中考數(shù)學(xué)綜合題專題復(fù)習(xí)【幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】專題解析

數(shù)學(xué)專題之?dāng)?shù)學(xué)專題之 幾何綜合題 精品解析精品解析 1 中考數(shù)學(xué)綜合題專題復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)綜合題專題復(fù)習(xí) 幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 專題解析專題解析 真題精講真題精講 例 1 如圖 在梯形中 梯形的高ABCDADBC 3AD 5DC 10BC 為 動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 動(dòng)點(diǎn)同4MBBCCN 時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 秒 CCDDt D N CMB A 1 當(dāng)時(shí) 求 的值 MNAB t 2 試探究 為何值時(shí) 為等腰三角形 tMNC 思路分析思路分析 1 1 本題作為密云卷壓軸題 自然有一定難度 題目中出現(xiàn)了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) 很多本題作為密云卷壓軸題 自然有一定難度 題目中出現(xiàn)了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) 很多 同學(xué)看到可能就會(huì)無(wú)從下手 但是解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 首先就是要找誰(shuí)在動(dòng) 誰(shuí)沒(méi)在動(dòng) 通過(guò)同學(xué)看到可能就會(huì)無(wú)從下手 但是解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 首先就是要找誰(shuí)在動(dòng) 誰(shuí)沒(méi)在動(dòng) 通過(guò) 分析動(dòng)態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關(guān)系求解 對(duì)于大多數(shù)題目來(lái)說(shuō) 都有一個(gè)由動(dòng)轉(zhuǎn)靜的瞬分析動(dòng)態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關(guān)系求解 對(duì)于大多數(shù)題目來(lái)說(shuō) 都有一個(gè)由動(dòng)轉(zhuǎn)靜的瞬 間 就本題而言 間 就本題而言 M M N N 是在動(dòng) 意味著是在動(dòng) 意味著 BM MCBM MC 以及以及 DN NCDN NC 都是變化的 但是我們發(fā)現(xiàn) 和都是變化的 但是我們發(fā)現(xiàn) 和 這些動(dòng)態(tài)的條件密切相關(guān)的條件這些動(dòng)態(tài)的條件密切相關(guān)的條件 DC BCDC BC 長(zhǎng)度都是給定的 而且動(dòng)態(tài)條件之間也是有關(guān)系的 長(zhǎng)度都是給定的 而且動(dòng)態(tài)條件之間也是有關(guān)系的 所以當(dāng)題中設(shè)定所以當(dāng)題中設(shè)定 MN ABMN AB 時(shí) 就變成了一個(gè)靜止問(wèn)題 由此 從這些條件出發(fā) 列出方程 時(shí) 就變成了一個(gè)靜止問(wèn)題 由此 從這些條件出發(fā) 列出方程 自然得出結(jié)果 自然得出結(jié)果 解析解析 解 1 由題意知 當(dāng) 運(yùn)動(dòng)到 秒時(shí) 如圖 過(guò)作交于點(diǎn) MNtDDEAB BCE 則四邊形是平行四邊形 ABED A BMC N E D ABDE ABMN 根據(jù)第一講我們說(shuō)梯形內(nèi)輔助線的常用做法 成功將 根據(jù)第一講我們說(shuō)梯形內(nèi)輔助線的常用做法 成功將 MNMN 放在三角形放在三角形DEMN 內(nèi) 將動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平行時(shí)候的靜態(tài)問(wèn)題 內(nèi) 將動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平行時(shí)候的靜態(tài)問(wèn)題 這個(gè)比例關(guān)系就是將靜態(tài)與動(dòng)態(tài)聯(lián)系起來(lái)的關(guān)鍵 這個(gè)比例關(guān)系就是將靜態(tài)與動(dòng)態(tài)聯(lián)系起來(lái)的關(guān)鍵 MCNC ECCD 解得 102 1035 tt 50 17 t 思路分析思路分析 2 2 第二問(wèn)失分也是最嚴(yán)重的 很多同學(xué)看到等腰三角形 理所當(dāng)然以為是第二問(wèn)失分也是最嚴(yán)重的 很多同學(xué)看到等腰三角形 理所當(dāng)然以為是 MN NCMN NC 即可 于是就漏掉了即可 于是就漏掉了 MN MC MC CNMN MC MC CN 這兩種情況 在中考中如果在動(dòng)態(tài)問(wèn)題當(dāng)中碰見(jiàn)這兩種情況 