連續(xù)時間信號的傅里葉分析上課.ppt

信號與系統(tǒng)Signalsandsystems 第三章連續(xù)時間信號的傅立葉分析Fourieranalysisofcontinuoustimesignals 引言 時域分析的要點是 以沖激函數(shù)為基本信號 任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù) f t f t 能否分解為其他簡單信號的加權和 傅立葉級數(shù) 傅立葉級數(shù) 將周期信號展成三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的形式 為何要這樣展開 復指數(shù)信號通過LTI系統(tǒng) 常數(shù) H s est 3 1LTI連續(xù)時間系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應 復指數(shù)信號通過LTI系統(tǒng) 思考 如果信號 能表示為 由系統(tǒng)的線性 和的響應等于響應的和 信號 通過LTI系統(tǒng)的響應為 3 2連續(xù)時間周期信號的復指數(shù)分解 傅立葉級數(shù) 周期為T的連續(xù)時間周期信號f t 可分解為復指數(shù)信號的線性組合 信號f t 的基波角頻率 傅立葉級數(shù)表示FourierSeriesrepresentation 傅立葉級數(shù)系數(shù)FourierSeriescoefficient 3 2 1 3 2 3 傅氏級數(shù)的物理意義 展開傅立葉級數(shù) 直流分量 一次諧波 二次諧波 k次諧波 f t 3 2 4 3 2 5 傅氏級數(shù)例題 歐拉公式 例3 2 1已知連續(xù)時間信號求其傅立葉級數(shù)表示式及傅氏系數(shù)解 傅氏級數(shù)例題 例3 2 2連續(xù)時間周期脈沖信號f t 如圖 求其傅立葉級數(shù)表示式 解 f t 周期為T基波角頻率 抽樣函數(shù) 傅氏級數(shù)例題 2 取T 8T1 3 2 9 為了能既方便又明白地表示一個信號中包含有哪些頻率分量 各分量所占的比重怎樣 就采用了稱為頻譜圖的表示方法 如果以頻率為橫軸 以幅度或相位為縱軸 繪出ak及 的變化關系 便可直觀地看出各頻率分量的相對大小和相位情況 這樣的圖就稱為信號的幅度頻譜和相位頻譜 周期信號的頻譜 傅氏級數(shù)例題 2 取T 4T1 3 2 9 傅氏級數(shù)例題 取T 4T1 取T 8T1 周期信號的頻譜特點 1 離散性 譜線是離散的而不是連續(xù)的 譜線之間的間隔為 這種頻譜常稱為離散頻譜 2 諧波性 譜線在頻譜軸上的位置是基頻的整數(shù)倍 3 收斂性 各頻譜的高度隨著諧波次數(shù)增高而逐漸減小 當諧波次數(shù)無限增高時 譜線的高度也無限減小 傅氏級數(shù)的收斂 傅氏級數(shù)的收斂條件 狄里赫利條件 Dirichletcondition 1 信號f t 在任意一個周期T內(nèi)絕對可積 2 3 信號f t 在任意一個周期T內(nèi) 只有有限個極大和極小值點 信號f t 在任意一個周期T內(nèi) 只有有限個間斷點 而且在這些間斷點處f t 必須是有限值 3 2 21 周期信號的傅立葉級數(shù) 不滿足狄里赫利條件的周期信號 狄里赫利條件信號f t 在任意一個周期T內(nèi)絕對可積信號f t 在任意一個周期T內(nèi) 只有有限個極大和極小值點信號f t 在任意一個周期T內(nèi) 只有有限個間斷點 而且在這些間斷點處f t 必須是有限值 1 2 3 吉布斯現(xiàn)象 滿足狄里赫利條件的周期信號可以用傅立葉級數(shù)表示 在實際應用中 通常只能取有限項傅氏級數(shù)來近似 N越大 近似誤差越小 項數(shù)趨于無窮時的極限就是理想的傅立葉級數(shù)表示 共2N 1項 3 2 22 3 2 23 吉布斯現(xiàn)象 取N 1 5 21 81 用有限項傅氏級數(shù)逼近連續(xù)時間周期脈沖信號f t 周期信號通過LTI連續(xù)時間系統(tǒng) LTI特性 周期信號通過LTI系統(tǒng)的響應 