同濟(jì)大學(xué)---高數(shù)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

高等數(shù)學(xué) 上 期末復(fù)習(xí)要點(diǎn) 第 1 頁 共 9 頁 高等數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)高等數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)習(xí)要點(diǎn)要點(diǎn) 函數(shù)與極限函數(shù)與極限 函數(shù)函數(shù) 1 函數(shù)定函數(shù)定義義及性及性質(zhì)質(zhì) 有界性 有界性 單調(diào)單調(diào)性 奇偶性 周期性 性 奇偶性 周期性 2 反函數(shù) 復(fù)合函數(shù) 函數(shù)的運(yùn)算 反函數(shù) 復(fù)合函數(shù) 函數(shù)的運(yùn)算 3 初等函數(shù) 初等函數(shù) 冪冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 反三角函數(shù) 數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 反三角函數(shù) 4 函數(shù)的函數(shù)的連續(xù)連續(xù)性與性與間間斷點(diǎn) 斷點(diǎn) 函數(shù)函數(shù)在在連續(xù)連續(xù) xf 0 x lim 0 0 xfxf xx 第一第一類類 左右極限均存在 左右極限均存在 間間斷點(diǎn)斷點(diǎn) 可去可去間間斷點(diǎn) 跳斷點(diǎn) 跳躍間躍間斷點(diǎn)斷點(diǎn) 第二第二類類 左右極限 至少有一個(gè)不存在 左右極限 至少有一個(gè)不存在 無無窮間窮間斷點(diǎn) 振斷點(diǎn) 振蕩間蕩間斷點(diǎn)斷點(diǎn) 5 閉閉區(qū)區(qū)間間上上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的性函數(shù)的性質(zhì)質(zhì) 有界性與最大 有界性與最大值值最小最小值值定理 零點(diǎn)定理 介定理 零點(diǎn)定理 介值值定理定理 及其推及其推論論 極限極限 1 定定義義 1 數(shù)列極限數(shù)列極限 axNnNax nn n 0lim 2 函數(shù)極限函數(shù)極限 AxfxxxAxf xx 0 0 0 lim 0 0 使 使使 使使 使 左極限 左極限 右極限 右極限 lim 0 0 xfxf xx lim 0 0 xfxf xx 高等數(shù)學(xué) 上 期末復(fù)習(xí)要點(diǎn) 第 2 頁 共 9 頁 lim 00 0 xfxfAxf xx 使 使使 使 2 極限存在準(zhǔn)極限存在準(zhǔn)則則 1 夾夾逼準(zhǔn)逼準(zhǔn)則則 1 0 nnzxy nnn 2 azy n n n n limlimaxn n lim 2 單調(diào)單調(diào)有界準(zhǔn)有界準(zhǔn)則則 單調(diào)單調(diào)有界數(shù)列必有極限有界數(shù)列必有極限 3 無無窮窮小 大 量小 大 量 1 定定義義 若 若則則稱稱為為無無窮窮小量 若小量 若則則稱稱為為無無窮窮大量大量 0lim lim 2 無無窮窮小的小的階階 高 高階階無無窮窮小 同小 同階階無無窮窮小 等價(jià)無小 等價(jià)無窮窮小 小 階階無無窮窮小小k Th1 o Th2 無 無窮窮小代小代換換 limlim lim 使 使使 使使 使使 使 4 求極限的方法求極限的方法 1 單調(diào)單調(diào)有界準(zhǔn)有界準(zhǔn)則則 2 夾夾逼準(zhǔn)逼準(zhǔn)則則 3 極限運(yùn)算準(zhǔn)極限運(yùn)算準(zhǔn)則則及函數(shù)及函數(shù)連續(xù)連續(xù)性 性 4 兩個(gè)重要極限 兩個(gè)重要極限 a b 1 sin lim 0 x x x e x x x x x x 1 1 lim 1 lim 1 0 5 無無窮窮小代小代換換 0 x a xxxxxarctan arcsin tan sin b 2 2 1 cos1xx 高等數(shù)學(xué) 上 期末復(fù)習(xí)要點(diǎn) 第 3 頁 共 9 頁 c xe x 1 axa x ln 1 d xx 1ln a x x a ln 1 log e xx 1 1 導(dǎo)導(dǎo)數(shù)與微分?jǐn)?shù)與微分 導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 1 定定義義 0 0 0 lim 0 xx xfxf xf xx 左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù) 