在中考中如果在動(dòng)態(tài)問(wèn)題當(dāng)中碰見(jiàn) 等腰三角形 一定不要忘記分類討論的思想 兩腰一底一個(gè)都不能少 具體分類以后 就等腰三角形 一定不要忘記分類討論的思想 兩腰一底一個(gè)都不能少 具體分類以后 就 成為了較為簡(jiǎn)單的解三角形問(wèn)題 于是可以輕松求解成為了較為簡(jiǎn)單的解三角形問(wèn)題 于是可以輕松求解 解析解析 2 分三種情況討論 數(shù)學(xué)專題之?dāng)?shù)學(xué)專題之 幾何綜合題 精品解析精品解析 2 當(dāng)時(shí) 如圖 作交于 則有即 利用等腰三角形 利用等腰三角形MNNC NFBC BCF2MCFC 底邊高也是底邊中線的性質(zhì) 底邊高也是底邊中線的性質(zhì) 4 sin 5 DF C CD 3 cos 5 C 3 1022 5 t t 解得 25 8 t A BMC N F D 當(dāng)時(shí) 如圖 過(guò)作于 H MNMC MMHCD 則 2CNCH 3 2 102 5 tt 60 17 t A BMC N H D 當(dāng)時(shí) MCCN 則 102tt 10 3 t 綜上所述 當(dāng) 或時(shí) 為等腰三角形 25 8 t 60 17 10 3 MNC 例例 2 2 在 ABC 中 ACB 45 點(diǎn) D 與點(diǎn) B C 不重合 為射線 BC 上一動(dòng)點(diǎn) 連接 AD 以 AD 為一邊且在 AD 的右側(cè)作正方形 ADEF 1 如果 AB AC 如圖 且點(diǎn) D 在線段 BC 上運(yùn)動(dòng) 試判斷線段 CF 與 BD 之間的位置關(guān) 系 并證明你的結(jié)論 2 如果 AB AC 如圖 且點(diǎn) D 在線段 BC 上運(yùn)動(dòng) 1 中結(jié)論是否成立 為什么 3 若正方形 ADEF 的邊 DE 所在直線與線段 CF 所在直線相交于點(diǎn) P 設(shè) AC 4 2 CD 求線段 CP 的長(zhǎng) 用含的式子表示 3 BCxx 數(shù)學(xué)專題之?dāng)?shù)學(xué)專題之 幾何綜合題 精品解析精品解析 3 思路分析思路分析 1 1 本題和上題有所不同 上一題會(huì)給出一個(gè)條件使得動(dòng)點(diǎn)靜止 而本題并未本題和上題有所不同 上一題會(huì)給出一個(gè)條件使得動(dòng)點(diǎn)靜止 而本題并未 給出那個(gè)給出那個(gè) 靜止點(diǎn)靜止點(diǎn) 所以需要我們?nèi)シ治鲇?所以需要我們?nèi)シ治鲇?D D 運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的變化圖形當(dāng)中 什么條件是不動(dòng)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的變化圖形當(dāng)中 什么條件是不動(dòng) 的 由題我們發(fā)現(xiàn) 正方形中四條邊的垂直關(guān)系是不動(dòng)的 于是利用角度的互余關(guān)系進(jìn)行的 由題我們發(fā)現(xiàn) 正方形中四條邊的垂直關(guān)系是不動(dòng)的 于是利用角度的互余關(guān)系進(jìn)行 傳遞 就可以得解 傳遞 就可以得解 解析解析 1 結(jié)論 CF 與 BD 位置關(guān)系是垂直 證明如下 AB AC ACB 45 ABC 45 由正方形 ADEF 得 AD AF DAF BAC 90 DAB FAC DAB FAC ACF ABD BCF ACB ACF 90 即 CF BD 思路分析思路分析 2 2 這一問(wèn)是典型的從特殊到一般的問(wèn)法 那么思路很簡(jiǎn)單 就是從一般中構(gòu)這一問(wèn)是典型的從特殊到一般的問(wèn)法 那么思路很簡(jiǎn)單 就是從一般中構(gòu) 筑一個(gè)特殊的條件就行 于是我們和上題一樣找筑一個(gè)特殊的條件就行 于是我們和上題一樣找 ACAC 的垂線 就可以變成第一問(wèn)的條件 然的垂線 就可以變成第一問(wèn)的條件 然 后一樣求解 后一樣求解 2 CF BD 1 中結(jié)論成立 理由是 過(guò)點(diǎn) A 作 AG AC 交 BC 于點(diǎn) G AC AG 可證 GAD CAF ACF AGD 45 BCF ACB ACF 90 即 CF BD 思路分析思路分析 3 3 這一問(wèn)有點(diǎn)棘手 這一問(wèn)有點(diǎn)棘手 D D 在在 BCBC 之間運(yùn)動(dòng)和它在之間運(yùn)動(dòng)和它在 BCBC 延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置是不一延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置是不一 樣的 所以已給的線段長(zhǎng)度就需要分情況去考慮到底是樣的 所以已給的線段長(zhǎng)度就需要分情況去考慮到底是 4 X4 X 還是還是 4 X4 X 分類討論之后利用 分類討論之后利用 相似三角形的比例關(guān)系即可求出相似三角形的比例關(guān)系即可求出 CP CP 3 過(guò)點(diǎn) A 作 AQ BC 交 CB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q 點(diǎn) D 在線段 BC 上運(yùn)動(dòng)時(shí) BCA 45 可求出 AQ CQ 4 DQ 4 x 易證 AQD DCP CPCD DQAQ 44 CPx x 2 4 x CPx 點(diǎn) D 在線段 BC 延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí) BCA 45 可求出 AQ CQ 4 DQ 4 x 過(guò) A 作交 CB 延長(zhǎng)線于點(diǎn) G 則 CF BD ACAG ACFAGD AQD DCP CPCD DQAQ 44 CPx x 2 4 x CPx 例例 3 3 已知如圖 在梯形ABCD中 24ADBCADBC 點(diǎn)M是AD的中點(diǎn) G A B C D E F 數(shù)學(xué)專題之?dāng)?shù)學(xué)專題之 幾何綜合題 精品解析精品解析 4 MBC 是等邊三角形 1 求證 梯形ABCD是等腰梯形 2 動(dòng)點(diǎn)P Q分別在線段BC和MC上運(yùn)動(dòng) 且60MPQ 保持不變 設(shè) PCxMQy 求y與x的函數(shù)關(guān)系式 3 在 2 中 當(dāng)y取最小值時(shí) 判斷PQC 的形狀 并說(shuō)明理由 AD C B P M Q 60 思路分析 1 本題有一點(diǎn)綜合題的意味 但是對(duì)二次函數(shù)要求不算太高 重點(diǎn)還是在考本題有一點(diǎn)綜合題的意味 但是對(duì)二次函數(shù)要求不算太高 重點(diǎn)還是在考 察幾何方面 第一問(wèn)純靜態(tài)問(wèn)題 自不必說(shuō) 只要證兩邊的三角形全等就可以了 第二問(wèn)察幾何方面 第一問(wèn)純靜態(tài)問(wèn)題 自不必說(shuō) 只要證兩邊的三角形全等就可以了 第二問(wèn) 和例和例 1 1 一樣是雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 所以就需要研究在一樣是雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 所以就需要研究在 P QP Q 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中什么東西是不變的 題目給運(yùn)動(dòng)過(guò)程中什么東西是不變的 題目給 定定 MPQ 60 MPQ 60 這個(gè)度數(shù)的意義在哪里 其實(shí)就是將靜態(tài)的那個(gè)等邊三角形與動(dòng)態(tài)條件聯(lián) 這個(gè)度數(shù)的意義在哪里 其實(shí)就是將靜態(tài)的那個(gè)等邊三角形與動(dòng)態(tài)條件聯(lián) 系了起來(lái)系了起來(lái) 因?yàn)樽罱K求兩條線段的關(guān)系因?yàn)樽罱K求兩條線段的關(guān)系 所以我們很自然想到要通過(guò)相似三角形找比例關(guān)系所以我們很自然想到要通過(guò)相似三角形找比例關(guān)系 怎么證相似三角形呢怎么證相似三角形呢 當(dāng)然是利用角度咯當(dāng)然是利用角度咯 于是就有了思路于是就有了思路 解析解析 1 證明 MBC 是等邊三角形 60MBMCMBCMCB M是AD中點(diǎn) AMMD ADBC 60AMBMBC 60DMCMCB AMBDMC ABDC 梯形ABCD是等腰梯形 2 解 在等邊MBC 中 4MBMCBC 60MBCMCB 60MPQ 120BMPBPMBPMQPC 這個(gè)角度傳遞非常重要這個(gè)角度傳遞非常重要 大家要仔細(xì)揣大家要仔細(xì)揣 摩摩 BMPQPC BMPCQP PCCQ BMBP 數(shù)學(xué)專題之?dāng)?shù)學(xué)專題之 幾何綜合題 精品解析精品解析 5 PCxMQy 44BPxQCy 4 44 xy x 2 1 4 4 yxx 設(shè)元以后得出比例關(guān)系設(shè)元以后得出比例關(guān)系 輕松化成二次函數(shù)的樣子輕松化成二次函數(shù)的樣子 思路分析思路分析 2 2 第三問(wèn)的條件又回歸了當(dāng)動(dòng)點(diǎn)靜止時(shí)的問(wèn)題 由第二問(wèn)所得的二次函數(shù) 第三問(wèn)的條件又回歸了當(dāng)動(dòng)點(diǎn)靜止時(shí)的問(wèn)題 由第二問(wèn)所得的二次函數(shù) 很輕易就可以求出當(dāng)很輕易就可以求出當(dāng) X X 取對(duì)稱軸的值時(shí)取對(duì)稱軸的值時(shí) Y Y 有最小值 接下來(lái)就變成了有最小值 接下來(lái)就變成了 給定給定 PC 2PC 2 求 求 PQCPQC 形狀形狀 的問(wèn)題了 由已知的的問(wèn)題了 由已知的 BC 4BC 4 自然看出 自然看出 P P 是中點(diǎn) 于是問(wèn)題輕松求解 是中點(diǎn) 于是問(wèn)題輕松求解 3 解 PQC 為直角三角形 21 23 4 yx 當(dāng)y取最小值時(shí) 2xPC P是BC的中點(diǎn) MPBC 而60MPQ 30CPQ 90PQC 以上三類題目都是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 這一類問(wèn)題的關(guān)鍵就在于當(dāng)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中出現(xiàn)特殊條件 例如以上三類題目都是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 