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期貨和遠期的定價 南開大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院白曉棠 可編輯 Contents 現(xiàn)貨 遠期平價定理 2 可編輯 遠期 遠期合約是20世紀(jì)80年代初興起的一種金融衍生產(chǎn)品 它是一種交易雙方約定在未來的某一確定時間 以確定的價格買賣一定數(shù)量的某種資產(chǎn)的合約 合約中要規(guī)定交易的標(biāo)的物 有效期和交割時的執(zhí)行價格等項內(nèi)容 期貨與遠期的定義很相似但是細細觀察不難看出它們還是有一些差別的 再考慮到其交易方式等細節(jié) 我們總結(jié)它們的主要區(qū)別如下 3 可編輯 期貨和遠期的區(qū)別 1 交易場所不同 2 合約的規(guī)范性不同 3 交易風(fēng)險不同 4 保證金制度不同 5 履約責(zé)任不同 6 會計上的優(yōu)勢不同 4 可編輯 遠期利率協(xié)議 在所有遠期市場中 貨幣遠期市場是最為發(fā)達的 主要的金融遠期合約 遠期利率協(xié)議 FRA 遠期外匯合約和遠期股票合約 遠期利率協(xié)議 FRA 是1983年由銀行引入的一種遠期合約 協(xié)議雙方同意按某項 存款 支付某個利率 名義本金 合約利率和參考利率 結(jié)算日所流行的市場利率 三者一道共同確定以單個現(xiàn)金結(jié)算的方式支付和接受的利息差額的大小 名義本金 存款 本身并不實際交換 5 可編輯 遠期利率協(xié)議 實際支付和接受的數(shù)額由以下兩個步驟確定 第一步 取合約結(jié)算日的參考利率與協(xié)議利率之差 將這個差與名義本金相乘 再乘以存款的期限 第二步 利用參考利率作為折現(xiàn)率 將在第一步求得的和折現(xiàn) 最后得到的現(xiàn)值就是支付或接受的數(shù)額 參考利率常常取LIBOR 3個月對9個月的LIBOR 3個月后開始并在9個月末結(jié)束6個月期的LIBOR 6 可編輯 什么是Libor Libor LondonInterbankOfferedRate 即倫敦同業(yè)拆借利率 是指倫敦的第一流銀行之間短期資金借貸的利率 是國際金融市場中大多數(shù)浮動利率的基礎(chǔ)利率 作為銀行從市場上籌集資金進行轉(zhuǎn)貸的融資成本 貸款協(xié)議中議定的LIBOR通常是由幾家指定的參考銀行 在規(guī)定的時間 一般是倫敦時間上午11 00 報價的平均利率 最經(jīng)常使用的是3個月和6個月的Libor 7 可編輯 遠期利率的例子 假設(shè)美國銀行需要鎖定3個月后開始的500萬美元期限為6個月的基于LIBOR的融資利率 即3個月后 銀行將貸出6個月期的500萬美元給客戶 然而 客戶需要立即從銀行處確定利率 銀行不能自己給出利率承諾 他與某個遠期利率協(xié)議交易商聯(lián)系 當(dāng)時 6個月的LIBOR報價為8 25 銀行向交易商詢問3個月對9個月期的LIBOR交易商報價為8 32 這家銀行接受了 即成為了遠期的買方 8 可編輯 遠期利率的例子 銀行向它的客戶報出8 82 的利率 銀行在融資成本上加50個基點 來實現(xiàn)自己的利潤并抵補所承擔(dān)的信用風(fēng)險 假設(shè)3個月后6個月期的LIBOR利率為8 95 于是銀行在歐洲貨幣市場以8 95 的利率獲得500萬美元的LIBOR存款并將其以承諾利率8 82 貸給客戶 銀行的損益為 8 82 8 95 5000000 182 360 3286 11美元 9 可編輯 遠期利率的例子 