人教版高中數(shù)學課件-第一冊：對稱問題.ppt

對稱問題 新泰一中閆輝 一 中心對稱 關(guān)于點的對稱 一 點關(guān)于點的對稱點P1 x1 y1 關(guān)于點M m n 對稱的點P2為 2m x1 2n y1 特別地 P x y 關(guān)于原點 0 0 的對稱點坐標為 x y 練習 1 求點P 2 5 關(guān)于點Q 3 7 的對稱點 2 若點A 0 3 關(guān)于點M的對稱點為B 7 5 求M的坐標 二 直線關(guān)于點的對稱直線l Ax By C 0關(guān)于點M m n 對稱的直線l1的方程為A 2m x B 2n y C 0 例1 求直線m 2x 3y 1 0關(guān)于點P 1 4 對稱的直線n的方程 解 法一 直接代入上面結(jié)論 法二 在直線m上任取兩點A B 則A B關(guān)于點P的對稱點落在直線n上 法三 顯然直線m和直線n是平行直線 因此斜率相等 一般地 曲線f x y 0關(guān)于點M m n 的對稱曲線方程為f 2m x 2n y 0特別地曲線f x y 0關(guān)于原點 0 0 的對稱曲線方程為f x y 0 二 軸對稱 即關(guān)于直線的對稱 例2 求點A 7 1 關(guān)于直線l 2x y 5 0的對稱點B的坐標 解 法一 設(shè)B m n 由點關(guān)于直線對稱的定義知 線段AB l即 1 線段AB被直線l平分 即線段AB的中點 在直線l上 故有2 5 0 一 點關(guān)于直線的對稱 聯(lián)立 解得m 9n 7 B 9 7 法二 直線AB l 直線AB過點 7 1 直線AB的方程為y 1 x 7 即x 2y 5 0 由解得 即AB的中點為 1 3 又A 7 1 由中點坐標公式得B的坐標為 9 7 小結(jié) 求點P x0 y0 關(guān)于直線l Ax By C 0對稱點Q x1 y1 的方法 1 綜合求解 由點關(guān)于直線對稱的定義及直線l垂直平分線段PQ得方程組 由 1 2 可解得x1 y1的值即對稱點Q的坐標 2 分步求解 可先求直線PQ的方程 然后解出直線PQ與直線l的交點即線段PQ的中點M的坐標 最后利用中點坐標公式 求出對稱點Q的坐標 3 利用公式 點P x0 y0 關(guān)于直線Ax By C 0的對稱點Q的坐標為 一般地 點 x0 y0 關(guān)于直線y x的對稱點為 y0 x0 點 x0 y0 關(guān)于直線y x的對稱點為 y0 x0 點 x0 y0 關(guān)于直線y x b的對稱點為 y0 b x0 b 點 x0 y0 關(guān)于直線y x b的對稱點為 b y0 x0 b 點 x0 y0 關(guān)于直線y 0 即x軸 的對稱點為 x0 y0 點 x0 y0 關(guān)于直線x 0 即y軸 的對稱點為 x0 y0 點 x0 y0 關(guān)于直線y m的對稱點為 x0 2m y0 點 x0 y0 關(guān)于直線x n的對稱點為 2n x0 y0 注 當對稱軸的斜率為 1或?qū)ΨQ軸與坐標軸垂直時可用上述方法直接求出對稱點的坐標 二 直線關(guān)于直線的對稱 例3 求直線m x y 2 0關(guān)于直線l 3x y 3 0對稱的直線n的方程 解 設(shè)直線m l n的斜率分別為k1 k K2 由直線關(guān)于直線對稱的定義知 直線m到直線l的角等于直線l到直線n的角 又k1 1 k 3 解得 k2 7 由解得 即直線m l n的交點為 直線n的方程為 法 二 在直線x y 2 0上任取一點如A 2 0 則A關(guān)于直線l的對稱點A1落在直線n上 然后解出直線l和m的交點 由直線方程的兩點式求出直線n的方程 例4 已知 ABC的頂點為A 3 0 B 0 3 C 3 12 求 A的內(nèi)角平分線所在的直線方程 解 法一 設(shè) A平分線所在直線l的斜率為k 直線AC到l的角等于l到直線AB的角 又kAC 