習(xí)題課應(yīng)有利于學(xué)生真正實(shí)現(xiàn)_舉一反三.pdf

高中版高中版 2014 年 4 月 數(shù)壇 在線 教育縱橫 前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家奧加涅說過 很多習(xí)題潛在著 進(jìn)一步擴(kuò)展其教學(xué)功能 發(fā)展功能和教育功能的可能 性 很多數(shù)學(xué)問題本身看似平淡無奇 但若能挖掘其內(nèi) 涵 適當(dāng)變化 常常會(huì)有意想不到的收獲 特別是教學(xué)過 程中具有共性的學(xué)生錯(cuò)題 教師在講解過程中不能僅僅 停留在對此題的分析評價(jià)上 而是應(yīng)該通過這個(gè)問題的 解答 進(jìn)一步擴(kuò)展 讓學(xué)生了解相關(guān)類似問題并進(jìn)行歸 納梳理 最后還要能延伸推廣到其他問題的解答上 形 成舉一反三的能力 筆者在高三復(fù)習(xí)中就碰到這樣一個(gè) 習(xí)題 例1函數(shù)y f x x R 滿足f x 2 f x 且x 1 1 時(shí) f x 1 2x2 函數(shù)g x lg x 2 則函數(shù)h x f x g x 在區(qū)間 6 12 內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 A 18B 19C 20D 17 此題通過函數(shù)的零點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合 轉(zhuǎn)化化 歸等數(shù)學(xué)思想方法 作為本校一次調(diào)研考試的選擇題 全班50人 僅有8位同學(xué)做對 還有34位同學(xué)的答案為 18 另外8位同學(xué)選擇其他答案 并且做對的8人中也僅 有5位同學(xué)能正確判斷答案卻不能完整說明理由 一 深入剖析 挖掘本源是實(shí)現(xiàn) 舉一反 三 的奠基石 調(diào)研發(fā)現(xiàn)學(xué)生均能將 函數(shù)h x 在區(qū)間 6 12 內(nèi) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 問題轉(zhuǎn)化為 函數(shù)f x 與函數(shù)g x 在區(qū)間 6 12 內(nèi)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 問題 大部分同學(xué)也能由 周期性正確得出函數(shù)f x 與函數(shù)g x 在區(qū)間 6 12 內(nèi) 的圖像 如圖1 然而學(xué)生通過點(diǎn)數(shù)發(fā)現(xiàn)結(jié)論為18 y x 12 2 6 O 1 圖 1 題中當(dāng)x 6 11 時(shí) 兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)正好為 17個(gè) 然而當(dāng)x 11 12 時(shí) 大部分學(xué)生認(rèn)為兩個(gè)函數(shù) 只有一個(gè)交點(diǎn) 而班級中5位答對的同學(xué)能通過直觀判 斷發(fā)現(xiàn)雖然兩個(gè)函數(shù)f x 和g x 的圖像在x 12處交匯于 點(diǎn) 12 1 但是由于兩個(gè)函數(shù)的變化趨勢不一樣 進(jìn)而 大膽地猜測當(dāng)x 11 12 時(shí) 函數(shù)f x 和g x 的圖像有 兩個(gè)交點(diǎn) 筆者對這5位學(xué)生的數(shù)學(xué)敏感性及大膽猜想的精神 感到欣慰 但是數(shù)學(xué)問題的解答不能只停留在大膽猜想 的階段 而是要能在 大膽猜想 的基礎(chǔ)上進(jìn)行 小心求 證 那么如何證明當(dāng)x 11 12 時(shí) 函數(shù)f x 和g x 的 圖像有兩個(gè)交點(diǎn)呢 注意到這5位學(xué)生提到的 變化趨勢 不同 的本質(zhì)即為函數(shù)的變化率不同 即當(dāng)x 11 12 時(shí) f x 1 2 x 12 2 g x lg x 2 由f x 4 x 12 0 4 而g x 1 x 2 ln10 1 10ln10 1 9ln10 可以發(fā) 現(xiàn)雖然函數(shù)f x 和g x 在x 11 12 上都是單調(diào)遞增的 函數(shù) 但 1 10ln10 1 9ln10 奐 0 4 那是否意味著它們 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)呢 注意到函數(shù)方程思想 我們將它 還原為h x 的零點(diǎn)問題 當(dāng)x 11 12 時(shí) h x 1 2 x 12 2 lg x 2 由h x 4 x 12 1 x 2 ln10 得h 11 4 1 9ln10 0 h 12 1 10ln10 0 因 此 存 在 x0 11 12 使得h x0 0 所以h x 在 11 x0 上單調(diào)遞增 在 x0 12 上 單 調(diào) 遞 減 而 h 11 1 2 lg9 0 且 h 12 0 所以由單調(diào)性可得極大值h x0 0 因此h x 0 在區(qū)間 11 12 內(nèi)有兩個(gè)解 二 由此及彼 