人教版勾股定理(第二課時(shí))精品(簡單、提高).ppt

17 1勾股定理第二課時(shí) 復(fù)習(xí)鞏固 梳理知識(shí) 問題1 請(qǐng)說一說勾股定理的具體內(nèi)容 在Rt ABC中 C 90 AB c AC b BC a a2 b2 c2 已知a b 則c 已知a c 則b 已知c b 則a 問題2 勾股定理應(yīng)用的條件有哪些 有兩種特殊的直角三角形 已知一邊可以求另外兩邊長 a 5cm時(shí)求b c c 6cm時(shí)求b a 一個(gè)門框尺寸如下圖所示 若有一塊長3米 寬0 8米的薄木板 問怎樣從門框通過 若薄木板長3米 寬1 5米呢 若薄木板長3米 寬2 2米呢 為什么 1m 2m 木板的寬2 2米大于1米 橫著不能從門框通過 木板的寬2 2米大于2米 豎著也不能從門框通過 只能試試斜著能否通過 對(duì)角線AC的長最大 因此需要求出AC的長 怎樣求呢 一 勾股定理解決門框是否通過問題 1 一輛裝滿貨物高為1 8米 寬1 5米的卡車要通過一個(gè)直徑為5米的半圓形雙向行駛隧道 它能順利通過嗎 O A 1 5m C D 分析 隧道寬度是足夠的 所以卡車能否通過 只要看卡車位于隧道中線一側(cè)時(shí) 其右側(cè)高度是否小于 因?yàn)? 1 8 高度上有0 2米的余量 所以卡車能通過隧道 CD 連接OD 得到Rt OCD 如何求CD呢 解 在Rt OCD中 由勾股定理得 2 5m 知識(shí)擴(kuò)展練一練 一輛裝滿貨物的卡車 其外形高2 5米 寬1 6米 要開進(jìn)廠門形狀如下圖的某工廠 問這輛卡車能否通過該工廠的廠門 分析 1 廠門的寬度足夠 所以卡車能否通過 只要看卡車位于廠門正中間時(shí) 其高度是否小于 要求CH就必須先求 而要求出CD我們可以建立Rt 2 在Rt OCD中 直角邊OD 斜邊OC CH CD OCD 1米 0 8米 CH 0 6 2 3 2 9 2 5 因此高度上有0 4米的余量 所以卡車能通過廠門 0 8m 1m 知識(shí)擴(kuò)展練一練 有一個(gè)邊長為50dm的正方形洞口 想用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口 圓的直徑至少多長 結(jié)果保留整數(shù) 50dm A B C D 解 在Rt ABC中 B 90 AC BC 50 由勾股定理可知 變式練習(xí) 如圖 池塘邊有兩點(diǎn)A B 點(diǎn)C是與BA方向成直角的AC方向上的一點(diǎn) 測得CB 60m AC 20m 你能求出A B兩點(diǎn)間的距離嗎 結(jié)果保留整數(shù) 探究新知 一個(gè)2 5m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AC上 這時(shí)AC的距離為2 4m 如果梯子頂端A沿墻下滑0 4m 那么梯子底端B也外移0 4m嗎 D E 解 在Rt ABC中 ACB 90 AC2 BC2 AB22 42 BC2 2 52 BC 0 7m 由題意得 DE AB 2 5mDC AC AD 2 4 0 4 2m 在Rt DCE中 BE 1 5 0 7 0 8m 0 4m答 梯子底端B不是外移0 4m DCE 90 DC2 CE2 DE222 BC2 2 52 CE 1 5m 二 勾股定理解決梯子移動(dòng)問題 如圖 一個(gè)3米長的梯子AB 斜著靠在豎直的墻AO上 這時(shí)AO的距離為2 5米 求梯子的底端B距墻角O多少米 如果梯子的頂端A沿墻角下滑0 5米至C 請(qǐng)同學(xué)們 猜一猜 底端也將滑動(dòng)0 5米嗎 算一算 底端滑動(dòng)的距離近似值是多少 結(jié)果保留兩位小數(shù) 變式練習(xí) 在我國古代數(shù)學(xué)著作 九章算術(shù) 中記載了一道有趣的問題這個(gè)問題意思是 有一個(gè)水池 水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形 在水池的中央有一根蘆葦 它高出水面1尺 如果把這根蘆葦拉向岸邊 它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面 問這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少 D A B C 解 設(shè)水池的深度AC為X米 則蘆葦高AD為 X 1 米 根據(jù)題意得 BC2 AC2 