雖然在貸款中有損失 但銀行卻可以在他對沖保值的遠期合約中獲得盈虧 1 8 95 8 32 5000000 182 360 15925美元銀行此次的總盈虧為15925 3286 11 12639美元接受 支付的量是要用參考利率折現(xiàn)的 why 15925 1 8 95 182 360 15235 59 10 可編輯 遠期利率的確定 對于上面的例子我們給出了3 9的LIBOR 如果我們給出的是現(xiàn)在執(zhí)行的9個月期的固定利率及現(xiàn)在執(zhí)行的3個月期的固定利率是否可以計算出3 9的固定利率呢 所謂遠期利率就是指現(xiàn)在時刻的將來一定期限上的利率 那么遠期利率是如何確定的呢 遠期利率可以由一系列即期利率決定 例如 如果1年期的即期利率為10 2年期的即期利率為10 5 那么其隱含的意思是1年到2年的遠期利率為11 Why 11 可編輯 遠期利率的確定 這是因為一般地 如果現(xiàn)在時刻為t T時刻到期的即期利率為r T 時刻 T T 到期的即期利率為r 則t時刻的T T期間的遠期利率可以通過下面式子求得 注意 上式是每年計息一次的結(jié)果 當(dāng)復(fù)利進行計算時我們要另行討論 12 可編輯 遠期利率的確定 對于復(fù)利的情形我們利用連續(xù)復(fù)利計算比較方便 在前面我們討論過名義年利率為r 每年記m次復(fù)利的n年期有效利率為 而對于年連續(xù)復(fù)利 我們有n年期有效利率為 所以我們可以得到每年計m次復(fù)利與連續(xù)復(fù)利之間的換算關(guān)系為 13 可編輯 遠期利率的確定 當(dāng)即期利率和遠期利率所用的利率均為連續(xù)復(fù)利時 即期利率和遠期利率可以表示為 于是有對于我們前面的例子 若一年期和兩年期的連續(xù)復(fù)利年利率分別為10 和10 5 則一年到兩年的連續(xù)復(fù)利遠期利率為11 因為 14 可編輯 遠期和期貨合約的定價 為了下面討論方便 我們定義T 遠期和期貨合約到期的時間 單位為年 t 現(xiàn)在的時間 S 標(biāo)的資產(chǎn)在t時刻的價格 ST 標(biāo)的資產(chǎn)在T時刻的價格 K 遠期合約中的交割價格 f 遠期合約多頭在t時刻的價格 F t時刻的遠期合約和期貨合約中標(biāo)的資產(chǎn)的遠期理論價格和期貨理論價格 r T時刻到期的以連續(xù)復(fù)利計算的t時刻的無風(fēng)險利率 15 可編輯 無收益資產(chǎn)遠期合約的定價 我們所用的定價方法為無套利定價法 其基本思路為 構(gòu)建兩種投資自合 讓其終值相等 則其現(xiàn)值一定相等 為了給無收益資產(chǎn)的遠期定價我們可以構(gòu)建如下兩種組合 組合A 一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為的現(xiàn)金 組合B 一單位標(biāo)的資產(chǎn) 在組合A中 的現(xiàn)金以無風(fēng)險利率投資 投資期為 到T時刻 其金額將達到K 16 可編輯 無收益資產(chǎn)遠期合約的定價 在遠期合約到期時 這筆現(xiàn)金剛好可用來交割換來一單位標(biāo)的資產(chǎn) 根據(jù)無套利原則 這兩種組合在t時刻的價值必須相等 即 無收益資產(chǎn)遠期合約多頭的價值等于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格與交割價格現(xiàn)值的差 17 可編輯 現(xiàn)貨 遠期平價定理 遠期價格 F 就是使合約價值 f 為零的交割價格 即當(dāng)時 