變式訓(xùn)練是實(shí)現(xiàn) 舉一反 三 的助推器 是不是所有的交點(diǎn)問題都是這種情況呢 為了加深 學(xué)生的理解 筆者又給出了如下練習(xí) 習(xí)題課應(yīng)有利于學(xué)生真正實(shí)現(xiàn) 舉一反三 筅浙 江 省 杭 州 第 十 一 中 學(xué)蔡小雄 筅浙江省長興縣金陵高級中學(xué)陳國偉 57 高中版高中版 2014 年 4 月 數(shù)壇 在線 教育縱橫 練習(xí)1 已知函數(shù)f x x2 2x x 0 ln x 1 x 0 若 f x ax 則 a的取值范圍是 A 0 B 1 C 2 1 D 2 0 練習(xí)2 已知函數(shù)f x ex x R 設(shè)x 0 討論曲線y f x 與曲線y mx2 m 0 公共點(diǎn)的個(gè)數(shù) 練習(xí)3 設(shè)函數(shù)f x lnx ax 其中a為實(shí)數(shù) 試求f x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 過程展示 生1 作y f x 的圖像 如圖2 當(dāng)a 0時(shí) 直線y ax 和曲線y x2 2x x 0 相切于原點(diǎn) 可得a 2 所以 2 a 0 當(dāng)a 0時(shí) 如圖3 直線y ax與曲線y ln x 1 x 0 必有交點(diǎn) 所以a 0不成立 即答案為D x O y Ox y 圖 2圖 3 生2 由ex mx2得m ex x2 則曲線y f x 與曲線y mx2 m 0 公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)h x ex x2 與直線y m的交 點(diǎn)個(gè)數(shù) 由h x ex x 2 x3 0且x 0得x 2 所以h x 在區(qū) 間 0 2 上單調(diào)遞減 在 2 上單調(diào)遞增 且h x min h 2 e2 4 如圖4 當(dāng)0 m e2 4 時(shí) 無公共點(diǎn) 當(dāng)m e2 4 時(shí) 有 一個(gè)公共點(diǎn) 當(dāng)m e2 4 時(shí) 有兩個(gè)公共點(diǎn) y O 2 x e2 4 圖 4 生3 由f x lnx ax 0得 a lnx x 則f x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即 為直線y a和h x lnx x 的交 點(diǎn)個(gè)數(shù) 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)可快速得出 h x 在區(qū)間 0 e 上單調(diào)遞減 在 e 上單調(diào)遞增 且 h x max h e 1 e 如圖5 當(dāng)a 1 e 時(shí) 無零點(diǎn) 當(dāng)a 1 e 時(shí) 有一個(gè)零點(diǎn) 當(dāng)a 1 e 時(shí) 有兩個(gè)零點(diǎn) 通過對具有不同單調(diào)性和凹凸性的函數(shù)的交點(diǎn)問 題的探討 學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想有了更為本質(zhì)的認(rèn)識 對 零點(diǎn)問題的規(guī)律的理解也在探究中不斷提煉升華 在反 復(fù)運(yùn)用中避免了機(jī)械的模仿 進(jìn)而能真正地理解和掌握 三 歸納梳理 完善思維是實(shí)現(xiàn) 舉一反 三 的催化劑 波利亞指出 數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半 而更 重要的是解題之后的回顧與反思 筆者引導(dǎo)學(xué)生對上 述3個(gè)練習(xí)題進(jìn)行反思 練習(xí)1通過直線的動(dòng)態(tài)過程揭示 了直線和曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化情況 其主要依據(jù)為直 線和曲線的相切關(guān)系 練習(xí)2則由兩曲線的交點(diǎn)關(guān)系轉(zhuǎn) 化為直線和曲線的交點(diǎn)問題 練習(xí)3則經(jīng)歷了由直線和 曲線的交點(diǎn)問題到不同直線和曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題 并且在過程中 發(fā)現(xiàn)生2錯(cuò)誤的根源是忽略了當(dāng)x 時(shí)函數(shù)h x 0的極限概念 因此學(xué)生也統(tǒng)一了只要能 將方程轉(zhuǎn)化為一條直線和一條曲線即可解決零點(diǎn)問題 針對更多的不同類型的兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)情況 學(xué)生 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性對以下幾種不同類型的函 數(shù)進(jìn)行了梳理歸納 類型1 一次函數(shù)和不同凹凸性的曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 問題 y x O y O x y xO y xO 圖 6圖 7圖 