高考數(shù)學(xué)解題方法與技巧.doc

第一節(jié) 選擇題的解題方法與技巧一、教學(xué)目標(biāo) 1、了解并掌握選擇題的解題方法與技巧，使學(xué)生能夠達(dá)到準(zhǔn)確、迅速解答選擇題的目的； 2、培養(yǎng)學(xué)生靈活多樣的辯證唯物主義觀點(diǎn)； 3、培養(yǎng)學(xué)生的自信心，提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)二、重點(diǎn)聚集 高考數(shù)學(xué)選擇題占總分值的 其解答特點(diǎn)是“四選一”，快速、準(zhǔn)確、無(wú)誤地選擇好這個(gè)“一”是十分重要的 選擇題和其它題型相比，解題思路和方法有著一定的區(qū)別，產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因在于選擇題有著與其它題型明顯不同的特點(diǎn)：立意新穎、構(gòu)思精巧、迷惑性強(qiáng)、題材內(nèi)容相關(guān)相近，真假難分；技巧性高、靈活性大、概念性強(qiáng)、題材內(nèi)容儲(chǔ)蓄多變、解法奇特；知識(shí)面廣、跨度較大、切入點(diǎn)多、綜合性強(qiáng) 正因?yàn)檫@些特點(diǎn)，使得選擇題還具有區(qū)別與其它題型的考查功能：能在較大的知識(shí)范圍內(nèi)，實(shí)現(xiàn)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法的考查；能比較確切地考查考生對(duì)概念、原理、性質(zhì)、法則、定理和公式的掌握和理解情況；在一定程度上，能有效地考查邏輯思維能力，運(yùn)算能力、空間想象能力及靈活和綜合地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力三、基礎(chǔ)訓(xùn)練 （1）若定義在區(qū)間（-1，0）內(nèi)的函數(shù)，滿足，則a的取值范圍是： A B C D （2）過(guò)原點(diǎn)的直線與圓相切，若切點(diǎn)在第三象限，則該直線的方程是：A B C D （3）如果函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，那么a等于：A B C1 D-1 （4）設(shè)函數(shù)，若，則的取值范圍為：A（-1，1） B C D （5）已知向量，且對(duì)任意，恒有，則A B C D答案：（1）A （2）C （3）C （4）D （5）C四、典型例題 （一）直接法直接從題目條件出發(fā)，運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識(shí)，通過(guò)嚴(yán)密的推理和準(zhǔn)確的運(yùn)算，從而得出正確的結(jié)論，然后對(duì)照題目所給出的選擇支“對(duì)號(hào)入座”作出相應(yīng)的選擇、涉及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡(jiǎn)單的題目常用直接法例1、關(guān)于函數(shù)，看下面四個(gè)結(jié)論： 是奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，恒成立；的最大值是；的最小值是其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為： A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【解析】， 為偶函數(shù)，結(jié)論錯(cuò)；對(duì)于結(jié)論，當(dāng)時(shí)， ，結(jié)論錯(cuò) 又，從而，結(jié)論錯(cuò) 中，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立，可知結(jié)論正確【題后反思】 直接法是解答選擇題最常用的基本方法，低檔選擇題可用此法迅速求解，直接法運(yùn)用的范圍很廣，只要運(yùn)算正確必能得到正確的答案，提高直接法解選擇題的能力，準(zhǔn)確地把握中檔題的“個(gè)性”，用簡(jiǎn)便方法巧解選擇題，是建在扎實(shí)掌握“三基”的基礎(chǔ)上的，否則一味求快則會(huì)快中出錯(cuò)（二）排除法 排除法也叫篩選法或淘汰法，使用排除法的前提條件是答案唯一，具體的做法是采用簡(jiǎn)捷有效的手段對(duì)各個(gè)備選答案進(jìn)行“篩選”，將其中與題干相矛盾的干擾支逐一排除，從而獲得正確結(jié)論xyOxyOxyOxyO例2、直線與圓的圖象可能是：A B C D【解析】由圓的方程知圓必過(guò)原點(diǎn)，排除A、C選項(xiàng)，圓心（a，-b）,由B、D兩圖知直線方程可化為，可知應(yīng)選B【題后反思】 用排除法解選擇題的一般規(guī)律是： （1）對(duì)于干擾支易于淘汰的選擇題，可采用篩選法，能剔除幾個(gè)就先剔除幾個(gè)； （2）允許使用題干中的部分條件淘汰選擇支； （3）如果選擇支中存在等效命題，那么根據(jù)規(guī)定-答案唯一，等效命題應(yīng)該同時(shí)排除； （4）如果選擇支存在兩個(gè)相反的，或互不相容的判斷，那么其中至少有一個(gè)是假的； （5）如果選擇支之間存在包含關(guān)系，必須根據(jù)題意才能判定 （三）特例法 特例法也稱特值法、特形法 就是運(yùn)用滿足題設(shè)條件的某些特殊值、特殊關(guān)系或特殊圖形對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)或推理，從而得到正確選項(xiàng)的方法，常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等例3、設(shè)函數(shù)，若，則的取值范圍為：A（-1，1） B（） C D【解析】，不符合題意，排除選項(xiàng)A、B、C，故應(yīng)選DxyO12例4、已知函數(shù)的圖像如圖所示，則b的取值范圍是：A B C（1，2） D【解析】設(shè)函數(shù)，此時(shí)【題后反思】這類題目若是腳踏實(shí)地地求解，不僅運(yùn)算量大，而且極易出錯(cuò)，而通過(guò)選擇特殊點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)算，既快又準(zhǔn)，但要特別注意，所選的特殊值必須滿足已知條件（四）驗(yàn)證法又叫代入法，就是將各個(gè)選擇項(xiàng)逐一代入題設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，從而獲得正確的判斷，即將各個(gè)選擇支分別作為條件，去驗(yàn)證命題，能使命題成立的選擇支就是應(yīng)選的答案例5、在下列四個(gè)函數(shù)中，滿足性質(zhì)：“對(duì)于區(qū)間（1，2）上的任意，恒成立”的只有：A B C D【解析】當(dāng)時(shí)，所以恒成立，故選A例6、若圓上恰有相異兩點(diǎn)到直線的距離等于1，則r的取值范圍是：A4，6 B C D【解析】圓心到直線的距離為5，則當(dāng)時(shí)，圓上只有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，當(dāng)時(shí)，圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，故應(yīng)選D【題后反思】代入驗(yàn)證法適用于題設(shè)復(fù)雜、結(jié)論簡(jiǎn)單的選擇題，這里選擇把選項(xiàng)代入驗(yàn)證，若第一個(gè)恰好滿足題意就沒(méi)有必要繼續(xù)驗(yàn)證了，大大提高了解題速度（五）數(shù)形結(jié)合法“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，對(duì)于一些具體幾何背景的數(shù)學(xué)題，如能構(gòu)造出與之相應(yīng)的圖形進(jìn)行分析，則能在數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)中獲得形象直觀的解法xy-3-2-1123Y=f(x)例7、若函數(shù)滿足，且時(shí)，則函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：A2 B3 C4 D無(wú)數(shù)個(gè)【解析】由已知條件可做出函數(shù)及的圖像，如下圖，由圖像可得其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4個(gè)，故應(yīng)選C例8、設(shè)函數(shù)，若若，則的取值范圍為：xy1-11OA（-1，1） B C（） D【解析】在同一直角坐標(biāo)系中，做出函數(shù)和直線x=1的圖像，它們相交于（-1，1）和（1，1）兩點(diǎn)，則，得，故選D【題后反思】嚴(yán)格地說(shuō)，圖解法并非屬于選擇題解題思路范疇，而是一種數(shù)形結(jié)合的解題策略，但它在解有關(guān)選擇題時(shí)非常簡(jiǎn)便有效，不過(guò)運(yùn)用圖解法解題一定要對(duì)有關(guān)函數(shù)圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則錯(cuò)誤的圖像反會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的選擇（六）邏輯分析法 分析法就是根據(jù)結(jié)論的要求，通過(guò)對(duì)題干和選擇支的關(guān)系進(jìn)行觀察分析、尋求充分條件，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而做出正確判斷的一種方法，分析法可分為定性分析法和定量分析法例9、若定義在區(qū)間（-1，0）內(nèi)的函數(shù)滿足，則a的取值范圍是：A B C D【解析】要使成立，只要2a和x+1同時(shí)大于1或同時(shí)小于1成立，當(dāng)時(shí)，則，故選A1 2 31 3 22 1 3 2 3 1 3 2 1 3 1 2 例10、用n個(gè)不同的實(shí)數(shù)可得個(gè)不同的排列，每個(gè)排列為一行寫(xiě)成一個(gè)行的矩陣，對(duì)第i行，記，（）例如用1、2、3排數(shù)陣如圖所示，由于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是12，所以，那么用1，2，3，4，5形成的數(shù)陣中，A-3600 