這一類問(wèn)題的關(guān)鍵就在于當(dāng)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中出現(xiàn)特殊條件 例如 某邊相等 某角固定時(shí) 將動(dòng)態(tài)問(wèn)題化為靜態(tài)問(wèn)題去求解 如果沒(méi)有特殊條件 那么就需某邊相等 某角固定時(shí) 將動(dòng)態(tài)問(wèn)題化為靜態(tài)問(wèn)題去求解 如果沒(méi)有特殊條件 那么就需 要研究在動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中哪些條件是保持不變的 當(dāng)動(dòng)的不是點(diǎn) 而是一些具體的圖形時(shí) 思要研究在動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中哪些條件是保持不變的 當(dāng)動(dòng)的不是點(diǎn) 而是一些具體的圖形時(shí) 思 路是不是一樣呢路是不是一樣呢 接下來(lái)我們看另外兩道題接下來(lái)我們看另外兩道題 例例 4 4 已知正方形中 為對(duì)角線上一點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)作交于 ABCDEBDEEFBD BCF 連接 為中點(diǎn) 連接 DFGDFEG CG 1 直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系 EGCG 2 將圖 1 中繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 如圖 2 所示 取中點(diǎn) 連接 BEF B45 DFGEG CG 你在 1 中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化 寫出你的猜想并加以證明 3 將圖 1 中繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度 如圖 3 所示 再連接相應(yīng)的線段 問(wèn) 1 中BEF B 的結(jié)論是否仍然成立 不要求證明 數(shù)學(xué)專題之?dāng)?shù)學(xué)專題之 幾何綜合題 精品解析精品解析 6 圖 3 圖 2 圖 1 F E A BC D A BC D E F G G F E D CB A 思路分析思路分析 1 1 這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉(zhuǎn)題 從旋轉(zhuǎn)這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉(zhuǎn)題 從旋轉(zhuǎn) 45 45 到旋轉(zhuǎn)任意到旋轉(zhuǎn)任意 角度 要求考生討論其中的不動(dòng)關(guān)系 第一問(wèn)自不必說(shuō) 兩個(gè)共斜邊的直角三角形的斜邊角度 要求考生討論其中的不動(dòng)關(guān)系 第一問(wèn)自不必說(shuō) 兩個(gè)共斜邊的直角三角形的斜邊 中線自然相等 第二問(wèn)將中線自然相等 第二問(wèn)將 BEF BEF 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 45 45 之后 很多考生就想不到思路了 事實(shí)上 本題之后 很多考生就想不到思路了 事實(shí)上 本題 的核心條件就是的核心條件就是 G G 是中點(diǎn) 中點(diǎn)往往意味著一大票的全等關(guān)系 如何構(gòu)建一對(duì)我們想要的是中點(diǎn) 中點(diǎn)往往意味著一大票的全等關(guān)系 如何構(gòu)建一對(duì)我們想要的 全等三角形就成為了分析的關(guān)鍵所在 連接全等三角形就成為了分析的關(guān)鍵所在 連接 AGAG 之后 拋開(kāi)其他條件 單看之后 拋開(kāi)其他條件 單看 G G 點(diǎn)所在的四邊點(diǎn)所在的四邊 形形 ADFEADFE 我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)梯形 于是根據(jù)我們?cè)诘谝恢v專題中所討論的方法 自然想 我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)梯形 于是根據(jù)我們?cè)诘谝恢v專題中所討論的方法 自然想 到過(guò)到過(guò) G G 點(diǎn)做點(diǎn)做 AD EFAD EF 的垂線 于是兩個(gè)全等的三角形出現(xiàn)了 的垂線 于是兩個(gè)全等的三角形出現(xiàn)了 1 CGEG 2 1 中結(jié)論沒(méi)有發(fā)生變化 即 CGEG 證明 連接 過(guò)點(diǎn)作于 與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) AGGMNAD MEFN 在與中 DAG DCG ADCDADGCDG DGDG DAGDCG AGCG 在與中 DMG FNG DGMFGN FGDGMDGNFG DMGFNG MGNG 在矩形中 AENMAMEN 在與中 Rt AMG Rt ENG AMEN MGNG AMGENG AGEG EGCG 數(shù)學(xué)專題之?dāng)?shù)學(xué)專題之 幾何綜合題 精品解析精品解析 7 M N 圖 2 A BC D E F G 思路分析思路分析 2 2 第三問(wèn)純粹送分 