AB2 52 X2 X 1 2 25 X2 X2 2X 1 X 12 X 1 12 1 13 米 答 水池的深度為12米 蘆葦高為13米 三 勾股定理解決蘆葦傾斜問題 荷花問題平平湖水清可鑒 面上半尺生紅蓮 出泥不染亭亭立 忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊 漁人觀看忙向前 花離原位二尺遠(yuǎn) 能算諸君請(qǐng)解題 湖水如何知深淺 0 5 x x 0 5 2 答 湖水深3 75尺 探究新知 可用勾股定理建立方程 實(shí)數(shù) 數(shù)軸上的點(diǎn) 一一對(duì)應(yīng) 說出下列數(shù)軸上各字母所表示的實(shí)數(shù) 點(diǎn)C表示 點(diǎn)D表示 點(diǎn)B表示 點(diǎn)A表示 四 利用勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù) 我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù) 有的表示無理數(shù) 你能在數(shù)軸上表示出的點(diǎn)嗎 0 1 2 3 4 步驟 l A B C 1 在數(shù)軸上找到點(diǎn)A 使OA 3 2 作直線L OA 在L上取一點(diǎn)B 使AB 2 3 以原點(diǎn)O為圓心 以O(shè)B為半徑作弧 弧與數(shù)軸交于C點(diǎn) 則點(diǎn)C即為表示的點(diǎn) 你能在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)和的點(diǎn)嗎 點(diǎn)C即為表示的點(diǎn) 你能在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)嗎 探究1 0 1 2 3 4 l A B C 你能在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)和的點(diǎn)嗎 0 1 2 3 4 A B C 你能在數(shù)軸上表示出的點(diǎn)嗎 探究 0 在數(shù)學(xué)中也有這樣一幅美麗的 海螺型 圖案 由此可知 利用勾股定理 可以作出長為 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽 1 數(shù)學(xué)海螺圖 的線段 1 丹東 中考 已知 ABC是邊長為1的等腰直角三角形 以Rt ABC的斜邊AC為直角邊 畫第二個(gè)等腰Rt ACD 再以Rt ACD的斜邊AD為直角邊 畫第三個(gè)等腰Rt ADE 依此類推 第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長是 2 如圖為4 4的正方形網(wǎng)格 以格點(diǎn)與點(diǎn)A為端點(diǎn) 你能畫出幾條邊長為的線段 3 如圖 D 2 1 以O(shè)D為一邊畫等腰三角形 并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在x軸上 這樣的等腰三角形能畫多少個(gè) 寫出落在x軸上的頂點(diǎn)坐標(biāo) x y 在 ABC中 D為BC邊上的高 已知AB 15 BC 30 AC 20 求BD的長 五 利用勾股定理建立方程 方程思想 兩個(gè)直角三角形中 如果有一條公共邊 可利用勾股定理建立方程求解 變式訓(xùn)練 ABC中 AB 10 AC 17 BC邊上的高線AD 8 求線段BC的長和 ABC的面積 8 6 15 6 21 或9 S ABC 84或36 當(dāng)題中沒有給出圖形時(shí) 應(yīng)考慮圖形的形狀是否確定 如果不確定 就需要分類討論 如圖 鐵路上A B兩點(diǎn)相距25km C D為兩村莊 DA AB于A CB AB于B 已知DA 15km CB 10km 現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E 使得C D兩村到E站的距離相等 則E站應(yīng)建在離A站多少km處 x 25 x 解 設(shè)AE xkm 根據(jù)勾股定理 得AD2 AE2 DE2BC2 BE2 CE2 又 DE CE AD2 AE2 BC2 BE2 即 152 x2 102 25 x 2 答 E站應(yīng)建在離A站10km處 X 10 則BE 25 x km 15 