高等數(shù)學(xué)概率論第六章：隨機(jī)變量的數(shù)字特征.ppt

測平均壽命 6 1數(shù)學(xué)期望 先來看一個(gè)例子 例1一個(gè)年級(jí)有100名學(xué)生 年齡組成為 17歲的2人 18歲的2人 19歲的30人 20歲的56人 21歲的10人 求該年級(jí)學(xué)生的平均年齡 年齡1718192021人數(shù)22305610 則學(xué)生的平均年齡是總年齡 總?cè)藬?shù) 即 上式也可以寫成 現(xiàn)引進(jìn)離散型隨機(jī)變量X表示學(xué)生年齡 則X有分布律 于是上述平均數(shù)可以寫成 即取值乘取值的概率相加即得平均值 這就是離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的概念 1 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義 離散型隨機(jī)變量X 其分布律為 即 例2一批產(chǎn)品中有一 二 三等品及廢品四種 相應(yīng)比例分別為60 20 10 及10 若各等級(jí)產(chǎn)品的產(chǎn)值分別為6元 4 8元 4元及0元 求產(chǎn)品的平均產(chǎn)值 解 產(chǎn)品的平均產(chǎn)值為 例單點(diǎn)分布 退化分布 即常數(shù)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù) 例X 0 1 分布 即r v X的分布律為 P X c 1 即r v X的分布律為 2 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 例設(shè)X在上服從均勻分布 求 解 由于X的概率密度函數(shù)為 3 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 設(shè)隨機(jī)變量Y為隨機(jī)變量函數(shù) Y f X f x 為連續(xù)的實(shí)值函數(shù) i X是離散型隨機(jī)變量 其分布律為 則 事實(shí)上 ii X是連續(xù)型隨機(jī)變量 其概率密度函數(shù)為p x 則 綜上有 若已知X的分布以及函數(shù)g x 可以不必求出Y g x 的分布 直接利用上面的公式求出Y的數(shù)學(xué)期望 解 例六設(shè)X在上服從均勻分布 求 解 由于X的密度函數(shù)為 于是 4 1 3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 現(xiàn)在來證明數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)重要的性質(zhì) 以下設(shè)所遇到的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在 1 設(shè)c是常數(shù) 則有E c c 2 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量 a是常數(shù) 則有E aX aE X 4 設(shè)X Y是兩個(gè)隨機(jī)變量 則有E X Y E X E Y 此性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量之和的情況 3 若a b是常數(shù) 則 E aX b aE X b 6 2方差 方差 VarianceorDispersion 方差是衡量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度的一個(gè)數(shù)字特征 1 定義若E X 存在 則稱E X E X 2為r v X的方差 記為D X 或Var X 2 推論 D X E X2 E X 2 例隨機(jī)變量X服從二點(diǎn)分布 解由于隨機(jī)變量X的分布列為 故 例X U a b 均勻分布 其概率密度函數(shù)為 3 方差的性