不要求證明的話幾乎所有人都會(huì)答出仍然成立 但第三問(wèn)純粹送分 不要求證明的話幾乎所有人都會(huì)答出仍然成立 但 是我們不應(yīng)該止步于此 將這道題放在動(dòng)態(tài)問(wèn)題專題中也是出于此原因 如果是我們不應(yīng)該止步于此 將這道題放在動(dòng)態(tài)問(wèn)題專題中也是出于此原因 如果 BEF BEF 任意任意 旋轉(zhuǎn) 哪些量在變化 哪些量不變呢 如果題目要求證明 應(yīng)該如何思考 建議有余力的旋轉(zhuǎn) 哪些量在變化 哪些量不變呢 如果題目要求證明 應(yīng)該如何思考 建議有余力的 同學(xué)自己研究一下 筆者在這里提供一個(gè)思路供參考 在同學(xué)自己研究一下 筆者在這里提供一個(gè)思路供參考 在 BEF BEF 的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中 始終不變的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中 始終不變 的依然是的依然是 G G 點(diǎn)是點(diǎn)是 FDFD 的中點(diǎn) 可以延長(zhǎng)一倍的中點(diǎn) 可以延長(zhǎng)一倍 EGEG 到到 H H 從而構(gòu)造一個(gè)和 從而構(gòu)造一個(gè)和 EFGEFG 全等的三角形 全等的三角形 利用利用 BE EFBE EF 這一條件將全等過(guò)渡 要想辦法證明三角形這一條件將全等過(guò)渡 要想辦法證明三角形 ECHECH 是一個(gè)等腰直角三角形 就需是一個(gè)等腰直角三角形 就需 要證明三角形要證明三角形 EBCEBC 和三角形和三角形 CGHCGH 全等 利用角度變換關(guān)系就可以得證了 全等 利用角度變換關(guān)系就可以得證了 3 1 中的結(jié)論仍然成立 G 圖 3 F E A BC D 例例 5 5 已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 6cm 點(diǎn) E 是射線 BC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 連接 AE 交射 線 DC 于點(diǎn) F 將 ABE 沿直線 AE 翻折 點(diǎn) B 落在點(diǎn) B 處 1 當(dāng) 1 時(shí) CF cm CE BE 2 當(dāng) 2 時(shí) 求 sin DAB 的值 CE BE 3 當(dāng) x 時(shí) 點(diǎn) C 與點(diǎn) E 不重合 請(qǐng)寫出 ABE 翻折后與正方形 ABCD 公共 CE BE 部分的面積 y 與 x 的關(guān)系式 只要寫出結(jié)論 不要解題過(guò)程 思路分析思路分析 動(dòng)態(tài)問(wèn)題未必只有點(diǎn)的平移 圖形的旋轉(zhuǎn) 翻折 就是軸對(duì)稱 也是一大熱動(dòng)態(tài)問(wèn)題未必只有點(diǎn)的平移 圖形的旋轉(zhuǎn) 翻折 就是軸對(duì)稱 也是一大熱 C A D B 數(shù)學(xué)專題之?dāng)?shù)學(xué)專題之 幾何綜合題 精品解析精品解析 8 點(diǎn) 這一題是朝陽(yáng)卷的壓軸題 第一問(wèn)給出比例為點(diǎn) 這一題是朝陽(yáng)卷的壓軸題 第一問(wèn)給出比例為 1 1 第二問(wèn)比例為 第二問(wèn)比例為 2 2 第三問(wèn)比例任意 第三問(wèn)比例任意 所以也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進(jìn)式題目 同學(xué)們需要仔細(xì)把握翻折過(guò)程中哪些所以也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進(jìn)式題目 同學(xué)們需要仔細(xì)把握翻折過(guò)程中哪些 條件發(fā)生了變化 哪些條件沒(méi)有發(fā)生變化 一般說(shuō)來(lái) 翻折中 角 邊都是不變的 所以條件發(fā)生了變化 哪些條件沒(méi)有發(fā)生變化 一般說(shuō)來(lái) 翻折中 角 邊都是不變的 所以 軸對(duì)稱圖形也意味著大量全等或者相似關(guān)系 所以要利用這些來(lái)獲得線段之間的比例關(guān)系 軸對(duì)稱圖形也意味著大量全等或者相似關(guān)系 所以要利用這些來(lái)獲得線段之間的比例關(guān)系 尤其注意的是 本題中給定的比例都是有兩重情況的 尤其注意的是 本題中給定的比例都是有兩重情況的 E E 在在 BCBC 上和上和 E E 在延長(zhǎng)線上都是可能在延長(zhǎng)線上都是可能 的 所以需要大家分類討論 不要遺漏 的 所以需要大家分類討論 不要遺漏 解析解析 1 CF 6 cm 延長(zhǎng)之后一眼看出 延長(zhǎng)之后一眼看出 EAZYEAZY 2 如圖 1 當(dāng)點(diǎn) E 在 BC 上時(shí) 延長(zhǎng) AB 交 DC 于點(diǎn) M AB CF ABE FCE FC AB CE BE 2 CF 3 CE BE AB CF BAE F 又 BAE B AE B AE F MA MF 設(shè) MA MF k 則 MC k 3 DM 9 k 在 Rt ADM 中 由勾股定理得 k2 9 k 2 62 解得 k MA DM 設(shè)元求解是這類題型中比較重要的方 設(shè)元求解是這類題型中比較重要的方 