則這就是無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨 遠期平價定理 Spot ForwardParityTheorem 大家思考一下如果上面的等式不成立會出現(xiàn)什么情況 1 2 18 可編輯 現(xiàn)貨 遠期平價定理 若 說明交割價格大于現(xiàn)貨的終值 在此情形下 套利者可以按無風(fēng)險利率r借入現(xiàn)金S 期限為T t 然后用S買一單位的標(biāo)的資產(chǎn) 同時賣出一份該資產(chǎn)的遠期合約 交割價格為F 若 說明交割價格小于現(xiàn)貨的終值 在此情形下 套利者可以賣空一單位的標(biāo)的資產(chǎn) 將所得收入以無風(fēng)險利率r進行投資 期限為T t 同時買進一份該資產(chǎn)的遠期合約 交割價格為F 19 可編輯 例題及練習(xí) 例設(shè)一份標(biāo)的資產(chǎn)為一年期債券的剩余期限為6個月的遠期合約多頭 其交割價格為950美元 6個月期的無風(fēng)險年利率 連續(xù)復(fù)利 為6 該債券的現(xiàn)價為930美元 求此份遠期合約多頭的價值 解由于故此份遠期合約多頭的價值為 8 08美元 20 2020 3 19 21 可編輯 例題及練習(xí) 例假設(shè)一年期的貼現(xiàn)債券價格為960美元 3個月期無風(fēng)險年利率為5 則3個月期的該債券遠期合約的交割價格應(yīng)為多少 解根據(jù)現(xiàn)貨 遠期平價定理故3個月期的遠期合約的交割價格應(yīng)為972美元 22 可編輯 遠期價格的期限結(jié)構(gòu) 下面我們討論不同期限遠期價格之間的關(guān)系 F T時刻交割的遠期價格 F T 時刻交割的遠期價格 r T時刻到期的無風(fēng)險利率 r T 時刻到期的無風(fēng)險利率 T時刻到T 時刻的無風(fēng)險遠期利率 由現(xiàn)貨 遠期平價定理即 23 可編輯 遠期價格的期限結(jié)構(gòu) 例假設(shè)某種不付紅利股票6個月遠期的價格為20元 目前市場上6個月至1年的遠期利率為8 求該股票1年期的遠期價格 解根據(jù)不同期限遠期價格之間的關(guān)系 于是該股票1年期遠期價格為 24 可編輯 遠期利率協(xié)議的定價 在剛才我們提到過 遠期利率協(xié)議是空方承諾在未來某個時刻 T時刻 將一定數(shù)額的名義本金 A 按約定的合同利率 rK 在一定的期限 T T 貸給多方的遠期協(xié)議 本金A在借貸期間會產(chǎn)生固定的收益率r 因此其屬于支付已知收益率資產(chǎn)的遠期合約 遠期利率協(xié)議多方 即借入本金的一方 的現(xiàn)金流為 T時刻 AT 時刻 25 可編輯 遠期利率協(xié)議的定價 這些現(xiàn)金流的現(xiàn)值即為遠期利率協(xié)議多頭的價值 為此 我們要先將T 時刻的現(xiàn)金流用T T期限的遠期利率 貼現(xiàn)到T時刻 再貼現(xiàn)到現(xiàn)在時刻t 即 這里的遠期價格就是合同利率 根據(jù)遠期價格的定義 遠期利率就是使遠期合約價值為0的協(xié)議價格 rK 理論上遠期利率 rF 應(yīng)與相等 26 可編輯 遠期外匯綜合協(xié)議的定價 例假設(shè)2年期即期年利率 連續(xù)復(fù)利 為10 5 3年期即期年利率為11 本金為100萬美元的2 3年遠期利率協(xié)議的合同利率為11 請問該遠期利率協(xié)議的價值和理論上的合同利率等于多少 解根據(jù)遠期利率定價公式有該合約的價值為 27 可編輯 期貨價格 期貨價格與預(yù)期的未來現(xiàn)貨價格的關(guān)系E ST 