仍是一個由原諧波分量線性組合而成的周期信號 特征值 周期信號通過LTI連續(xù)時間系統(tǒng) 周期信號通過LTI系統(tǒng)的響應的求解步驟 1 計算傅氏級數(shù)系數(shù) 得到傅氏級數(shù)表達式 2 計算特征值 得到系統(tǒng)響應 周期信號通過LTI系統(tǒng)例題 例3 2 4LTI系統(tǒng)的沖激響應為求如圖周期信號f t 通過該系統(tǒng)的響應y t 解 1 求傅氏級數(shù)系數(shù) f t 的傅氏級數(shù)表示 周期信號通過LTI系統(tǒng)例題 2 求f t 通過LTI系統(tǒng)后各諧波分量的特征值 系統(tǒng)響應 3 3連續(xù)時間非周期信號的復指數(shù)分解 傅立葉變換 周期信號可分解為復指數(shù)信號之和 傅立葉級數(shù) 非周期信號能否分解為復指數(shù)信號之和 周期信號fT t 非周期信號f t 周期T 演示 周期方波信號的非周期演變 周期方波信號fT t 非周期信號f t 周期T 3 3 1 3 3連續(xù)時間非周期信號的復指數(shù)分解 傅立葉變換 假設f t 是周期為T的周期信號 則f t 一定可以寫成 傅立葉反變換 傅立葉變換 傅立葉變換FourierTransform 傅立葉逆變換InverseFourierTransform f t 稱為信號的時域表示 F 稱為信號的頻域表示 信號f t 與其傅氏變換F 一一對應 傅氏變換的物理意義 傅氏逆變換式可寫為 非周期信號可以分解為無窮多個復指數(shù)信號之和 傅氏變換稱為信號的頻譜密度函數(shù) 復指數(shù)信號的幅度為 幅度譜 相位譜 3 3 9 1 F 是一個密度函數(shù)的概念 2 F 是一個連續(xù)譜 3 F 包含了從零到無限高頻所有頻率分量 4 各頻率分量的頻率不成諧波關系 常用信號的傅立葉變換 單邊指數(shù)信號 3 3 11 常用信號的傅立葉變換 雙邊指數(shù)信號 3 3 13 常用信號的傅立葉變換 矩形脈沖信號 門函數(shù) 3 3 14 常用信號的傅立葉變換 單位沖激信號 單位沖激信號的傅立葉變換的幅度恒為1 單位沖激信號等幅地包含所有頻率成份 常用系統(tǒng)的單位沖激響應來描述LTI連續(xù)時間系統(tǒng) 3 3 15 物理意義 在時域中變化異常劇烈的沖激函數(shù)包含幅度相等的所有頻率分量 因此 這種頻譜常稱為 均勻譜 或 白色譜 常用信號的傅立葉變換 信號 傅氏變換的收斂 傅氏變換的存在條件 狄里赫利條件 1 信號f t 絕對可積 2 3 信號f t 在任意有限區(qū)間內(nèi) 只有有限個極大和極小值點 信號f t 在任意有限區(qū)間內(nèi) 只有有限個間斷點 而且在這些間斷點處f t 必須是有限值 3 3 18 吉布斯現(xiàn)象 滿足狄里赫利條件的連續(xù)時間信號存在傅氏變換 可以用傅氏逆變換表示 然而當積分區(qū)間只取有限頻段近似時 和周期信號的情況一樣 在f t 的跳變點附近會出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象 3 3 19 3 4傅立葉變換的性質 傅立葉變換的性質從不同側面反映了一個信號的時域特性和頻域描述間的對應關系掌握這些性質對理解和認識傅氏變換的實質及熟練應用傅氏變換解決信號處理中的具體問題十分重要 線性 若 則 其中 為任意常數(shù) 兩個信號加權求和的傅氏變換等于各個信號傅氏變換的加權求和 線性同樣適用于多個信號加權求和的情況 3 4 1 1 線性 已知信號 根據(jù)線性 其傅氏變換為 已知信號f t 的傅氏變換 根據(jù)線性 該信號為 2 時移特性 信號的時移不改變其傅立葉變換的幅度譜 僅在其相位譜上增加的相移 若則 3 4 2 2 時移特性 已知 根據(jù)時移特性 已知 根據(jù)時移特性 3 頻移特性 若 則 信號在時域乘以一個復指數(shù)信號 其傅氏變換在頻域被頻移 3 4 6 例3 4 1利用傅氏變換的性質 求下列信號的傅氏變換 歐拉公式 1 復指數(shù)信號 2 余弦信號 3 正弦信號 解 1 2 頻移特性 線性 歐拉公式 3 