關(guān)于曲線繪圖與運動控制問題的研究

關(guān)于曲線繪圖與運動控制問題的研究姓名：張碩 朱聰聰 禹雪珂學(xué)號：201722060220172106102017210609專業(yè)：研究生組題目：關(guān)于曲線繪圖與運動控制問題的研究摘要隨著計算機的廣泛應(yīng)用，計算機輔助繪圖在當(dāng)今社會已成為計算機輔助設(shè)計的基礎(chǔ)。本文的建模題目就是利用數(shù)學(xué)建模的方法來研究計算機繪圖以及運動控制的原理。針對問題一，首先根據(jù)題意建立了滿足條件的三階貝塞爾曲線模型，讓屏幕上的4點在一條光滑又簡單的曲線上。然后根據(jù)模型計算出由以下 4點構(gòu)成的參數(shù)方程，運用 matlab編程，繪出了相應(yīng)的曲線。2,3,1,DCBA針對問題二的第一步，先把所給的參數(shù)方程的參數(shù)作 4等分，即 ，1,432,0t然后用 matlab編程繪圖，驗證出了當(dāng)參數(shù)作 4等分時，這些點對應(yīng)的曲線弧長并不是4等分的。對于弧長 n等分的問題，隨后利用微積分的原理建立了求弧長的公式模型。在弧長公式的基礎(chǔ)上，進行弧長等分。利用這個模型，求出每段弧長對應(yīng)的參數(shù) t，結(jié)合所給的參數(shù)方程，最后利用編程繪制出了曲線的弧長 4等分和 10等分圖像。關(guān)鍵詞：貝塞爾曲線；微積分；MATLAB 繪圖1一 問題重述目前計算機輔助繪圖已成為計算機輔助設(shè)計的基礎(chǔ)，本文的問題就是利用數(shù)學(xué)建模的方法來研究計算機繪圖以及運動控制的基本原理。問題 1：繪圖 在計算機屏幕上隨機地畫出 和 ，321,yxCByxA4,yxD利用這 4個點的信息繪制出一條曲線，其中讓 為曲線的起點， 為曲線的終點，和 為控制點。曲線在起點 處，以 方向為切線方向，在終點 處，以 方向BCAB為切線方向。使用參數(shù)方程 來描述這條曲線，但滿足上述條件的曲線有無窮條，10,tyx請增加一些條件，使它表示一條曲線，并且具有形式簡單（如多項式） 、曲線光滑（如連續(xù)可微）和美觀等特點。根據(jù)建立的模型寫出由以下 4點 構(gòu)成曲線的參數(shù)方程，2,3,1DCBA并繪出這條曲線（同時在圖上標(biāo)注這 4個點，和相應(yīng)的切線） 。問題 2：運動控制 計算機輔助設(shè)計在一些情況下，需要對沿著指定的運動途徑的空間位置進行精確的控制，而參數(shù)方程 給出的曲線一般是達不到這一10,tyx效果。也就是說，若將參數(shù) 作 等分，而對應(yīng)的曲線弧長并不是 等分的。例如：需tnn要控制的曲線由下列參數(shù)方程表示(1-1) .10,7.29.035.143 ttttyx若將參數(shù) 作 4 等分，即 ，而這些點對應(yīng)的曲線弧長并不是 4 等分,的，本題需要繪圖驗證這一點，并給出將弧長作 等分的數(shù)學(xué)模型或計算公式。n根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，將參數(shù)方程(1-1)所繪出曲線的弧長 4 等分和 10 等分。繪出參數(shù)方程(1-1)的控制曲線，并標(biāo)注出弧長 4 等分和 10 等分的等分點。二問題分析對于問題一，是讓我們對計算機屏幕上的隨機 4 點滿足的參數(shù)方程添加一些條件，使得繪出的曲線只有一條，且具有一定的特點。根據(jù)搜集的信息，首先我們建立了三2階貝塞爾曲線方程的模型，這個模型是多項式，繪出的曲線具有形式簡單，曲線光滑和美觀等特點。然后根據(jù)模型求出了 4 點滿足的曲線的參數(shù)2,3,1DCBA方程，并用 matlab 軟件繪制出了相應(yīng)的曲線。