數(shù) 0 0 0 lim 0 xx xfxf xf xx 右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù) 數(shù) 0 0 0 lim 0 xx xfxf xf xx 函數(shù)函數(shù)在在點(diǎn)可點(diǎn)可導(dǎo)導(dǎo) xf 0 x 00 xfxf 2 幾何意幾何意義義 為為曲曲線線在點(diǎn)在點(diǎn)處處的切的切線線的斜率的斜率 0 x f xfy 00 xfx 3 可可導(dǎo)導(dǎo)與與連續(xù)連續(xù)的關(guān)系 的關(guān)系 4 求求導(dǎo)導(dǎo)的方法的方法 1 導(dǎo)導(dǎo)數(shù)定數(shù)定義義 2 基本公式 基本公式 3 四四則則運(yùn)算 運(yùn)算 4 復(fù)合函數(shù)求復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)導(dǎo) 鏈鏈?zhǔn)椒ㄊ椒▌t則 5 隱隱函數(shù)求函數(shù)求導(dǎo)導(dǎo)數(shù) 數(shù) 6 參數(shù)方程求參數(shù)方程求導(dǎo)導(dǎo) 7 對(duì)對(duì)數(shù)求數(shù)求導(dǎo)導(dǎo)法法 5 高高階導(dǎo)階導(dǎo)數(shù)數(shù) 高等數(shù)學(xué) 上 期末復(fù)習(xí)要點(diǎn) 第 4 頁 共 9 頁 1 定定義義 dx dy dx d dx yd 2 2 2 Leibniz 公式 公式 n k knkk n n vuCuv 0 微分微分 1 定定義義 其中 其中與與無關(guān)無關(guān) 00 xoxAxfxxfy Ax 2 可微與可可微與可導(dǎo)導(dǎo)的關(guān)系 可微的關(guān)系 可微可可導(dǎo)導(dǎo) 且 且 dxxfxxfdy 00 微分中微分中值值定理與定理與導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的數(shù)的應(yīng)應(yīng)用用 中中值值定理定理 1 Rolle 羅爾羅爾定理 若函數(shù)定理 若函數(shù)滿滿足 足 xf 1 2 3 baCxf baDxf bfaf 則則 0 fba使 使 2 Lagrange 拉格朗日中拉格朗日中值值定理定理 若函數(shù) 若函數(shù)滿滿足 足 xf 1 2 baCxf baDxf 則則 abfafbfba 使 使 3 Cauchy 柯西柯西中中值值定理 若函數(shù)定理 若函數(shù)滿滿足 足 xFxf 1 2 3 baCxFxf baDxFxf 0 baxxF 則則 F f aFbF afbf ba 使 使 洛必達(dá)法洛必達(dá)法則則 Taylor 公式公式 高等數(shù)學(xué) 上 期末復(fù)習(xí)要點(diǎn) 第 5 頁 共 9 頁 單調(diào)單調(diào)性及極性及極值值 1 單調(diào)單調(diào)性判性判別別法 法 則則若若 則則 baCxf baDxf 0 x f 單調(diào)單調(diào)增加 增加 則則若若 則則單調(diào)單調(diào)減少減少 xf0 x f xf 2 極極值值及其判定定理 及其判定定理 a 必要條件 必要條件 在在可可導(dǎo)導(dǎo) 若 若為為的極的極值值點(diǎn) 點(diǎn) 則則 xf 0 x 0 x xf0 0 x f b 第一充分條件 第一充分條件 在在的的鄰鄰域內(nèi)可域內(nèi)可導(dǎo)導(dǎo) 且 且 則則 若當(dāng)若當(dāng) xf 0 x0 0 x f 時(shí)時(shí) 當(dāng) 當(dāng)時(shí)時(shí) 則則為為極大極大值值點(diǎn) 點(diǎn) 若當(dāng)若當(dāng) 0 xx 0 x f 0 xx 0 x f 0 x 時(shí)時(shí) 當(dāng) 當(dāng)時(shí)時(shí) 則則為為極小極小值值點(diǎn) 點(diǎn) 若在若在 0 xx 0 x f 0 xx 0 x f 0 x 的兩的兩側(cè)側(cè)不不變變號(hào) 號(hào) 則則不是極不是極值值點(diǎn)點(diǎn) 0 x x f 0 x c 第二充分條件 第二充分條件 在在處處二二階階可可導(dǎo)導(dǎo) 且 且 則則 xf 0 x0 0 x f0 0 x f 若若 則則為為極大極大值值點(diǎn) 點(diǎn) 若若 則則為為極小極小值值點(diǎn)點(diǎn) 0 0 x f 0 x0 0 x f 0 x 3 凹凸性及其判斷 拐點(diǎn)凹凸性及其判斷 拐點(diǎn) 1 在區(qū)在區(qū)間間 I 上上連續(xù)連續(xù) 若 若 則則稱稱在在 xf 2 2 2121 21 