高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合習(xí)題

1 1 若對(duì)任意x R 不等式 xax 恒成立 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 C A 1a B 1a C 1a D 1a 2 若圓 22 44100 xyxy 上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線(xiàn)l 0axby 的距離為 2 2 則直線(xiàn)l的傾斜角的取值范圍是 5 12 12 3 在下列四個(gè)函數(shù)中 滿(mǎn)足性質(zhì) 對(duì)于區(qū)間 1 2 上的任意 1212 x x xx 1221 f xf xxx 恒成立 的只有 A A 1 f x x B f xx C 2xf x D 2 f xx 4 若直線(xiàn)kxy 與曲線(xiàn) 2 1yx 恰有一個(gè)公共點(diǎn) 則k的取值范圍是 2 k或 1 1 4 kxy 表示一組斜率為 1 的平行直線(xiàn) 2 1yx 表示 y 軸的右半圓 如圖可知 簡(jiǎn)要評(píng)述 數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用 此題 可以進(jìn)一步拓展 2 1yx 2 1xy 等 5 若關(guān)于 x 的方程有四個(gè)不相等的實(shí)根 則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為 2 45xxm 15m 題型解析題型解析 例例 1 方程 sin2x sinx 在區(qū)間 0 2 解的個(gè)數(shù)為 y A 1 B 2 C 3 D 4 g o f x 分析 解方程 f x g x 的問(wèn)題歸結(jié)為兩個(gè)函數(shù) y f x 與 y g x 的交點(diǎn)橫坐標(biāo) 特別是求方程近似解時(shí)此方法非常有效 2 解 如圖 在同一坐標(biāo)系內(nèi) 作出 y sin2x x 0 2 g sinx x 0 2 的圖有三個(gè) 交點(diǎn) 故方程 sin2x sinx 在 0 2 內(nèi)有三個(gè)解 一般情況下將方程化為一端為曲線(xiàn) 一端為動(dòng)直線(xiàn)時(shí) 解題較為簡(jiǎn)單 考查邏輯思維能 力與計(jì)算能力 還體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化和分類(lèi)討論的思想 練習(xí)練習(xí) 設(shè) f x 是定義在 R 上以 2 為周期的函數(shù) 對(duì)于 K Z 用 k Z表示區(qū)間 2k 1 2k 1 已知 x 0 Z時(shí) 有 f x 2 x 1 求 f x 在 k Z上的解析式 2 對(duì)于自然數(shù) K 求集合 K M a 使方程 f x ax 在 k Z上有兩個(gè)不相等的實(shí)根 解 1 如右圖 從圖形可以看出 f x 2 2 xk y 2 如下圖 由 f x ax x k Z 得 2 2 xk ax o x 即 2 x 4k a x 4 2 k 0 考察函數(shù) f x 2 x 4k a x 4 2 k x 2k 1 2k 1 的圖 象位置 依題意該函數(shù)圖象在 2k 1 2k 1 內(nèi)必與 x 軸有兩個(gè)不同交點(diǎn) 則有 0 y f 2k 1 0 f 2k 1 0 2k 2k 1 4k a 2 2k 1 o 2k 1 2k 1 x 從中解得 0 a 1 2k 1 k N 故 K M a 0 a 1 2k 1 k N 例例 2 已知三點(diǎn) 12 15 2 43 0 AmB mC mmm 問(wèn) m 為何值時(shí) dABBC 最小 并求最小值 分析 根據(jù)三個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)的特點(diǎn)可知 它們?cè)谧鴺?biāo)系中是從左到右依次排列的 當(dāng)且 僅當(dāng)它們共線(xiàn)時(shí) dABBC 最小 解 依題意知 當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)dABBC 最小 此時(shí) ABBC kk 523 1 1 AB mm k mm 435 42 21 BC m km mm 3 42 m m m 3 解得 3 4 m 舍去 或1m 1m 此時(shí)三個(gè)點(diǎn)分別為 13 2 5 3 7 ABC 22 73 3 1 2 5dABBCAC 練習(xí) 練習(xí) 