角線所表示的向量就是復數對應的向量.【設計意圖】通過向量的知識,讓學生體會從數形結合的角度來認識復數的加減法法則,訓練學生的形象思維能力,也培養(yǎng)了學生的數形結合思想.另外,當兩復數的對應向量共線時,可直接運算;當不共線時,可類比向量加法的平行四邊形,也培養(yǎng)了學生的類比思想.探究二:復數的減法類比復數的加法法則,你能試著推導復數減法法則嗎?.復數的減法法則我們規(guī)定,復數的減法是加法的逆運算,即把滿足的復數叫做復數減去的差,記作.根據復數相等的定義,有,因此,所以,即. 這就是復數的減法法則,所以兩個復數的差是一個確定的復數.【設計意圖】復數的減法運算法則是通過轉化為加法運算而得到的,滲透了轉化的數學思想方法,是學生體會數學思想的素材.讓學生自己動手推導減法法則,有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和互助合作的學習習慣.考查學生的類比思想,提高學生主動發(fā)現(xiàn)問題,探究問題的能力.復數減法的幾何意義設分別與復數對應,則這兩個復數的差與向量（即）對應,這就是復數減法的幾何意義.如圖所示.【設計意圖】兩個復數的差（即）與連接兩個終點,且指向被減數的向量對應,這與平面向量的幾何解釋是一致的;它不僅又一次讓我們看到了向量這一工具的功能,也使數和形得到了有機的結合注意：只有將差向量平移至以原點為起點時,其終點才能對應該復數.三、理解新知.復數的加減法法則:設,是任意兩個復數,規(guī)定：;.復數加、減法的幾何意義：()復數的加法按照向量加法的平行四邊形法則;()復數的減法按照向量減法的三角形法則.幾點說明:()復數的加(減)法法則規(guī)定的合理性:它既與實數運算法則,運算律相同,又與向量完美地結合起來;()復數的加(減)法實質是:復數的實部與實部、虛部與虛部分別相加減;()多個復數相加減:可將各個復數的實部與實部、虛部與虛部分別相加減()復平面內的兩點間距離公式:.其中是復平面內的兩點和所對應的復數,為點和點間的距離. 即兩個復數差的模的幾何意義是:兩個復數所對應的兩個點之間的距離【設計意圖】加深對復數加(減)法法則的理解,從不同的角度總結,既學到知識,又學到了數學方法,使知識更加系統(tǒng)化,學生的思維將上升到一個更高的層面,為準確地運用新知,作必要的鋪墊.培養(yǎng)學生的歸納概括能力,使學生對所學的知識有一個整體的認識,解決問題時可以信手拈來.四、運用新知例.計算：; ; ;解:; ; .【設計意圖】直接運用復數的加、減法運算法則進行,就是將它們的實部、虛部分別相加、減,實數范圍的運算律在復數范圍內仍然成立.變式訓練:計算.解：（解法一）原式.（解法二）; ; .將上列個式子累加,得.【設計意圖】復數的加減法,相當于多項式加減中的合并同類項的過程;如果根據給出復數求和的特征從局部入手,抓住了式子中相鄰兩項之差是一個常量這一特點,適當地進行組合,從而可簡化運算.進一步鞏固復數加減運算,并帶有一定的規(guī)律性.例.設分別與復數對應,計算,并在復平面內作出, 設分別與復數對應,計算,并在復平面內作出.解：圖 圖.（如圖所示）;.（如圖所示）. 【設計意圖】由復數的幾何意義知,復數,所對應的的點分別為.就是表示向量,而可利用平行四邊形法則作出.變式訓練:已知復數,分別對應向量（為坐標原點）,若向量對應的復數為純虛數,求的值.答案：.例.已知關于的方程：有實數根.求實數的值;若復數滿足,求的最小值解：由題意,得,即.由復數相等的定義得, 解得.