對于問題二，要求我們在參數(shù) 等分的情況下，給出將弧長 等分的數(shù)學(xué)模型。根nn據(jù)題意我們已經(jīng)知道了需要控制的曲線的參數(shù)方程，利用微積分的方法，給出了求曲線弧長的計算公式，在此基礎(chǔ)上對弧長進行 等分。根據(jù)建立的模型，利用 matlab 軟件繪制出將參數(shù)方程(1-1) 所繪出曲線的弧長 4 等分和 10 等分的圖像。三模型假設(shè)1.假設(shè)計算機屏幕上的隨機 4點沒有重合。2. 假設(shè)計算機正常運行。3. 假設(shè)用 matlab 運行的誤差忽略不計。四符號說明參數(shù) t定點控制點幕上的任意四點參數(shù)方程的系數(shù)總弧長 s每段的弧長3五模型的建立與求解5.1 理論準(zhǔn)備5.1.1貝塞爾曲線簡介貝塞爾曲線，又稱貝茲曲線或貝濟埃曲線，是應(yīng)用于二維圖形應(yīng)用程序的數(shù)學(xué)曲線。一般的矢量圖形軟件通過它來精確畫出曲線，貝茲曲線由線段與節(jié)點組成，節(jié)點是可拖動的支點，線段像可伸縮的皮筋，它是計算機圖形學(xué)中相當(dāng)重要的參數(shù)曲線。貝塞爾曲線是根據(jù) 4個位置任意的點坐標(biāo)繪制出的一條光滑曲線，我們把這 4個點設(shè)為和，貝塞爾曲線必定通過首尾兩個端點，中間的兩個點雖然未必要通過，但卻起著牽制曲線形狀路徑的作用，稱為控制點。通過調(diào)整控制點，貝塞爾曲線的形狀會發(fā)生變化 beisaier.gif。 5.1.2 貝塞爾曲線的參數(shù)表示當(dāng)控制點不同時，貝塞爾曲線的方程就不同。在這里，可以簡單的分為一階、二階、三階、和高階貝塞爾曲線。下面對其參數(shù)方程進行簡單的介紹。A.一階貝塞爾曲線給定點 P0、P1，線性貝茲曲線只是一條兩點之間的直線。這條線由下式給出：且其等同于線性插值。B.二階貝塞爾曲線二次方貝茲曲線的路徑由給定點 P0、P1、P2 的函數(shù) B（ t）追蹤：TrueType 字型就運用了以貝茲樣條組成的二次貝茲曲線。C.三階貝塞爾曲線P0、P1、P2、P3 四個點在平面或在三維空間中定義了三次方貝茲曲線。曲線起始于 P0走向 P1，并從 P2的方向來到 P3。一般不會經(jīng)過 P1或 P2；這兩個點只是在那里提供方向資訊。P0 和 P1之間的間距，決定了曲線在轉(zhuǎn)而趨進 P3之前，走向 P2方向的“長度有多長” 。曲線的參數(shù)形式為：4現(xiàn)代的成象系統(tǒng)，如 PostScript、Asymptote 和 Metafont，運用了以貝茲樣條組成的三次貝茲曲線，用來描繪曲線輪廓。D.一般參數(shù)公式給定點 P0、P1、Pn，其貝茲曲線即：如上公式可如下遞歸表達： 用表示由點 P0、P 1、 、Pn 所決定的貝茲曲線。5.1.3 貝塞爾曲線的性質(zhì)貝塞爾曲線把組合參數(shù)曲線構(gòu)造成在連接處具有直到 n階連續(xù)，即 n階連續(xù)可微，這類光滑度稱之為 nC或 n階參數(shù)連續(xù)性。并且組合曲線在連接處滿足不同于 nC的某一組約束條件，具有 n階幾何連續(xù)性，5.2 問題一模型的建立根據(jù)題目所給，要使參數(shù)方程并且具有形式簡單（如多項式） 、曲線光滑（如連續(xù)可微）和美觀等特點，我們建立了三階貝塞爾曲線方程的模型：如果已知一條曲線的參數(shù)方程，系數(shù)都已知，兩個方程的參數(shù)為 ，且它的值位于0，1 之間，表現(xiàn)形式如下所示：()=*3+2+1()=*3+2+1由于這條曲線的起點為 ，我們可以用以下公式求出剩余三個點的坐標(biāo)(1， 1)2=1+/33=2+（ +/3）4=1+2=1+/33=2+(+)/34=1+經(jīng)過觀察，不管方程的已知和所求是什么，一共有 6 個未知數(shù)，并且總能找到 6個等式，其中 是已知的。