已知點(diǎn) 35 M 在 y 軸和直線(xiàn)yx 上分別找一點(diǎn) P 和 N 使得MNP 的周長(zhǎng)最 小 分析 作點(diǎn) 35 M 關(guān)于 y 軸和直線(xiàn)yx 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) 12 MM 則 1 MPM P 2 MNM N 所以MNP 的周長(zhǎng)等于 12 M PPNM N 當(dāng)且僅當(dāng) 12 MMP 三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取最小值 所以點(diǎn)PN 應(yīng)為直線(xiàn) 12 M M和 y 軸與直線(xiàn)yx 的 交點(diǎn) 解 作點(diǎn) 35 M 關(guān)于 y 軸和直線(xiàn)yx 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) 12 MM 則點(diǎn) 12 MM 的坐標(biāo)分別為 35 5 3 由兩點(diǎn)式得 53 3553 yx 整理得4170 xy 即為直線(xiàn) 12 M M的方程 易得它和 y 軸和直線(xiàn)yx 的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為 1717 17 0 455 即使得MNP 周長(zhǎng)最小的點(diǎn) P 和 N 的坐標(biāo)分別為 1717 17 0 455 評(píng)注 本題利用對(duì)稱(chēng)思想為線(xiàn)段找到了 替身 從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最 短的問(wèn)題 例例 3 已知點(diǎn) P ab 在直線(xiàn)10mxy 上 且 22 21aba 的最小值為2 求 m 的值 解 2222 21 1 abaab 它是點(diǎn) P ab 和點(diǎn) 10 之間的距離 它的最小值就是點(diǎn) 10 到直線(xiàn) 4 10mxy 的距離 由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得 2 1 2 1 m m 平方得 22 2122mmm 整理得 2 1 0m 1m 評(píng)注 本題通過(guò)挖掘代數(shù)式的幾何意義 將點(diǎn)點(diǎn)距轉(zhuǎn)化成了點(diǎn)線(xiàn)距 這種以距離為背 景的題型時(shí)有出現(xiàn) 請(qǐng)同學(xué)們注意訓(xùn)練和總結(jié) 練習(xí)練習(xí) 求點(diǎn) 14 P 到直線(xiàn) 1 2 50lmxm ym 的距離d的最大值 分析 對(duì)直線(xiàn)方程 1 2 50mxm ym 整理后 我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它表示過(guò)定點(diǎn) 12 Q 的一條直線(xiàn) 因?yàn)辄c(diǎn)線(xiàn)之間垂線(xiàn)段最短 所以dPQ 當(dāng)且僅當(dāng)PQl 時(shí)取等 號(hào) 即此時(shí)d取得最大值PQ 解 1 2 50mxm ym 可化為25 1 0 xym xy 它表示過(guò)直線(xiàn)250 xy 和10 xy 交點(diǎn)的直線(xiàn) 解方程組 250 10 xy xy 得兩直線(xiàn)交點(diǎn)為 12 Q 即直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn) 12 Q 當(dāng)PQl 時(shí)d取最大值PQ 22 1 1 42 2 2PQ d的最大值為2 2 例例 4 已知 a2 a b 求證 分析與解 讀完題目與任何一個(gè)圖形似乎很難聯(lián)系起來(lái) 我們?cè)趯?duì)已知條件的分析 中 去尋覓解題的靈感 5 a2 a b 即為 b a a2 要證 b 那么 a 與 k 如何取得聯(lián)系呢 令 這樣一來(lái) 一個(gè)二次函數(shù)的圖形出現(xiàn)了 它對(duì)解題有幫助 嗎 二次函數(shù) g a 的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為上單調(diào)遞增 又 b g a 反思 在分析已知條件時(shí)找到了一個(gè)能夠幫助我們解決問(wèn)題的圖形 而正是這個(gè)圖形 的啟示 以后的思路暢通無(wú)阻了 數(shù)形結(jié)合 發(fā)生在解題過(guò)程中的任何時(shí)刻 