13 2 5 2 法 法 sin DAB 13 5 AM DM 如圖 2 當(dāng)點(diǎn) E 在 BC 延長(zhǎng)線上時(shí) 延長(zhǎng) AD 交 B E 于點(diǎn) N 同 可得 NA NE 設(shè) NA NE m 則 B N 12 m 在 Rt AB N 中 由勾股定理 得 m2 12 m 2 62 解得 m AN B N 15 2 9 2 sin DAB 5 3 AN NB 3 當(dāng)點(diǎn) E 在 BC 上時(shí) y 18x x1 所求 所求 A A B B E E 的面積即為的面積即為 ABE ABE 的面積 再由相似表示出邊長(zhǎng) 的面積 再由相似表示出邊長(zhǎng) 當(dāng)點(diǎn) E 在 BC 延長(zhǎng)線上時(shí) y 18x18 x 圖 2 圖 1 數(shù)學(xué)專題之?dāng)?shù)學(xué)專題之 幾何綜合題 精品解析精品解析 9 總結(jié)總結(jié) 通過(guò)以上五道例題 我們研究了動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題當(dāng)中點(diǎn)動(dòng) 線動(dòng) 乃至整體圖形通過(guò)以上五道例題 我們研究了動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題當(dāng)中點(diǎn)動(dòng) 線動(dòng) 乃至整體圖形 動(dòng)這么幾種可能的方式 動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題往往作為壓軸題來(lái)出動(dòng)這么幾種可能的方式 動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題往往作為壓軸題來(lái)出 所以難度不言而喻所以難度不言而喻 但是希望但是希望 考生拿到題以后不要慌張考生拿到題以后不要慌張 因?yàn)闊o(wú)論是題目以哪種形態(tài)出現(xiàn) 始終把握的都是在變化過(guò)程中因?yàn)闊o(wú)論是題目以哪種形態(tài)出現(xiàn) 始終把握的都是在變化過(guò)程中 那些不變的量 只要條分縷析那些不變的量 只要條分縷析 一個(gè)個(gè)將條件抽出來(lái)一個(gè)個(gè)將條件抽出來(lái) 將大問(wèn)題化成若干個(gè)小問(wèn)題去解決將大問(wèn)題化成若干個(gè)小問(wèn)題去解決 就就 很輕松了很輕松了 為更好的幫助考生為更好的幫助考生 筆者總結(jié)這種問(wèn)題的一般思路如下 筆者總結(jié)這種問(wèn)題的一般思路如下 第一 仔細(xì)讀題 分析給定條件中那些量是運(yùn)動(dòng)的 哪些量是不動(dòng)的 針對(duì)運(yùn)動(dòng)的量 第一 仔細(xì)讀題 分析給定條件中那些量是運(yùn)動(dòng)的 哪些量是不動(dòng)的 針對(duì)運(yùn)動(dòng)的量 要分析它是如何運(yùn)動(dòng)的 運(yùn)動(dòng)過(guò)程是否需要分段考慮 分類討論 針對(duì)不動(dòng)的量 要分析要分析它是如何運(yùn)動(dòng)的 運(yùn)動(dòng)過(guò)程是否需要分段考慮 分類討論 針對(duì)不動(dòng)的量 要分析 它們和動(dòng)量之間可能有什么關(guān)系 如何建立這種關(guān)系 它們和動(dòng)量之間可能有什么關(guān)系 如何建立這種關(guān)系 第二 畫出圖形 進(jìn)行分析 尤其在于找準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中靜止的那一瞬間題目間各個(gè)變量第二 畫出圖形 進(jìn)行分析 尤其在于找準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中靜止的那一瞬間題目間各個(gè)變量 的關(guān)系 如果沒(méi)有靜止?fàn)顟B(tài) 通過(guò)比例 相等等關(guān)系建立變量間的函數(shù)關(guān)系來(lái)研究 的關(guān)系 如果沒(méi)有靜止?fàn)顟B(tài) 通過(guò)比例 相等等關(guān)系建立變量間的函數(shù)關(guān)系來(lái)研究 第三 做題過(guò)程中時(shí)刻注意分類討論 不同的情況下題目是否有不同的表現(xiàn) 很多同學(xué)第三 做題過(guò)程中時(shí)刻注意分類討論 不同的情況下題目是否有不同的表現(xiàn) 很多同學(xué) 丟分就丟在沒(méi)有討論 只是想當(dāng)然看出了題目所給的那一種圖示方式 沒(méi)有想到另外的方丟分就丟在沒(méi)有討論 只是想當(dāng)然看出了題目所給的那一種圖示方式 沒(méi)有想到另外的方 式 如本講例式 如本講例 5 5 當(dāng)中的比例關(guān)系意味著兩種不一樣的狀況 是否能想到就成了關(guān)鍵 當(dāng)中的比例關(guān)系意味著兩種不一樣的狀況 是否能想到就成了關(guān)鍵 發(fā)散思考發(fā)散思考 思考思考 1 1 已知 如圖 1 射線射線 是它們的公垂線 點(diǎn) 分別 AMBNABDC 在 上運(yùn)動(dòng) 點(diǎn)與點(diǎn)不重合 點(diǎn)與點(diǎn)不重合 是邊上的動(dòng)點(diǎn)AMBNDACBEAB 點(diǎn)與 不重合 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持 且 EABECDE aABDEAD 1 求證 ADE BEC 2 如圖 2 當(dāng)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)時(shí) 求證 EABCDBCAD 3 設(shè) 請(qǐng)?zhí)骄?