也就是說，上面的方法是完全可逆的，因此可以根據(jù)(1， 1)54 個已知點坐標(biāo)來反求曲線參數(shù)方程的系數(shù)，經(jīng)過變換，可得到下列式子： =3（ 21）=3（ 32） =41=3（ 21）=3（ 32） =41所以，對于坐標(biāo)任意的 4 個已知點，總能構(gòu)建一條貝塞爾曲線，并可通過以上算法求出其參數(shù)方程。5.3問題一的求解根據(jù)建立的模型，將 代入三階貝塞爾曲線模型中，得到2,3,1DCBA=3（ 21） =0=3（ 32） =6=41=5=3（ 21） =6=3（ 32） =6=41=1所以得到的參數(shù)方程為 ()=5*3+62+0+1（-6） .()=1*3+ 2+6+1根據(jù)計算結(jié)果，利用 MATLAB寫出程序見（附錄 1） ，繪出這條曲線同時在圖上標(biāo)注出四點點，和相應(yīng)的切線，其中 為曲線的起點， 為曲線的終點， 和 為控制點.ADBC曲線在起點 處，以 方向為切線方向，在終點 處，以 方向為切線方向.AB如下圖：61 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 311.21.41.61.822.22.42.62.835.3 問題二模型的建立問題 2中，需要控制的曲線的參數(shù)方程已知，當(dāng)參數(shù) 作 等分時，要使曲線弧長tn是 等分，這時我們應(yīng)利用微積分的方法，給出求曲線弧長的計算公式，在此基礎(chǔ)上n建立對弧長進行 等分的數(shù)學(xué)模型。n若曲線弧的參數(shù)方程如下：（ ）=（ ）=（ ） 則弧長元素（弧微分）為：=（ ） 2+（ ） 2= 2（ ） +2()所求弧長為=2（ ） +2()因此得到將弧長進行 n 等分的公式模型：7=2（ ） +2()ndtts)(221tt)(322. nttsn)()1(22計算出 n 等分點的到起始點的弧長，利用 Matlab 可以求出每個等分點對應(yīng)的參數(shù)t，從而可繪出 n 等分的對應(yīng)圖像。5.4 問題二的求解首先對于參數(shù)方程 若將參數(shù) 作 4 等分， .10,7.29.035.143 ttttyx t即 時，經(jīng)過 matlab 軟件編程繪制圖像，發(fā)現(xiàn)并驗證了這些點對應(yīng)的曲線1,432,0t弧長并不是 4 等分的。繪制的圖形如下：8從圖 5.4-1 中可以看出當(dāng)參數(shù) 作 4 等分時，對應(yīng)的弧長并不是 4 等分的。t對于參數(shù)方程 將其代入建立的模型之中， .10,7.29.035.13 ttttyx運用 matlab 編程求出弧長 S 為 2.4952，若將弧長進行 4 等分，每段的弧長 s 為0.6238。再次運用 Matlab 編程，用已知的四等分點的弧長 s 反過來求出對應(yīng)的參數(shù) t，數(shù)據(jù)如表格所示：弧長 s 參數(shù) t=0.00000 =0.0000=0.62381s =0.5501t=1.24762 =0.8002=2.33483s =0.9183t=2.49524 =1.0004進而繪制出將弧長進行 4 等分的圖像，并將 4 等分的等分點用紅色圓圈在圖上進行了標(biāo)注，如圖：9同理，運用模型可將曲線 10 等分。可求出 10 等分之后每段的弧長為 0.2495，運用 Matlab 求出了所有等分點參數(shù) t 的取值?