設,由,得,即,整理得,即復數在復平面內所對應的點的軌跡是以為圓心,半徑長為的圓.又的幾何意義是與原點的距離,如圖,由平面幾何知識知,.【設計意圖】在問題中由復數相等的概念,列方程組求出兩個參數值,把復數問題實數化,既復習了概念,又鍛煉了學生的計算能力和解決問題的能力; 在問題中由,把轉化為復數所對應的點與原點的距離,解決此類問題的關鍵是利用復數的幾何意義畫出圖形,在圖形中尋求答案,把數轉化成形,利用數形結合思想解決即可變式訓練:復數的模為,求的最大值和最小值.答案: .【設計意圖】通過變式訓練,便于學生全面的認識利用復數差的模的幾何意義解決問題,提高學生理解、運用知識的能力.五、課堂小結 (一)知識:.復數代數形式的加法、減法的運算法則;.復數加法、減法的幾何意義.幾點說明:()復數的加(減)法法則規(guī)定的合理性:它既與實數運算法則,運算律相同,又與向量完美地結合起來;()復數的加(減)法實質是:復數的實部與實部、虛部與虛部分別相加減;()多個復數相加減:可將各個復數的實部與實部、虛部與虛部分別相加減()復平面內的兩點間距離公式:.其中是復平面內的兩點和所對應的復數,為點和點間的距離. 即兩個復數差的模的幾何意義是:兩個復數所對應的兩個點之間的距離(二)思想方法:類比的思想、轉化的思想、數形結合的思想【設計意圖】通過課堂小結,增強學生對復數代數形式的加法、減法的運算法則及幾何意義的理解,及時查缺補漏,從而更好地運用知識,解題要有目的性,加強對數學知識、思想方法的認識與自覺運用深化對知識的理解,完善認識結構,領悟思想方法,強化情感體驗,提高認識能力.引導學生自我反饋、自我總結,并對所學知識進行提煉升華,使知識系統(tǒng)化.讓學生學會學習,學會內化知識的方法與經驗,促進學習目標的完成.六、布置作業(yè) 必做題：.計算：; .復數與對應的向量分別是與,其中是原點,求向量,對應的復數,并指出其對應的復數位于第幾象限.復平面上三點分別對應復數,則由所構成的三角形是 三角形.求復數,所對應的兩點之間的距離.已知復數滿足,求復數.已知平行四邊形的三個頂點對應的復數分別為,試求:表示的復數; 表示的復數; 點對應的復數.答案: .; . .,位于第三象限; ,位于第一象限.直角三角形. . . .; ; 選做題：.在復平面內,求滿足方程的復數所對應的點的軌跡.復數滿足,求.答案： .提示:方程可以變形為|,表示到兩個定點和距離之和等于的點的軌跡,故滿足方程的動點軌跡是橢圓.提示:法一:數形結合思想,構造邊長為的正方形,則其中一條對角線的長度為,則所求的另一條對角線的長度也等于.法二:(向量法)設所對應的向量分別是,將兩邊平方得,則,所以.【設計意圖】設計必做題是引導學生先復習,再作業(yè),培養(yǎng)學生良好的學習習慣,是讓學生會用復數代數形式的加法、減法的運算法則進行計算;設計選做題意在培養(yǎng)學生深刻理解復數差的模的幾何意義,增加問題的多樣性、趣味性,訓練學生思維的發(fā)散性、深刻性.讓學生理解知識之間的聯(lián)系,培養(yǎng)學生用整體的觀點看問題,起到鞏固舊知的作用 七、教后反思 .本教案的亮點是:本節(jié)中由于復數的加法法則是規(guī)定的,從問題入手,引導學生思考,讓學生理解這種規(guī)定的合理性在復數加法的運算律及幾何意義的處理上,都是讓學生自主探究,使學生在參與中學會學習,學會合作,突出體現(xiàn)以學生為主,教師為輔的新課程理念()對于復數減法的處理,采用了類比的數學思想方法,讓學生自主探究,自己