xfxfxx fIxx xf 區(qū)區(qū)間間 I 上的上的圖圖形是凹的 若形是凹的 若 則則稱稱在在 2 2 2121 21 xfxfxx fIxx xf 區(qū)區(qū)間間 I 上的上的圖圖形是凸的形是凸的 2 判定定理 判定定理 在在上上連續(xù)連續(xù) 在 在上有一上有一階階 二 二階導(dǎo)階導(dǎo)數(shù) 數(shù) 則則 xf ba ba a 若若 則則在在上的上的圖圖形是凹的 形是凹的 0 xfbax xf ba b 若若 則則在在上的上的圖圖形是凸的形是凸的 0 xfbax xf ba 3 拐點(diǎn) 拐點(diǎn) 設(shè)設(shè)在區(qū)在區(qū)間間 I 上上連續(xù)連續(xù) 是是的內(nèi)點(diǎn) 如果曲的內(nèi)點(diǎn) 如果曲線線經(jīng)過經(jīng)過 xfy 0 x xf xfy 點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí) 曲 曲線線的凹凸性改的凹凸性改變變了 了 則則稱點(diǎn)稱點(diǎn)為為曲曲線線的拐點(diǎn)的拐點(diǎn) 00 xfx 00 xfx 不等式不等式證證明明 高等數(shù)學(xué) 上 期末復(fù)習(xí)要點(diǎn) 第 6 頁 共 9 頁 1 利用微分中利用微分中值值定理 定理 2 利用函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)單調(diào)性 性 3 利用極利用極值值 最 最值值 方程根的方程根的討論討論 1 連續(xù)連續(xù)函數(shù)的介函數(shù)的介值值定理 定理 2 Rolle 定理 定理 3 函數(shù)的函數(shù)的單調(diào)單調(diào)性 性 4 極極值值 最 最值值 5 凹凸性凹凸性 漸漸近近線線 1 鉛鉛直直漸漸近近線線 則則為為一條一條鉛鉛直直漸漸近近線線 limxf ax ax 2 水平水平漸漸近近線線 則則為為一條水平一條水平漸漸近近線線 bxf x lim by 不定不定積積分分 概念和性概念和性質(zhì)質(zhì) 1 原函數(shù) 在區(qū)原函數(shù) 在區(qū)間間 I 上 若函數(shù)上 若函數(shù)可可導(dǎo)導(dǎo) 且 且 則則稱稱為為 xF xfxF xF 的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù) xf 2 不定不定積積分 在區(qū)分 在區(qū)間間 I 上 函數(shù)上 函數(shù)的的帶帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱有任意常數(shù)的原函數(shù)稱為為在區(qū)在區(qū) xf xf 間間 I 上的不定上的不定積積分分 3 基本基本積積分表 分表 P188 13 個(gè)公式 個(gè)公式 4 性性質(zhì)質(zhì) 線線性性 性性 高等數(shù)學(xué) 上 期末復(fù)習(xí)要點(diǎn) 第 7 頁 共 9 頁 換換元元積積分法分法 1 第一第一類換類換元法 湊微分 元法 湊微分 d xuduufxxxf 2 第二第二類換類換元法 元法 變變量代量代換換 三角代 三角代換換 倒代 倒代換換 根式代 根式代換換等 等 1 d xt tttfdxxf 分部分部積積分法 分法 反 反對(duì)冪對(duì)冪指三 前指三 前 U 后后 V vduuvudv 有理函數(shù)有理函數(shù)積積分分 1 拆拆 2 變變量代量代換換 三角代 三角代換換 倒代 倒代換換 根式代 根式代換換等 等 定定積積分分 概念與性概念與性質(zhì)質(zhì) 1 定定義義 n i ii b a xfdxxf 1 0 lim 2 性性質(zhì)質(zhì) 7 條 條 性性質(zhì)質(zhì) 7 積積分中分中值值定理 定理 函數(shù)函數(shù)在區(qū)在區(qū)間間上上連續(xù)連續(xù) 則則 使 使 xf ba ba 平均 平均值值 abfdxxf b a ab dxxf f b a 微微積積分基本公式 分基本公式 N L 公式 公式 1 變變上限上限積積分 分 設(shè)設(shè) 則則 x a dttfx xfx 高等數(shù)學(xué) 上 期末復(fù)習(xí)要點(diǎn) 第 8 頁 共 9 頁 推廣 推廣 xxfxxfdttf dx d x x 2 N L 公式 若公式 若為為的一個(gè)原函數(shù) 的一個(gè)原函數(shù) 則則 xF xf aFbFdxxf b a 換換元法和分部元法和分部積積分分 1 換換元法 元法 tttfdxxf b a d 2 分部分部積積分法 分法 b a b a b a vduuvudv 反常反常積積分分 1 無無窮積窮積分 分 t ata dxxfdxxf lim b tt b dxxfdxxf lim