；￠L s 參數(shù) t=0.0000 =0.00000=0.2491s =0.24021t=0.4992 =0.43242=0.7483s =0.63103t=0.9984 =0.73324=1.2485s =0.80075t=1.4976 =0.85326=1.7477s =0.89727t=1.9968 =0.93538=2.2459s =0.96919t10=2.49510s =1.000010t并繪制出了將弧長進行 10 等分的圖像，并對弧長 10 等分的等分點進行了標(biāo)注。六模型評價6.1模型一的評價6.1.1優(yōu)點（1）模型簡單，通過一個貝塞爾曲線模型給出了屏幕上任意 4點需要滿足的條件，利用限制條件繪制出了美觀的圖像，便于觀察。（2）該模型的原理淺顯易懂，計算過程不復(fù)雜，適用性比較強。6.1.2缺點由于所給的數(shù)據(jù)較少，繪制出的圖像不是特別準(zhǔn)確，存在一定的誤差。6.2模型二的評價6.2.1優(yōu)點（1）模型簡單，原理淺顯易懂，思路明確，直奔主題。（2）利用了微積分求弧長，化曲為直，簡化了計算過程。6.2.2缺點在計算 n等分點時，過程較為繁瑣，復(fù)雜。11參考文獻1劉衛(wèi)國，MATLAB 程序設(shè)計與應(yīng)用（第二版）M. 北京：高等教育出版社，2006.2龔純,王正林編 .MATLAB 語言常用算法程序集 .北京：電子工業(yè)出版社,2008.3王正林等編.MATLAB/Simulink 與控制系統(tǒng)仿真（第 2 版）.北京：電子工業(yè)出版社,20084夏瑋等編.MATLAB 控制系統(tǒng)仿真與實例詳解 .北京：人民郵電出版社 .2008.5張靜等編. MATLAB 在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用 .北京：電子工業(yè)出版社 ,2007 6 方康玲編 ,過程控制及其 MATLAB 實現(xiàn)(第 2 版).北京：電子工業(yè)出版社,2013附錄問題 1t=0:0.01:1;x=-5*t.3+6*t.2+1;y=t.3-6*t.2+6*t+1;plot(x,y,-b);hold onx0=1;1;3;2y0=1;3;3;2;plot(x0,y0,r)x1=1;1;y1=1;3;plot(x1,y1,-g)t=0:0.01:1;12x=-5*t.3+6*t.2+1;y=t.3-6*t.2+6*t+1;plot(x,y,-b);hold onx0=1;1;3;2;y0=1;3;3;2;plot(x0,y0,r)x2=3;2;y2=3;2;plot(x2,y2,-g)問題二（1）驗證當(dāng)參數(shù)作 4等分，即時，這些點對應(yīng)的弧長不是 4等分的程序：t=0:0.01:0.25x=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.3;plot(x,y,*:b);hold ont=0.25:0.01:0.5x=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.3;plot(x,y,*:r);hold ont=0.5:0.01:0.75x2=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y2=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.3;plot(x2,y2,*:g);hold ont=0.75:0.01:1x3=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y3=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.3;13plot(x3,y3,*:k);（2）由已知的參數(shù)方程求出的總弧