B1800 C-1080 D-720【解析】時(shí)，每一列之和為，時(shí)，每一列之和為，故選C【題后反思】分析法實(shí)際是一種綜合法，它要求在解題的過(guò)程中必須保持和平的心態(tài)、仔細(xì)、認(rèn)真的去分析、學(xué)習(xí)、掌握、驗(yàn)證學(xué)習(xí)的結(jié)果，再運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解題，對(duì)考察學(xué)生的學(xué)習(xí)能力要求較高（七）極端值法 從有限到無(wú)限，從近似到精確，從量變到質(zhì)變，應(yīng)用極端值法解決某些問(wèn)題，可以避開(kāi)抽象、復(fù)雜的運(yùn)算，隆低難度，優(yōu)化解題過(guò)程例11、對(duì)任意都有：A BC D【解析】當(dāng)時(shí)，故排除A、B，當(dāng)時(shí)，故排除C，因此選D例12、設(shè)，且，則A BC D【解析】，令，則，易知：，故應(yīng)選A【題后反思】有一類比較大小的問(wèn)題，使用常規(guī)方法難以奏效（或過(guò)于繁雜），又無(wú)特殊值可取，在這種情況下，取極限往往會(huì)收到意想不到的效果（八）估值法由于選擇題提供了唯一正確的選擇支，解答又無(wú)需過(guò)程，因此可通過(guò)猜測(cè)、合情推理、估算而獲得答案，這樣往往可以減少運(yùn)算量，避免“小題大做”ABCDEF例13、如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF/AB，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為：A B5 C6 D【解析】由已知條件可知，EF/面ABCD，則F到平面ABCD的距離為2，而該多面體的體積必大于6，故選D例14、已知過(guò)球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是：A B C D【解析】設(shè)球的半徑為R，的外接圓半徑，則，故選D【題后反思】有些問(wèn)題，由于受條件限制，無(wú)法（有時(shí)也沒(méi)有必要）進(jìn)行精確的運(yùn)算和判斷，而又能依賴于估算，估算實(shí)質(zhì)上是一種數(shù)字意義，它以正確的算理為基礎(chǔ)，通過(guò)合理的觀察、比較、判斷、推理，從而做出正確的判斷、估算、省去了很多推導(dǎo)過(guò)程和比較復(fù)雜的計(jì)算，節(jié)省了時(shí)間，從而顯得快捷其應(yīng)用廣泛，它是人們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、研究問(wèn)題、解決問(wèn)題的一種重要的運(yùn)算方法（九）割補(bǔ)法ABCD“級(jí)割善補(bǔ)”是解決幾何問(wèn)題常用的方法，巧妙地利用割補(bǔ)法，可以將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，這樣可以使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，從而縮短解題時(shí)間例15、一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為：A B C D【解析】如圖，將正四面體ABCD補(bǔ)成正方體，則正四面體、正方體的中心與其外接球的球心共一面，因?yàn)檎拿骟w棱長(zhǎng)為，所以正方體棱長(zhǎng)為1，從而外接球半徑，故，選A【題后反思】“割”即化整為零，各個(gè)擊破，將不易求解的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為易于求解的問(wèn)題；“補(bǔ)”即代分散不集中，著眼整體，補(bǔ)成一個(gè)“規(guī)則圖形”來(lái)解決問(wèn)題，當(dāng)我們遇到不規(guī)則的幾何圖形或幾何體時(shí)，自然要想到“割補(bǔ)法”五、限時(shí)課后練習(xí)（1）已知是銳角，且，則的取值范圍是：A B C D （2）（2007，安徽高考）若，則A交B補(bǔ)中元素的個(gè)數(shù)為：A0 B1 C2 D3 （3）（2007，山東高考）已知集合，則A B C D （4）過(guò)原點(diǎn)的直線與圓相切，若切點(diǎn)在第三象限，則該直線的方程是：A B C D （5）如果n是正偶數(shù)，則A B C D （6）函數(shù)，則區(qū)間a，b上是增函數(shù)，且，則函數(shù)在a，b上是：A增函數(shù) B減函數(shù) C有最大值M D有最小值M（7）函數(shù)的最小正周期是：A B C2 D4 （8）過(guò)點(diǎn)A（1，-1），B（-1，1）且圓心在直線上的圓的方程是： A BC DxyO3O （9）定義在上的奇函數(shù)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖像如下圖所示，則不等式的解集是：A BC D （10）函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為： A1 B2 C3 D4ABCDEF （11）如下圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且均為正三角形，EF/AB，EF=2，則該多面體的體積為： A B C D ABCC1B1A1PQ（12）如下圖，直三棱柱ABCA1B1C1的體積為V，P、Q分別為側(cè)棱AA1、和CC1上的點(diǎn)，且AP=C1Q，則四棱錐BA1PQC的體積為： A B C DABCDA1C1B1D1GHFOE（13）如右圖所示，在正方體AC1中，E為AD的中點(diǎn)，O為側(cè)面AA1B1B的中心，F(xiàn)為CC1上任意一點(diǎn)，則異面直線OF與BE所成的角是： A B C D（14）要得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像： A向右平移個(gè)單位 B向左平移個(gè)單位C向右平移個(gè)單位 D向左平移個(gè)單位（15）函數(shù)的定義域?yàn)閍，b，值域?yàn)?，2，則區(qū)間a，b的長(zhǎng)度b-a的最小值是： A2 B C3 D（16）已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，若實(shí)數(shù)d是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，那么下列四個(gè)判斷：db；dc，其中可能成立的個(gè)數(shù)為： A1 B2 C3 D4（17）設(shè)函數(shù)，則使得成立的m的取值為： A10 B0，-1 C0，-2，10 D1，-1，11（18）已知點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是： A B C D答案：（1）D （2）C （3）B （4）C （5）B （6）C （7）B （8）C （9）A（10）C （11）A （12）B （13）D （14）C （15）D （16）B （17）D （18）D第二節(jié) 填空題的解題方法與技巧一、教學(xué)目標(biāo)1了解填空題的題型特點(diǎn)和考查角度，掌握填空題的解題方法和技巧，規(guī)范其解答；2培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；3使學(xué)生會(huì)一分為二的辯證的看待問(wèn)題二、重點(diǎn)聚集 填空題的主要作用是考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能及思維能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，填空題的結(jié)果必須是數(shù)值準(zhǔn)確、形式規(guī)范、表達(dá)式（數(shù)）最簡(jiǎn)，結(jié)果稍有毛病，便得零分 填空題的基本特點(diǎn)： 1方法靈活，答案唯一； 2答案簡(jiǎn)短，具體明確 學(xué)生在解答填空題時(shí)注意以下幾點(diǎn)； 1對(duì)于計(jì)算型填空題要運(yùn)算到底，結(jié)果要規(guī)范； 2填空題所填結(jié)果要完整，不可缺少一些限制條件； 3填空題所填結(jié)論要符合高中數(shù)學(xué)教材要求； 4解答填空題平均每小題3分鐘，解題時(shí)間應(yīng)控制在12分鐘左右xyABQ(2,1)P(x,y) 總之，解填空題的基本原則是“小題小做”，要“準(zhǔn)”、“活”、“靈”、“快”三、基礎(chǔ)訓(xùn)練 （1）設(shè)直線，過(guò)平面外一點(diǎn)A作直線，則與都成角的直線有 條 （2）如下圖所示，過(guò)點(diǎn)Q（2，1）的動(dòng)直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)P有軌跡方程為： （3）若數(shù)列中，則為： （4）對(duì)于滿足的一切實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則x的取值范圍是： （5）設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最大值是： 答案：（1）2 （2）（3） （4） （5）21四、典型例題（一）直接法直接法求解就是從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用定義、定理、公式、性質(zhì)、法則等知識(shí)，通過(guò)變形、推理、計(jì)算等，得出正確的結(jié)論例1、不等式的解集是： 【解析】當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，此時(shí)應(yīng)有：；當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，此時(shí)應(yīng)有：；不等式的解集是：例2、在等差數(shù)列中，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最小值為： 