10 五 利用勾股定理建立方程 勾股定理中折疊問題 折疊和軸對(duì)稱密不可分 利用折疊前后圖形完全重合 全等 找到對(duì)應(yīng)邊 對(duì)應(yīng)角相等便可順利解決折疊問題 規(guī)律 矩形ABCD如圖折疊 使點(diǎn)D落在BC邊上F處 已知AB 8 BC 10 求EF的長 A B C D F E 解 設(shè)DE為X X 則CE為 8 X 由題意可知 EF DE X X AF AD 10 10 10 8 在Rt ABF中AB2 BF2 AF2 82 BF2 102 BF 6 CF BC BF 10 6 4 6 4 在Rt EFC中CE2 CF2 EF2 8 X 2 42 X2 解得X 5即EF 5 六 折疊問題 8 X 2 試求下列圖形中陰影部分的面積 1 陰影部分是正方形 25cm 2 陰影部分是半圓 8 cm 七 圖形中陰影部分的面積問題 如圖 分別以Rt ABC三邊為直徑向外作三個(gè)半圓 其面積分別用S1 S2 S3表示 猜想S1 S2 S3之間有什么關(guān)系 請(qǐng)加以說明 知識(shí)擴(kuò)展練一練 如圖 分別以直角三角形ABC的三邊為邊向外作正方形 然后分別以三個(gè)正方形的中心為圓心 正方形邊長的一半為半徑作圓 求三個(gè)圓的面積之間的關(guān)系 知識(shí)擴(kuò)展練一練 如圖 已知直角三角形ABC的三邊分別為6 8 10 分別以它的三邊為直徑向上作三個(gè)半圓 求圖中陰影部分的面積 知識(shí)擴(kuò)展練一練 乙 甲 八 勾股定理應(yīng)用中 航海問題 甲輪船以 海里 時(shí)的速度從港口向東南方向航 行 乙船同時(shí)以 0海里 時(shí)速度向東北方向航行 求它們離開港口 小時(shí)后相距多遠(yuǎn) 北 南 西 東 港口 A B 甲 乙 日常生活中常見的垂直關(guān)系有哪些 九 利用勾股定理解決最短路徑問題 知識(shí)回顧 1 兩點(diǎn)之間 最短 2 一個(gè)圓柱體的側(cè)面展開圖是 它的一邊長是 它的另一邊長是 線段 長方形 圓柱的高 底面圓的周長 請(qǐng)觀察討論 交流 動(dòng)手實(shí)踐 展平 只需展開包含相關(guān)點(diǎn)的面 可能存在多種展開法 定點(diǎn) 確定相關(guān)點(diǎn)的位置 連線 連接相關(guān)點(diǎn) 構(gòu)建直角三角形 計(jì)算 利用兩點(diǎn)之間線段最短 及勾股定理求解 我怎么走會(huì)最近呢 例1 如圖所示 圓柱體的底面直徑為6cm 高AC為12cm 一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā) 沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)B 試求出爬行的最短路程 取3 合作探究 C D 議一議 分組討論 合作交流 動(dòng)手實(shí)踐 請(qǐng)觀察討論 交流 動(dòng)手實(shí)踐 兩點(diǎn)之間線段最短 為什么這樣走最短 B C 解 如上圖 在Rt ABC中 BC r 9cm AB 15 cm 勾股定理 答 最短路程約為15cm C 高12cm B A 長18cm 的值取3 AB2 92 122 81 144 225 AB 15 cm 答 螞蟻爬行的最短路程是15cm 152 解 將圓柱如圖側(cè)面展開 在Rt ABC中 根據(jù)勾股定理 C 幾何體的表面路徑的最短的問題 一般將立體圖形展開為平面圖形來計(jì)算 展平 只需展開包含相關(guān)點(diǎn)的面 可能存在多種展開法 定點(diǎn) 確定相關(guān)點(diǎn)的位置 連線 連接相關(guān)點(diǎn) 構(gòu)建直角三角形 計(jì)算 利用兩點(diǎn)之間線段最短 及勾股定理求解 展開思想 求立體圖形中最短路程問題的 四步法 規(guī)律 最短路程問題 例1 如圖 一圓柱高8cm 底面半徑2cm 一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食 要爬行的最短路程 取3 是 A 20cmB 10cmC 14cmD 無法確定 B B 8 O A 2 蛋糕 A C B 周長的一半 試一試 開學(xué)了 小華的媽媽為她準(zhǔn)備了一把長為85cm的雨傘和一個(gè)行李箱 行李箱長為40cm 寬為30cm 高為70cm 問能否把雨傘放進(jìn)這個(gè)行李箱中 鏈接生活 