我們絕不是刻意地去追求或精心地去構(gòu)造直觀 的幾何圖形 而這個(gè)在解題時(shí)十分有用的直觀圖往往總是在對(duì)問(wèn)題透徹了解之后突然出現(xiàn) 的 這就是解題中的靈感 例例 5 已知實(shí)數(shù) a b 滿(mǎn)足 a b 1 求證 a 3 2 b 4 2 2 思考與分析 本題看似一不等式證明題 但是我們通過(guò)分析 不等式左端是距離的平 方的形式 由已知條件 我們可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線(xiàn)上的位置關(guān)系 進(jìn)而由點(diǎn)到直線(xiàn) 的距離公式求解 證明 不等式左端可視為點(diǎn) P a b 到點(diǎn) Q 3 4 的距離的平方 而點(diǎn) P a b 可看作直線(xiàn) l x y 1 上的任意 一點(diǎn) 于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn) P 在直線(xiàn) l 上什么位置時(shí)線(xiàn)段 PQ 最短 當(dāng)然是 PQ l 時(shí)點(diǎn) Q 到 l 的距離最短 所以如下圖 反思 本題我們主要是利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的幾何意義解題 6 練習(xí)練習(xí) 已知 a b c 為正實(shí)數(shù) 求證 2 a b c 22 ab 22 bc 22 ca 2 a b c 分析 由欲證不等式中的 22 ab 聯(lián)想到勾股定理 D a b c C 把 22 ab 看作邊長(zhǎng)分別為 a b 的矩形的對(duì)角線(xiàn) 因此 我們 c 可以構(gòu)造如圖所示的圖形 以 a b c 為邊構(gòu)成正方形 ABCD b 則 AC 2 a b c AE 22 ab EF 22 bc FC 22 ca A B 而 AC AE EF FC AD CD 所以有 2 a b c 22 ab 22 bc 22 ca 2 a b c 注 觀察 聯(lián)想是構(gòu)造圖行 創(chuàng)新解題的關(guān)鍵 注 有些題目若按常規(guī)的代數(shù)解法需要討論 比較煩瑣且易產(chǎn)生遺漏現(xiàn)象 我們這樣構(gòu) 造利用圖象分析 得出答案非常直觀簡(jiǎn)潔 例例 6 6 不等式 2 4axxx 的解集是 0 4 則a的取值范圍是 A 0a B 4a C 0a D 0a 分析 分別作出yax 與 2 4yxx 的圖象 從圖象上很容易得到結(jié)論 解 令yax 2 4yxx 04 x yax 是過(guò)原點(diǎn)且斜率為a的直線(xiàn) 2 4yxx 04 x 是圓心在 2 0 半徑為 2 2 的圓在x軸及x軸上方的部分 不等式 2 4xxax 的幾何意義是半圓在 0 4 上恒處于直線(xiàn)的上方 如圖 可知0a 是 上述結(jié)論成立 a的取值范圍是0a 選 C y 2 x 7 綜合自測(cè)綜合自測(cè) 1 設(shè) bababa 則 62 22 R 的最小值是 3 2 設(shè)奇函數(shù) f x 的定義域?yàn)?0 0 且在 0 上單調(diào)遞增 f 1 0 則不等式 的解集是 1 0 2 f x x 2 解析 由已知畫(huà)出 y f x 的圖象可知 當(dāng) x 1 0 1 時(shí) f x 0 當(dāng) x 1 0 1 時(shí) f x 0 又 2 1111 1 241616 x xx 成立 則必有 1 0 2 f x x 0 x x 2 1 1 解之得 4 171 x 0 或 2 1 x 4 171 3 拋物線(xiàn) 2 2yx 上的點(diǎn) P 到直線(xiàn)4yx 有最短的距離 則 P 的坐標(biāo)是 解析解析 1 設(shè)直線(xiàn)yxm 與 2 2yx 相切 聯(lián)立整理得 22 2 1 0 xmxm 由 22 4 1 40mm 得 1 2 m 這時(shí)得切點(diǎn) 1 2 1 4 設(shè)F為拋物線(xiàn) 2 4yx 的焦點(diǎn) A BC 為該拋物線(xiàn)上三點(diǎn) 若FA FBFC 0 則 FAFBFC 6 5 已知向量 2 0 OB 向量 2 2 OC 向量 2cos 2sin CA 則向量 OA 與向量OB 的夾角的取值范圍是 答案 1 由 2cos 2sin CA 知點(diǎn) A 在以 C 2 2 為圓心 2為半徑的圓周上 如圖 過(guò)原點(diǎn) O 作 圓 C 的切線(xiàn) OA A為切點(diǎn) 由2 2OC 2AC 知 6 AOC 有 4612 AOB y 1O1x 8 過(guò)點(diǎn) O 