【解析】設(shè)公差為d，則，數(shù)列為遞增數(shù)列，令，前6項(xiàng)和均為負(fù)值，Sn的最小值為【題后反思】 由于填空題不需要解題材過(guò)程，因此可以透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，自覺(jué)地、有意識(shí)地采用靈活、簡(jiǎn)潔的解法，省去某些步驟，大跨度前進(jìn)，也可配合心算、速算、力求快速，辟免“小題大做”（二）特殊值法當(dāng)填空結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，我們只需把題材中的參變量用特殊值代替之，即可得到結(jié)論例3、函數(shù)在（0，2）上是一增函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則的大小關(guān)系為： （用“0時(shí)，恒有（4）已知函數(shù)，（）將函數(shù)化簡(jiǎn)成的形式；（）求函數(shù)的值域（5）已知曲線C1：所圍成的封閉圖形的面積為，曲線C1的內(nèi)切圓半徑為，記C2為以曲線C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓， （）求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程； （）設(shè)AB是過(guò)橢圓C2中心的任意弦，是線段AB的垂直平分線，M是上異于橢圓中心的點(diǎn)，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；若M是與橢圓C2的交點(diǎn)，求面積的最小值答案：1（1）；（2） 2（1）c=2a+3，b=2a；（2）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（-2，2）；3（1），（2），（3）略；4（1），（2）的值域?yàn)椋?（1），（2），第四節(jié) 探索性問(wèn)題的基本題型及解題方法一、考情分析探索性問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)，通過(guò)對(duì)探索性問(wèn)題的考查，能考查出考生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力，高考中一般以填空題或大題的形式出現(xiàn)，難度為中、高檔二、問(wèn)題特點(diǎn)及解題方法 條件為完備或結(jié)論不確定是探索性問(wèn)題的基本特征，數(shù)學(xué)探索性問(wèn)題的解答一般沒(méi)有固定、現(xiàn)成的模式可循，它有較強(qiáng)的思維發(fā)散性，必須自己設(shè)計(jì)解決方案，以考查創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新精神為目標(biāo)的此類題型，常以新穎的形式出現(xiàn)，解題入口寬，而且題設(shè)條件往往比較隱蔽，但只要能明確問(wèn)題特點(diǎn)，根據(jù)特點(diǎn)采取相應(yīng)的策略，仍可以使求解“程序化”，有據(jù)可依，有規(guī)可特， 解決這類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)充分運(yùn)用觀察、比較、類比、分析、綜合、演繹、歸納、抽象、概括等思維方式，對(duì)試題的條件和結(jié)論所提供的外在信息與自身大腦中儲(chǔ)存的內(nèi)在信息進(jìn)行提取，組合、加工和轉(zhuǎn)化，明確解題方法，形成解題策略，選擇解題步驟三、基礎(chǔ)訓(xùn)練 （1）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，計(jì)算，并猜想的表達(dá)式xyABCNO （2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，過(guò)定點(diǎn)C（0，p）作直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)， （）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值；（）是否存在垂直于y軸的直線，使得被以AC為直徑的圓截得弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由 （3）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則成等差數(shù)列，類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則， ， ，成等比數(shù)列 （4）設(shè)，由此能否推出？若不能，需如何改變條件？ （5）設(shè)函數(shù)，給出以下四個(gè)論斷：它的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；它的圖像關(guān)于點(diǎn)（）對(duì)稱；在區(qū)間上是增函數(shù)；它的周期為以其中的兩個(gè)論斷為條件，另兩個(gè)論數(shù)不結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題 （填寫(xiě)序號(hào)）答案：（1），猜想：（2）（），（）滿足條件的直線存在，其方程為（3），（4）不能，需加條件（5）四、典型例題 1、探究型探究型是依據(jù)題目所給予條件或提供的信息，綜合所學(xué)知識(shí)，來(lái)探究問(wèn)題的分析方法和解決方法，常以常規(guī)題形式出現(xiàn)，但往往改變?cè)O(shè)問(wèn)方式，或得出探究和方向，或給出探究的結(jié)論，考查學(xué)生的判斷能力，創(chuàng)新精神和綜合素質(zhì)，解答此類問(wèn)題時(shí)，需要考生提取題目的有效信息，從有效信息引出思維聯(lián)想，從而設(shè)計(jì)解題方法，化歸與轉(zhuǎn)化是解決這類問(wèn)題常用的數(shù)學(xué)思想例1、已知數(shù)列，其中是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，是公差為d的等差數(shù)列，是公差為的等差數(shù)列（）若，求d的值；（）試寫(xiě)出關(guān)于d的關(guān)系式，并求出的取值范圍；（）續(xù)寫(xiě)已知數(shù)列，使是公差為的等差數(shù)列，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無(wú)窮數(shù)列，提出同（）類似的問(wèn)題，（）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？【解析】（），； （）當(dāng)，； （）所給數(shù)列可推廣為無(wú)窮數(shù)列，其中是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列， 研究的結(jié)論可以是：由，依次類推可得：，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是：【題后反思】由題設(shè)條件給出問(wèn)題的組成結(jié)構(gòu)，先通過(guò)特例研究問(wèn)題的結(jié)論，然后給出問(wèn)題的推廣，提出探究的方向，讓解題者順著命題者提出的推廣方向進(jìn)行探究，是探究型題的一種常見(jiàn)題型，解答這類問(wèn)題時(shí)一般不改變命題的結(jié)構(gòu)形式，而提出的探究結(jié)論也應(yīng)該是對(duì)特例的推廣2、開(kāi)放型開(kāi)放型題是指問(wèn)題的結(jié)論、條件、解題策略是不惟一的或需要探索的一種題型，這類題型結(jié)構(gòu)新穎，解題方法靈活、知識(shí)覆蓋面寬，問(wèn)題結(jié)構(gòu)開(kāi)放，打破了固定的思維模式和解題套路，給解題者很大的思考空間和多種分析思路，有利于培養(yǎng)和考查學(xué)生的創(chuàng)新思維能力和探究問(wèn)題的能力，所以此類問(wèn)題是當(dāng)前高考命題的熱點(diǎn)之一例2、設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到定直線的距離為d，已知F（2，0）且（）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（）過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)F，任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB，若點(diǎn)M在x軸上，且使得MF為的一條內(nèi)角平分線，則稱點(diǎn)M為該圓錐曲線的“特征點(diǎn)”，問(wèn)該曲線是否存在特征點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并觀察點(diǎn)M是怎樣的點(diǎn)，同時(shí)將你的結(jié)論推廣，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（不用證明推廣后的結(jié)論）【解析】 （）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y），且點(diǎn)P到直線的距離為d/， 動(dòng)點(diǎn)P到定直線的距離為d，F(xiàn)（2，0）且， 動(dòng)點(diǎn)P到定直線的距離為d/，F(xiàn)（2，0）且，即點(diǎn)P是以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以F（2，0）為焦點(diǎn)的拋物線， 動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是 （）假設(shè)拋物線存在特征點(diǎn)M，并設(shè)其坐標(biāo)為M（m，0）， 弦AB不垂直于x軸，且拋物線的焦點(diǎn)為（2，0）， 設(shè)直線AB的方程為，代入并整理，得：， 設(shè)，則， 被x軸平分，即， ，即， ，即， ， 