學(xué)以致用 x X2 302 402 50 AB2 602 X2 AB 米 做一做 小明要外出旅游 他所帶的行李箱如圖 長40cm 寬30cm 高60cm 請(qǐng)問 一把70cm長的雨傘能否裝進(jìn)這個(gè)行李箱 解 如圖 由題意可知 ADC和 ABC都是直角三角形 如圖 正四棱柱的底面邊長為5cm 側(cè)棱長為8cm 一只螞蟻欲從正四棱柱的底面上的點(diǎn)A沿棱柱側(cè)面到點(diǎn)C1處吃食物 那么它需要爬行的最短路徑是多少 解 如下圖 將四棱柱的側(cè)面展開 連結(jié)AC1 AC 10cm CC1 8cm 已知 與上題的區(qū)別 如圖是一個(gè)長8m 寬6m 高5m的倉庫 在其內(nèi)壁的A處 長的四等分點(diǎn) 處有一只壁虎 B 寬的三等分 處有一只蚊子 則壁虎抓到蚊子的最短距離的平方為m2 8 6 5 8 6 5 6 4 6 4 如圖是一個(gè)長8m 寬6m 高5m的倉庫 在其內(nèi)壁的A處 長的四等分點(diǎn) 處有一只壁虎 B 寬的三等分 處有一只蚊子 則壁虎抓到蚊子的最短距離的平方為m2 8 6 5 8 5 5 6 6 4 如圖 長方體的長 寬 高分別為8 4 2 現(xiàn)有一小蟲從頂點(diǎn)A出發(fā) 沿長方體側(cè)面到達(dá)頂點(diǎn)C 小蟲走的路程最短為多少厘米 A C C1 B1 C2 B2 8 4 2 12 2 2 B3 C3 試一試 展平 只需展開包含相關(guān)點(diǎn)的面 可能存在多種展開法 定點(diǎn) 確定相關(guān)點(diǎn)的位置 連線 連接相關(guān)點(diǎn) 構(gòu)建直角三角形 計(jì)算 利用兩點(diǎn)之間線段最短 及勾股定理求解 如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階 它的每一級(jí)的長寬和高分別為20dm 3dm 2dm A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn) A點(diǎn)有一只螞蟻 想到B點(diǎn)去吃可口的食物 則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是多少 3 2 3 2 3 AB2 AC2 BC2 625 AB 25 應(yīng)用勾股定理解決樓梯上鋪地毯問題 展平 只需展開包含相關(guān)點(diǎn)的面 可能存在多種展開法 定點(diǎn) 確定相關(guān)點(diǎn)的位置 連線 連接相關(guān)點(diǎn) 構(gòu)建直角三角形 計(jì)算 利用兩點(diǎn)之間線段最短 及勾股定理求解 4 如圖 是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階 它的每一級(jí)的長 寬和高分別等于55cm 10cm和6cm A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn) A點(diǎn)上有一只螞蟻 想到B點(diǎn)去吃可口的食物 請(qǐng)你想一想 這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā) 沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn) 最短線路是多少 A B 十 勾股定理解決樓梯上鋪地毯問題 4 如圖 是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階 它的每一級(jí)的長 寬和高分別等于55cm 10cm和6cm A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn) A點(diǎn)上有一只螞蟻 想到B點(diǎn)去吃可口的食物 請(qǐng)你想一想 這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā) 沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn) 最短線路是多少 A B 試一試 展平 只需展開包含相關(guān)點(diǎn)的面 可能存在多種展開法 定點(diǎn) 確定相關(guān)點(diǎn)的位置 連線 連接相關(guān)點(diǎn) 構(gòu)建直角三角形 計(jì)算 