作另一切線(xiàn) OA A為切點(diǎn) 則 5 4612 A OB 5 12 12 6 直線(xiàn) 2yk 與曲線(xiàn) 2222 918k xykx kR 且k0 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 4 7 關(guān)于 x 的方程 222 1 1 0 xxk 給出下列四個(gè)命題 存在實(shí)數(shù) k 使得方程恰有 2 個(gè)不同的實(shí)根 存在實(shí)數(shù) k 使得方程恰有 4 個(gè)不同的實(shí) 根 存在實(shí)數(shù) k 使得方程恰有 5 個(gè)不同的實(shí)根 存在實(shí)數(shù) k 使得方程恰有 8 個(gè)不同的實(shí) 根 其中假命題的個(gè)數(shù)是 設(shè) 2 1ux 化原式為 2 uuk 畫(huà)出函數(shù) 2 yuu 的圖象 看使 u 1 的解的個(gè)數(shù) 可知假命題的個(gè)數(shù)為 0 8 對(duì) Rba 記則 bab baa ba max 則函數(shù) max1 2f xxxxR 的最小值是 解析 由 2 1 2121 22 xxxxx 1 1 2 1 2 2 xx f x xx 如右圖 min 13 22 fxf 9 如果實(shí)數(shù) x y 滿(mǎn)足 32 2 yx 那么 x y 的最大值是 如圖 聯(lián)結(jié)圓心 C 與切點(diǎn) M 則由 OM CM 又 Rt OMC 中 OC 2 CM 3 所以 OM 1 得 3 OM MC x y O M C y x y x 1 y x 2 y 1 2ox 9 10 求函數(shù) x2 x1 y 2 的最大值 解 由定義知 1 2 x 0 且 2 x 0 1 x 1 故可設(shè) x cos 0 則有 2 cos 0sin 2cos sin y 可看作是動(dòng)點(diǎn) M cos sin 0 與定點(diǎn) A 2 0 連線(xiàn)的斜率 而動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡方程 siny cosx 0 即 22 1xy y 0 1 是半圓 設(shè)切線(xiàn)為 AT T 為切點(diǎn) OT 1 OA 2 3 1 kAT 0 kAM 3 1 即函數(shù)的值域?yàn)?0 3 3 故最大值為 3 3 11 求函數(shù)的最值 utt 246 解 設(shè) 則xtytuxy 246 且 xyxy 22 216 0402 2 uyxu 所給函數(shù)化為以為參數(shù)的直線(xiàn)方程 它與橢圓 22 216xy 在第一象限的部分 包括端點(diǎn) 有公共點(diǎn) 如圖 umin 2 2 相切于第一象限時(shí) u 取最大值 yxu xy xuxu 22 22 216 342160 解 得 取 uu2 62 6 umax 2 6 10 12 已知 acos bsin c acos bsin c ab 0 k k Z 求證 22 2 2 2 cos ba c 分析 解決此題的關(guān)鍵在于由條件式的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到直線(xiàn)方程 進(jìn)而由 A B 兩點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn) 知其在單位圓上 還要根據(jù)圖形的性質(zhì)分析清楚結(jié)論的幾何意義 這樣才能巧用數(shù)形結(jié)合 方法完成解題 證明 在平面直角坐標(biāo)系中 點(diǎn) A cos sin 與點(diǎn) B cos sin 是直線(xiàn) l ax by c 與單位圓 x2 y2 1 的兩個(gè)交點(diǎn)如圖 從而 AB 2 cos cos 2 sin sin 2 2 2cos 又 單位圓的圓心到直線(xiàn) l 的距離 22 ba c d 由平面幾何知識(shí)知 OA 2 2 1 AB 2 d2即 ba c d 2 2 2 4 cos 22 1 22 2 2 2 cos ba c 13 若不等式 2 1 12 2 mxmx對(duì)滿(mǎn)足 的所有 m 都成立 求 x 的取值范圍 解 原不等式化為 2 x 1 m 2x 1 0 記 f m 2 x 1 m 2x 1 2 m 2 其圖像是線(xiàn)段 結(jié)合圖像和題意知 只須 f 2 2 2 x 1 2x 1 0 f 2 2 2 x 1 2x 1 0 即 2 2230 xx 11 2 2210 xx 解之 x 的取值范圍為 2 31 2 71 x 14 已知二次函數(shù) 1 yf x 的圖象