線性 例 調(diào)幅信號的頻譜 載波技術 4 時間和頻率標度 若 則 如果信號在時域上壓縮 或擴展 倍 相應的傅立葉變換就在頻域上擴展 或壓縮 倍 該性質又稱為傅氏變換的尺度變換特性 已知 根據(jù)尺度變換特性 演示 4 時間和頻率標度 時寬為的門函數(shù) 時寬為的門函數(shù) 沿時間軸壓縮兩倍 時域反轉特性 在尺度變換特性中 令則 信號在時域上關于縱坐標反轉 則其傅氏變換在頻域上也反轉 已知 a a 時域反轉頻域反轉 時域壓縮 時域展寬 時域中的壓縮 擴展 等于頻域中的擴展 壓縮 例題 例3 4 2已知 求信號的傅氏變換 解 令 時移特性 令 尺度變換 3 4 18 5 共軛對稱性 若 則 時域共軛頻域共軛并且反轉 f t 為實信號 6 對偶性 若 則 對某些信號 直接由定義式計算傅氏變換可能非常困難 但利用對偶性可使問題變得十分簡單 3 4 29 傅氏變換的性質例題 例3 4 4求信號的傅氏變換 解 對偶性 直接計算積分困難 脈寬的矩形脈沖 矩形脈沖是實偶信號 令 3 4 31 傅氏變換的性質例題 若信號在時域為門函數(shù) 則其頻譜為抽樣函數(shù)若信號的頻譜為門函數(shù) 則其時域為抽樣函數(shù) 傅氏變換的性質例題 例3 4 5求信號的傅氏變換 解 對偶性 按傅氏變換定義式直接計算積分困難 雙邊指數(shù)信號 線性 3 4 32 7 時域卷積特性 若 則 兩個信號在時域上的卷積 對應于兩信號在頻域上頻譜的乘積 利用時域卷積特性可簡化對LTI系統(tǒng)的響應的求解 傅氏變換的性質例題 例3 4 6已知一LTI連續(xù)時間系統(tǒng)沖激響應為 解 直接計算沖激響應與輸入信號的卷積較困難 下面采用傅氏變換的時域卷積特性求解 時域卷積特性 求輸入信號的響應 傅氏變換的性質例題 2 8 時域微分特性 若 則 信號f t 在時域求導 則對應其頻譜在頻域乘以 連續(xù)對f t 求導n次 則 3 4 35 3 4 36 8 時域微分特性 利用時域微分特性 對余弦信號的傅氏變換對利用時域微分特性 線性 整理 3 4 37 傅氏變換的性質例題 1 例3 4 8求下列信號的傅立葉變換 1 符號函數(shù) 2 階躍信號 9 時域積分特性 若 則 3 4 41 10 能量定理 帕斯瓦爾關系 若 則 對信號功率的積分 對能量譜密度的積分 總能量 信號功率 單位時間內(nèi)的能量 能量譜密度 單位頻率內(nèi)的能量 帕斯瓦爾關系Parseval srelation 帕斯瓦關系又稱能量定理 3 4 43 連續(xù)時間信號f t 信號能量信號和功率信號 1 信號的瞬時功率 離散時間信號f n 連續(xù)時間信號f t 2 信號的能量 離散時間信號f n 5能量信號和功率信號 連續(xù)時間信號f t 3 信號的平均功率 離散時間信號f n 能量譜 帕斯瓦爾定理 11 幅度調(diào)制 時域相乘 特性 若 則 兩個信號在時域相乘 對應它們在頻域的卷積 兩個信號在時域相乘 可以看成是用一個信號的幅度去改變 調(diào)制 另一個信號的幅度 所以稱為幅度調(diào)制特性 3 4 45 傅氏變換的性質例題 例3 4 10已知信號f t 的頻譜如圖 求信號的傅立葉變換 頻譜搬移形狀不變幅度減半 傅氏變換的性質例題 例3 4 11求信號的頻譜 解 幅度調(diào)制特性 卷積的微分積分特性 傅氏變換的性質例題 2 12 頻域微分和積分特性 若 則 頻域積分特性為 頻域微分特性為 對求n階導數(shù) 傅氏變換的性質例題 例3 4 12求信號的傅氏變換 解 頻域微分特性 3 4 51 3 4 49 例 一升余弦脈沖 波形如圖所示 表示為 試求f t 的傅里葉變換 求升余弦的FT 3 5周期信號的傅立葉變換 周期信號f t 傅立葉級數(shù)表示 復指數(shù)信號的傅立葉變換 周期信號f t 的傅立葉變換 3 5 1 周期信號的傅立葉變換 周期信號的傅立葉變換由沖激串組成沖激出現(xiàn)在各次諧波頻率處 求周期信號傅氏變換的步驟 1 求傅氏級數(shù)系數(shù) 得到傅氏級數(shù)表示 2 求傅氏變換 第k個沖激的強度與相應的傅立葉級數(shù)系數(shù)成正比 例 沖激串信號 求其傅立葉