故拋物線上存在特征點(diǎn)M，其坐標(biāo)為M（-2，0），該點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，猜想：對(duì)于拋物線，其“特征點(diǎn)M”是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)【題后反思】本題從特例出發(fā)，探究一般情況下的結(jié)論，解答這類問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)特例得到的信息，從命題提出的探究方向思考，歸納問(wèn)題的結(jié)論（有時(shí)不止一個(gè)，而有些問(wèn)題的結(jié)論并不成立），再給出數(shù)學(xué)推理證明，本題由于題目的要求沒(méi)有給出推理證明3、定義信息型 定義信息型是近幾年來(lái)高考出現(xiàn)頻率較高的新題型之一，其命題特點(diǎn)是：給出一個(gè)新的定義、新的關(guān)系、新的性質(zhì)、新的定理等創(chuàng)新情境知識(shí)，然后在這個(gè)新情境下，綜合所學(xué)知識(shí)并利用新知識(shí)作為解題工具使問(wèn)題得到解決，求解此類問(wèn)題通常分三個(gè)步驟：（1）對(duì)新知識(shí)進(jìn)行信息提取，確定化歸方向；（2）對(duì)新知識(shí)中所提取的信息進(jìn)行加工，探究解題方法；（3）對(duì)提取的知識(shí)加以轉(zhuǎn)換，進(jìn)行有效組合，進(jìn)而求解例3、根據(jù)定義在集合A上的函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下： 輸入數(shù)據(jù)，計(jì)算出；若，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作，若，則輸出x1,并將x1反饋回輸入端，再計(jì)算出，并依此規(guī)律繼續(xù)下去，現(xiàn)在有， （）求證：對(duì)任意，此數(shù)列發(fā)生器都可以產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮數(shù)列；（）若，記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式【解析】（）證明：當(dāng)，即0xx0，又，即故對(duì)任意有；由有，由有；以此類推，可以一直繼續(xù)下去，從而可以產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮數(shù)列（）由，可得，即，令，則，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等差數(shù)列，于是【題后反思】 本題以算法語(yǔ)言為命題情境，構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，通過(guò)定義工作原理，得到一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，這是命題組成的第一部分，解答時(shí)只需依照命題程序完成即可，第（）問(wèn)其實(shí)是一個(gè)常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，由上可知，創(chuàng)新題型的解答還是需要考生有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)解題功底4、類比歸納型類比是將式子結(jié)構(gòu)、運(yùn)算法則、解題方法、問(wèn)題結(jié)論等式引申或推廣，或遷移，由已知探索未知，由舊知識(shí)探索新知識(shí)的一種研究問(wèn)題的方法；歸納是從個(gè)別特殊事例，若干特殊現(xiàn)象遞推出同一類事物的一般性結(jié)論，總結(jié)出同一種現(xiàn)象的一般規(guī)律的一種思考問(wèn)題的方法，這兩種推理方法可有效地鍛煉考生的創(chuàng)造性思維能力，培養(yǎng)考生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力因?yàn)檫@類創(chuàng)新題的思維含量高、知識(shí)覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)，所以它們?cè)诟呖贾蓄l繁亮相，已成為高考中的又一個(gè)熱點(diǎn)x1x2xyOD=x1,x2y=f(x)x1x2xyOD=x1,x2y=B例4、如下圖所示，定義在D上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)A，都有成立，則稱函數(shù)在D上有下界，其中A稱為函數(shù)的下界（提示：下圖中的常數(shù)A、B可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)或零）（）試判斷函數(shù)在上是否有下界？并說(shuō)明理由；（）具有圖所示特征的函數(shù)稱為在D上有上界，請(qǐng)你類比函數(shù)有下界 的定義，給出函數(shù)在D上有上界的定義，并判斷（）中的函數(shù)在上是否有上界，并說(shuō)明理由【解析】，由，得，x=2,當(dāng)0x2時(shí)，函數(shù)在（2，）上是增函數(shù)；x=