利用兩點(diǎn)之間線段最短 及勾股定理求解 4 如圖 是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階 它的每一級(jí)的長 寬和高分別等于55cm 10cm和6cm A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn) A點(diǎn)上有一只螞蟻 想到B點(diǎn)去吃可口的食物 請(qǐng)你想一想 這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā) 沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn) 最短線路是多少 A B 展平 只需展開包含相關(guān)點(diǎn)的面 可能存在多種展開法 定點(diǎn) 確定相關(guān)點(diǎn)的位置 連線 連接相關(guān)點(diǎn) 構(gòu)建直角三角形 計(jì)算 利用兩點(diǎn)之間線段最短 及勾股定理求解 4 如圖 是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階 它的每一級(jí)的長 寬和高分別等于55cm 10cm和6cm A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn) A點(diǎn)上有一只螞蟻 想到B點(diǎn)去吃可口的食物 請(qǐng)你想一想 這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā) 沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn) 最短線路是多少 A B 55 10 6 解 C 如圖 將臺(tái)階展開 AC 10 6 3 48 BC 55 三角形ABC為直角三角形 AB 答 最短路線是73cm 3 如圖 邊長為1的正方體中 一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)B的最短距離是 A 3 B C 2 D 1 分析 由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的 故需把正方體展開成平面圖形 如圖 B 拔高練習(xí) 2 如圖 牧童在A處放牛 其家在B處 A B到河岸的距離分別為AC BD 且AC 3 BD 5 CD 6 若牧童從A處將牛牽到河邊飲水后再回家 試問在何處飲水 所走路程最短 最短路程是多少 M A 模型2 軸對(duì)稱 方法總結(jié)數(shù)學(xué)來源于生活 又服務(wù)與生活 在解決實(shí)際問題時(shí) 首先要畫出適當(dāng)?shù)氖疽鈭D 將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題 并構(gòu)建直角三角形模型 再運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題 立體圖形中路線最短的問題 往往是把立體圖形展開 得到平面圖形 根據(jù) 兩點(diǎn)之間 線段最短 確定行走路線 再根據(jù)勾股定理計(jì)算出最短距離 應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題的一般思路 知識(shí)擴(kuò)展練一練 利用勾股定理作出長為的線段 1 1 用同樣的方法 你能否在數(shù)軸上畫出表示 提示 利用上一個(gè)直角三角形的斜邊作為下一個(gè)直角三角形的一條直角邊 在直線L上依次擺放著七個(gè)正方形 如圖 已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1 2 3 正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1 S2 S3 S4 求S1 S2 S3 S4 知識(shí)擴(kuò)展練一練 2012中考 請(qǐng)閱讀下列材料 問題 現(xiàn)有5個(gè)邊長為1的正方形 排列形式如圖1 請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形 要求 在圖 中畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形 圖中每個(gè)小正方形的邊長均為1