2 kAB 1 K 3 其方程為 即 法二 設(shè) A的內(nèi)角平分線交直線BC與點T A的內(nèi)角平分線的斜率K 2 1 點T分有向線段的比為 設(shè)T x y 由定比分點坐標公式得 x T 由直線方程的兩點式求得 A內(nèi)角平分線所在直線的方程 問 1 你會用第三種方法解這道題嗎 2 你會求 A外角平分線所在直線的方程嗎 一般地 求直線關(guān)于直線對稱的直線方程利用求交點和斜率 也可以轉(zhuǎn)化為求點關(guān)于直線的對稱點來解決 特別地 當對稱軸所在的直線與坐標軸垂直或斜率為 1時可用以下結(jié)論直接代入 設(shè)直線方程為f x y 0則 直線f x y 0關(guān)于直線y x對稱的直線方程為f y x 0 直線f x y 0關(guān)于直線y x對稱的直線方程為f y x 0 直線f x y 0關(guān)于直線y x b對稱的直線方程為f y b x b 0 直線f x y 0關(guān)于直線y x b對稱的直線方程為f b y x b 0 直線f x y 0關(guān)于直線y 0 x軸 對稱的直線方程為f x y 0 直線f x y 0關(guān)于直線x 0 y軸 對稱的直線方程為f x y 0 直線f x y 0關(guān)于直線y m對稱的直線方程為f x 2m y 0 直線f x y 0關(guān)于直線x n對稱的直線方程為f 2n x y 0 三 對稱問題的應用 一 涉及定直線l上一點P與兩定點A B的距離和 或差 的最值問題 1 若A B兩點在直線的同側(cè) 1 設(shè)點B關(guān)于直線的對稱點為點C 則直線AC與直線l的交點P使得 PA PB 最小 2 直線AB與直線l的交點P使得 PA PB 最大 2 若A B兩點在直線的異側(cè) 1 直線AB與直線l的交點P使得 PA PB 最小 2 設(shè)點B關(guān)于直線的對稱點為點C 則直線AC與直線l的交點P使得 PA PB 最大 二 涉及角平分線及光線的入射和反射問題一般都轉(zhuǎn)化為對稱問題來解決 例5 已知兩點A 2 15 B 3 5 在直線l 3x 4y 4 0上找一點P 使得 1 PA PB 最小 并求出其最小值 2 PA PB 最大 并求出其最大值 例6 自點A 3 3 發(fā)出的光線l射到x軸上 被x軸反射 其反射光線所在直線與圓x2 y2 4x 4y 7 0相切 求光線l所在直線的方程 練習題 1 點M 1 3 關(guān)于直線x y 1 0的對稱點為 關(guān)于直線y 2x的對稱點為 關(guān)于點 9 0 的對稱點為 2 直線x 2y 1 0關(guān)于直線x y 2 0的對稱直線的方程為 關(guān)于直線y x的對稱直線為 關(guān)于直線x 3 0對稱直線為 3 直線3x 4y 3 0關(guān)于x軸對稱的直線方程為 關(guān)于y軸的對稱直線方程為 關(guān)于原點的對稱直線方程為 4 光線從M 2 3 射到x軸上一點P 1 0 后被x軸反射 則入射光線和反射光線所在的直線方程分別為 若光線射到直線y 2x上呢 5 光線沿著斜率為的直線l1射在斜率為的直線l2上反射 若l1和l2的交點為 1 2 求反射光線所在的直線方程 6 已知 ABC的一個頂點A 4 1 其內(nèi)角B C的平分線方程分別為y x 1和x 1 求邊BC AB所在的直線方程 7 直線y 2x是 ABC中角C的平分線所在的直線方程 A 4 2 B 3 1 求C的坐標 并判斷 ABC的形狀 8 ABC的兩條高線方程為2x 3y 1 0和x y 0 頂點A的坐標為 1 2 求BC邊所在的直線方程 9 已知 ABC的一個頂點A 4 2 中線BD CE所在的直線方程分別為3x 2y 2 0和3x 5y 12 0 求邊BC所在的直線方程 10 已知 ABC的一個頂點A 3 1 AB邊上的中線所在的直線方程為6x 10y 59 0 B的平分線所在直線方程為x 4y 1