現(xiàn)在市場上預(yù)期的標(biāo)的資產(chǎn)在T時刻的市價 y 表示該資產(chǎn)的連續(xù)復(fù)利收益率 t 為現(xiàn)在時刻 于是與遠期定價討論類似 對期貨價格也有 28 可編輯 期貨價格 根據(jù)資本資產(chǎn)定價原理 若標(biāo)的資產(chǎn)的系統(tǒng)性風(fēng)險為0 則y r 若標(biāo)的資產(chǎn)的系統(tǒng)性風(fēng)險大于零 則y r 若標(biāo)的資產(chǎn)的系統(tǒng)性風(fēng)險小于零 則y r 在現(xiàn)實生活中 大多數(shù)標(biāo)的資產(chǎn)的系統(tǒng)性風(fēng)險都大于零 因此在大多數(shù)情況下 F都小于E ST 對于有收益資產(chǎn)我們也可以得出同樣的結(jié)論 29 可編輯 期貨價格 我們用持有成本的概念來概括遠期和期貨價格與現(xiàn)貨價格的關(guān)系 持有成本 保存成本 利息成本 標(biāo)的資產(chǎn)在合約期限內(nèi)提供的收益對于不支付紅利的股票 沒有保存成本和收益 所以持有成本就是利息成本r 股票指數(shù)的持有成本是r q 貨幣的持有成本是r rf 如果我們用c表示持有成本 那么 30 可編輯 總結(jié) 遠期的概念遠期利率無套利定價現(xiàn)貨遠期平價定理遠期定價的例子期貨定價 31 可編輯 練習(xí) 1 假設(shè)你簽訂了一期貨合約 7月在紐約商品交易所以每盎司 5 20的價格賣出白銀 合約規(guī)模為5 000盎司 初始保證金為 4 000 維持保證金為 3 000 將來價格發(fā)生什么樣的變化會導(dǎo)致保證金催付 如果你不補足保證金會怎樣 答 當(dāng)投資者保證金帳戶損失額度達到 1 000時 即白銀的價格上漲1000 5000 0 20 白銀價格為每盎司 5 40 會導(dǎo)致保證金催付 如果不補足保證金 合約會被平倉 32 可編輯 練習(xí) 2 請解釋空頭套期保值者當(dāng)基差意想不到地擴大時 為什么保值效果會有所改善 答 基差指進行套期保值資產(chǎn)的現(xiàn)貨價格與所使用合約的期貨價格之差 空頭套期保值者買入資產(chǎn)同時賣出期貨合約 因此當(dāng)基差擴大時 保值效果改善 反之 保值效果惡化 33 可編輯 練習(xí) 3 芝加哥交易所的玉米期貨合約 有如下交割月可供選擇 3月 5月 7月 9月 12月 次年5月 當(dāng)套期保值的到期日分別為6月 8月和次年1月時 應(yīng)選用哪種合約進行套期保值 答 套期保值到期日應(yīng)在交割月份之后 且二者最為接近的月份 7月9月次年5月 34 可編輯 練習(xí) 4 黃金的現(xiàn)價為每盎司 500 兩年后交割的遠期價格為每盎司 700 一位套期保值者可以10 的年利率借到錢 套利者應(yīng)當(dāng)如何操作才能獲利 假設(shè)儲存黃金費用不計 套利者以10 的年利率借入貨幣 購買黃金現(xiàn)貨 賣出黃金遠期 一年后交割收益為700 500 1 10 2 95 35 可編輯 練習(xí) 5 一家銀行給你的報價如下 年利率14 按季度計復(fù)利 問 a 等價的連續(xù)復(fù)利利率為多少 b 按年計復(fù)利的利率為多少 解 a 等價的連續(xù)復(fù)利為 b 按年計復(fù)利的利率為 36 可編輯 練習(xí) 6 當(dāng)一種不支付紅利股票為 40時 簽訂一份一年期的基于該股票的遠期合約 無風(fēng)險利率為10 連續(xù)復(fù)利計息 解 a 遠期合約價格為遠期價格 44 21 期貨合約的初始價值為零 b 遠期合約的交割價格為