的周長(zhǎng)是否與值有關(guān) 若有關(guān) 請(qǐng)用含有的mAE BEC mm 代數(shù)式表示的周長(zhǎng) 若無(wú)關(guān) 請(qǐng)說(shuō)明理由 BEC 第 25 題 1 第 25 題 2 思路分析思路分析 本題動(dòng)點(diǎn)較多 并且是以和的形式給出長(zhǎng)度 思考較為不易 但是圖中有多本題動(dòng)點(diǎn)較多 并且是以和的形式給出長(zhǎng)度 思考較為不易 但是圖中有多 個(gè)直角三角形 所以很自然想到利用直角三角形的線段 角關(guān)系去分析 第三問(wèn)計(jì)算周長(zhǎng) 個(gè)直角三角形 所以很自然想到利用直角三角形的線段 角關(guān)系去分析 第三問(wèn)計(jì)算周長(zhǎng) 要將周長(zhǎng)的三條線段分別轉(zhuǎn)化在一類關(guān)系當(dāng)中 看是否為定值 如果是關(guān)于要將周長(zhǎng)的三條線段分別轉(zhuǎn)化在一類關(guān)系當(dāng)中 看是否為定值 如果是關(guān)于 M M 的函數(shù) 那的函數(shù) 那 么就是有關(guān) 如果是一個(gè)定值 那么就無(wú)關(guān) 于是就可以得出結(jié)論了 么就是有關(guān) 如果是一個(gè)定值 那么就無(wú)關(guān) 于是就可以得出結(jié)論了 思考思考 2 2 ABC是等邊三角形 P為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) BP BA 若 PBC 180 0 數(shù)學(xué)專題之?dāng)?shù)學(xué)專題之 幾何綜合題 精品解析精品解析 10 且 PBC平分線上的一點(diǎn)D滿足DB DA 1 當(dāng)BP與BA重合時(shí) 如圖 1 BPD 2 當(dāng)BP在 ABC的內(nèi)部時(shí) 如圖 2 求 BPD的度數(shù) 3 當(dāng)BP在 ABC的外部時(shí) 請(qǐng)你直接寫出 BPD的度數(shù) 并畫出相應(yīng)的圖形 思路分析思路分析 本題中 和動(dòng)點(diǎn)本題中 和動(dòng)點(diǎn) P P 相關(guān)的動(dòng)量有相關(guān)的動(dòng)量有 PBC PBC 以及 以及 D D 點(diǎn)的位置 但是不動(dòng)的量就是點(diǎn)的位置 但是不動(dòng)的量就是 BDBD 是平分線并且是平分線并且 DB DADB DA 從這幾條出發(fā) 可以利用角度相等來(lái)找出相似 全等三角形 事 從這幾條出發(fā) 可以利用角度相等來(lái)找出相似 全等三角形 事 實(shí)上 實(shí)上 P P 點(diǎn)的軌跡就是以點(diǎn)的軌跡就是以 B B 為圓心 為圓心 BABA 為半徑的一個(gè)圓 那為半徑的一個(gè)圓 那 D D 點(diǎn)是什么呢 留給大家思考點(diǎn)是什么呢 留給大家思考 一下一下 思考思考 3 3 如圖 已知 四邊形 ABCD 中 AD BC DC BC 已知 AB 5 BC 6 cosB 3 5 點(diǎn) O 為 BC 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 連結(jié) OD 以 O 為圓心 BO 為半徑的 O 分別交邊 AB 于點(diǎn) P 交線段 OD 于點(diǎn) M 交射線 BC 于點(diǎn) N 連結(jié) MN 1 當(dāng) BO AD 時(shí) 求 BP 的長(zhǎng) 2 點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中 是否存在 BP MN 的情況 若存在 請(qǐng)求出當(dāng) BO 為多長(zhǎng)時(shí) BP MN 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 3 在點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中 以點(diǎn) C 為圓心 CN 為半徑作 C 請(qǐng)直接寫出當(dāng) C 存在時(shí) O 與 C 的位置關(guān)系 以及相應(yīng)的 C 半徑 CN 的取值范圍 思路分析思路分析 這道題和其他題目不同點(diǎn)在于本題牽扯到了有關(guān)圓的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 在和圓有關(guān)這道題和其他題目不同點(diǎn)在于本題牽扯到了有關(guān)圓的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 在和圓有關(guān) 的問(wèn)題當(dāng)中 時(shí)刻不要忘記的就是圓的半徑始終相等這一個(gè)隱藏的靜態(tài)條件 本題第一問(wèn)的問(wèn)題當(dāng)中 時(shí)刻不要忘記的就是圓的半徑始終相等這一個(gè)隱藏的靜態(tài)條件 本題第一問(wèn) 比較簡(jiǎn)單 等腰梯形中的計(jì)算問(wèn)題 