8圖 9 y x O y Ox O x y y xO 圖 10圖 11圖 12圖 13 類型2 不同凹凸性的曲線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題 y x O y xO y xO y x O y xO y O x y Ox 圖 14圖 15圖 16圖 17 圖 18圖 19圖 20 通過討論 學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩條不同曲線相交時(shí)交點(diǎn)的個(gè) 數(shù)問題并不需要都進(jìn)行討論 上述圖像中只有圖8 圖9 圖10 圖11和圖16 圖17 圖19 圖20的交點(diǎn)問題需要討 論 通常關(guān)于圖16 圖17 圖19 圖20的交點(diǎn)問題需轉(zhuǎn)化為 y eOx 圖 5 1 e 58 高中版高中版 2014 年 4 月 數(shù)壇 在線 教育縱橫 函數(shù)的零點(diǎn)通過分類討論或分離參數(shù)等方法 即為圖8 圖9 圖10 圖11 解決 通過對習(xí)題的反思和歸納梳理 學(xué)生大致了解了 數(shù)形結(jié)合 中 以形助數(shù) 和 以數(shù)解形 的具體功能 加 深了對此類問題本質(zhì)屬性的了解 完善了 數(shù)形結(jié)合 在 實(shí)際操作中的運(yùn)用技巧 四 鏈接高考 學(xué)以致用是實(shí)現(xiàn) 舉一反 三 的試驗(yàn)田 縱觀多年來的高考試題 數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用 廣泛 常見的如在求解方程 解不等式 函數(shù)的值域 最 值和三角函數(shù)等問題中 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想 不僅直觀 易懂 而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理 大大簡化解題過 程 雖然數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究 以形助數(shù) 但也不乏 以數(shù)解形 的妙題 例2 2012年新課標(biāo)全國理21 已知函數(shù)f x 滿足 f x f 1 ex 1 f 0 x 1 2 x2 1 求f x 的解析式及單調(diào)區(qū)間 2 若f x 1 2 x2 ax b 求 a 1 b的最大值 解析 1 f x ex x 1 2 x2 單調(diào)性 略 2 由題意轉(zhuǎn)化為ex a 1 x b 在同一坐標(biāo)系中作 出曲線y ex和y a 1 x b的圖像 則y a 1 x b的圖像 始終在曲線y ex的下方 當(dāng)a 1 0時(shí) 如圖21 顯然不成立 y O x y O x x y O 圖 21圖 22圖 23 當(dāng)a 1 0時(shí) 如圖22 由ex a 1 x b得b 0 此時(shí) a 1 b 0 當(dāng)a 1 0時(shí) 如圖23 設(shè)直線l與直線y a 1 x b平 行且與曲線y ex相切 可求得直線l的方程為y a 1 x a 1 a 1 ln a 1 所以 a 1 b a 1 2 a 1 2ln a 1 令a 1 t 則t 0 設(shè)h t t2 t2lnt 可求得h t 的最大值為h e 姨 1 e 2 即 a 1 b e 2 不畏浮云遮望眼 吹盡狂沙始到金 在高三數(shù)學(xué)教 學(xué)中 作為教師我們有義務(wù) 有責(zé)任關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維 能力的訓(xùn)練和提升 通過對錯(cuò)題的分析 追本溯源 舉一 反三 通過適當(dāng)?shù)倪w移 鏈接 讓學(xué)生在錯(cuò)誤過后不是遺 憾 懊惱 而是學(xué)有所獲 獲有所得 得有所悟 學(xué)生的思 維才可能得以飛翔 能力得以提升 參考文獻(xiàn) 1 蔡小雄 啟迪思維是數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的首要 J 中學(xué) 數(shù)學(xué) 下 2013 8 2 朱麗強(qiáng) 讓學(xué)生的思維在解題研究中飛翔 J 中學(xué) 數(shù)學(xué) 下 2013 2 3 蔡小雄 更高更妙的高中數(shù)學(xué)思想與方法 M 杭 州 浙江大學(xué)出版社 2009 FH 原生態(tài)的想法 我們教師要倍加珍惜 小心呵護(hù) 不能固 守已有的 經(jīng)驗(yàn) 輕易去作論斷 讓寶貴的教育資源一 滑而過 白白地流失掉 實(shí)為可惜 像上面介紹的案例就 是一個(gè)很好的說明 如果筆者主觀臆斷地去否定學(xué)生的 這種想法 對于直線與二次曲線相切的問題只囿于 0 法 不僅我們教師的能力得不到提高 而且可能使學(xué) 生喪失了對這一問題作進(jìn)一步研究的熱情與興趣 他們 那富有靈性的思考就會(huì)被扼殺 當(dāng)然不利于學(xué)生思維能 力的發(fā)展 而且這也正是我們教師的思維能力提升的絕 好機(jī)會(huì) 而恰恰我們卻疏忽了 為此建議大家在教學(xué)中要做個(gè)有心人 用心人 時(shí) 時(shí)捕捉