第二問(wèn)則需要用設(shè)元的方法表示出比較簡(jiǎn)單 等腰梯形中的計(jì)算問(wèn)題 第二問(wèn)則需要用設(shè)元的方法表示出 MNMN 和和 BPBP 從而討 從而討 論他們的數(shù)量關(guān)系 第三問(wèn)的猜想一定要記得分類分情況討論 論他們的數(shù)量關(guān)系 第三問(wèn)的猜想一定要記得分類分情況討論 思考思考 4 4 在ABCDA中 過(guò)點(diǎn) C 作 CE CD 交 AD 于點(diǎn) E 將線段 EC 繞點(diǎn) E 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) A BC D O P M N A B C D 備用圖 數(shù)學(xué)專題之?dāng)?shù)學(xué)專題之 幾何綜合題 精品解析精品解析 11 90 得到線段 EF 如圖 1 1 在圖 1 中畫圖探究 當(dāng) P 為射線 CD 上任意一點(diǎn) P1不與 C 重合 時(shí) 連結(jié) EP1繞點(diǎn) E 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 得到線段 EC1 判斷直線 FC1與直線 CD 的位置關(guān)系 并加以證明 當(dāng) P2為線段 DC 的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí) 連結(jié) EP2 將線段 EP2繞點(diǎn) E 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 得到線段 EC2 判斷直線 C1C2與直線 CD 的位置關(guān)系 畫出圖形并直接寫出你的結(jié) 論 2 若 AD 6 tanB 4 3 AE 1 在 的條件下 設(shè) CP1 x S 11 PFCA y 求y與x之間的 函數(shù)關(guān)系式 并寫出自變量x的取值范圍 思路分析思路分析 本題是去年中考原題 雖不是壓軸 但動(dòng)點(diǎn)動(dòng)線一起考出來(lái) 難倒了不少同本題是去年中考原題 雖不是壓軸 但動(dòng)點(diǎn)動(dòng)線一起考出來(lái) 難倒了不少同 學(xué) 事實(shí)上就在于如何把握這個(gè)旋轉(zhuǎn)學(xué) 事實(shí)上就在于如何把握這個(gè)旋轉(zhuǎn) 90 90 的條件 旋轉(zhuǎn)的條件 旋轉(zhuǎn) 90 90 自然就是垂直關(guān)系 于是又出自然就是垂直關(guān)系 于是又出 現(xiàn)了一堆直角三角形 于是證角 證線就手到擒來(lái)了 第二問(wèn)一樣是利用平行關(guān)系建立函現(xiàn)了一堆直角三角形 于是證角 證線就手到擒來(lái)了 第二問(wèn)一樣是利用平行關(guān)系建立函 數(shù)式 但是實(shí)際過(guò)程中很多同學(xué)依然忘記分類討論的思想 漏掉了很多種情況 失分非常數(shù)式 但是實(shí)際過(guò)程中很多同學(xué)依然忘記分類討論的思想 漏掉了很多種情況 失分非常 可惜 建議大家仔細(xì)研究這道中考原題 按照上面總結(jié)的一般思路去拆分條件 步步為營(yíng)可惜 建議大家仔細(xì)研究這道中考原題 按照上面總結(jié)的一般思路去拆分條件 步步為營(yíng) 的去解答 的去解答 思考題解析思考題解析 思考思考 1 1 解析解析 1 證明 ECDE 90DEC 90BECAED 又 90BA 90EDAAED EDABEC ADE BEC 2 證明 如圖 過(guò)點(diǎn)作 交于點(diǎn) EEFBC CDF 是的中點(diǎn) 容易證明 EAB 2 1 BCADEF 第 25 題 數(shù)學(xué)專題之?dāng)?shù)學(xué)專題之 幾何綜合題 精品解析精品解析 12 在中 DECRt CFDF CDEF 2 1 2 1 BCAD CD 2 1 CDBCAD 3 解 的周長(zhǎng) AED DEADAE ma maBE 設(shè) 則 xAD xaDE 即 90A 222 ADAEDE 2222 2xmxaxa a ma x 2 22 由 1 知 ADE BEC 的周長(zhǎng) 的周長(zhǎng) BEC ADE BE AD ma a ma 2 22 a ma 2 的周長(zhǎng)的周長(zhǎng) BEC ma a2 ADE a2 的周長(zhǎng)與值無(wú)關(guān) BEC m 思考思考 2 2 答案答案 解 1 BPD 30 2 如圖 8 連結(jié)CD 解一 點(diǎn)D在 PBC的平分線上 1 2 ABC是等邊三角形 BA BC AC ACB 60 BP BA BP BC BD BD PBD CBD BPD 3 3 分 DB DA BC AC CD CD BCD ACD 1 3430 2 ACB 圖 8 4 32 1D A B C P 數(shù)學(xué)專題之?dāng)?shù)學(xué)專題之 幾何綜合題 精品解析精品解析 13 BPD 30 解二 ABC是等邊三角形 BA BC AC DB DA CD垂直平分AB 1 3430 2 ACB BP BA BP BC 點(diǎn)D在 PBC的平分線上 PBD與 CBD關(guān)于BD所在直線對(duì)稱 BPD 3 BPD 30 3 BPD 30 或 150 圖形見(jiàn)圖 9 圖 10 思考思考 3 3 解析解析 解 1 過(guò)點(diǎn) A 作 AE BC 在 Rt ABE 中 由 AB 5 cosB 得 BE 3 3 5