導數及其應用測試題(有詳細答案)

導數及其應用導數及其應用 一 選擇題一 選擇題 1 是函數是函數在點在點處取極值的處取極值的 0 0fx f x 0 x A 充分不必要條件 充分不必要條件 B 必要不充分條件 必要不充分條件 C 充要條件 充要條件 D 既不充分又不必要條 既不充分又不必要條 件件 2 設曲線 設曲線在點在點處的切線的斜率為處的切線的斜率為 則函數 則函數的部分圖象可以的部分圖象可以 2 1yx xfx g x cosyg xx 為為 O x x xx y y yy OOO A B C D 3 設 設是函數是函數的導函數 將的導函數 將和和的圖象畫在同一個直角坐標系中 的圖象畫在同一個直角坐標系中 fx f x yf x yfx 不可能正確的是 不可能正確的是 4 若曲線若曲線 y x2 ax b 在點在點 0 b 處的切線方程是處的切線方程是 x y 1 0 則 則 A a 1 b 1 B a 1 b 1 C a 1 b 1 D a 1 b 1 5 函數 函數 f x x3 ax2 3x 9 已知 已知 f x 在在 x 3 時取得極值 則時取得極值 則 a 等于等于 A 2 B 3 C 4 D 5 6 設函數設函數 f x的導函數為的導函數為 fx 且 且 2 21f xxx f 則 則 0 f 等于等于 A 0 B 4 C 2 D 2 7 直線直線是曲線是曲線的一條切線 則實數的一條切線 則實數的值為的值為 yx lnyax a A B C D 1 eln21 8 若函數若函數上不是單調函數 則實數上不是單調函數 則實數 k 的取值范圍 的取值范圍 1 1 12 3 kkxxxf在區(qū)間 A B 3113 kkk或或3113 kk或 C D 不存在這樣的實數 不存在這樣的實數 k22 k 9 函數函數的定義域為的定義域為 導函數 導函數在在內的圖像如圖所示 內的圖像如圖所示 f x a b fx a b 則函數則函數在在內有極小值點內有極小值點 f x a b A 1 個個 B 2 個個 C 3 個個 D 4 個個 10 已知二次函數已知二次函數的導數為的導數為 2 f xaxbxc fx 對于任意實數 對于任意實數都有都有 則 則的最小值為的最小值為 0 0f x 0f x 1 0 f f A B C D 3 5 2 2 3 2 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 4 個小題 每小題個小題 每小題 5 分 共分 共 20 分 分 11 函數函數的導數為的導數為 sin x y x 12 已知函數 已知函數在在 x 1 處有極值為處有極值為 10 則 則 f 2 等于等于 223 abxaxxxf 13 函數函數在區(qū)間在區(qū)間上的最大值是上的最大值是 2cosyxx 0 2 14 已知函數 已知函數在在 R 上有兩個極值點 則實數上有兩個極值點 則實數的取值范圍是的取值范圍是 3 f xxax a 15 已知函數已知函數 xf是定義在是定義在 R 上的奇函數 上的奇函數 0 1 f 0 2 x xfxf x 0 x 則不等式 則不等式 0 2 xfx的解集是的解集是 三 解答題 本大題共三 解答題 本大題共 6 小題 共小題 共 80 分 解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟 分 解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟 16 設函數設函數在在及及時取得極值 時取得極值 32 2338f xxaxbxc 1x 2x 1 求 求 a b 的值 的值 2 若對于任意的 若對于任意的 都有 都有成立 求成立 求 c 的取值范圍 的取值范圍 0 3 x 2 f xc 17 已知函數已知函數 32 233 f xxx 1 求曲線 求曲線在點在點處的切線方程 處的切線方程 yf x 2x 2 若關于 若關于的方程的方程有三個不同的實根 求實數有三個不同的實根 求實數的取值范圍的取值范圍 x 0f xm m 18 設函數設函數 Rxxxxf 56 3 1 求 求的單調區(qū)間和極值 的單調區(qū)間和極值 xf 2 若關于 若關于的方程的方程有有 3 個不同實根 求實數個不同實根 求實數的取值范圍的取值范圍 xaxf a 3 已知當 已知當恒成立 求實數恒成立 求實數的取值范圍的取值范圍 1 1 xkxfx時k 19 本題滿分 本題滿分 12 分 已知函數分 已知函數 lnf xxx 求 求 f x的最小值 的最小值 若對所有 若對所有1x 都有都有 1f xax 求實數 求實數a的取值范圍的取值范圍 20 已知已知 Raxxa ax xf 14 1 3 2 3 1 當當時 求函數的單調區(qū)間 時 求函數的單調區(qū)間 1 a 2 當當時 討論函數的單調增區(qū)間 時 討論函數的單調增區(qū)間 Ra 3 是否存在負實數 是否存在負實數 使 使 函數有最小值 函數有最小值 3 a 0 1 x 21 已知函數已知函數 其中 其中 2 a f xx x lng xxx 0a 1 若 若是函數是函數的極值點 求實數的極值點 求實數的值 的值 1x h xf xg x a 2 若對任意的 若對任意的 為自然對數的底數 都有為自然對數的底數 都有 成立 求實數成立 求實數 12 1x xe e 1 f x 2 g x 的取值范圍 的取值范圍 a 導數及其應用導數及其應用 參考答案參考答案 一 選擇題 一 選擇題 題號題號12345678910 答案答案DADADBDBAC 二 填空題 二 填空題 11 12 18 13 14 15 2 cossin xxx y x 3 6 0 aa 1 0 1 三 解答題三 解答題 16 解 解 1 2 663fxxaxb 因為函數因為函數在在及及取得極值 則有取得極值 則有 f x1x 2x 1 0 f 2 0 f 即即 6630 24 1230 ab ab 解得解得 3a 4b 2 由 由 可知 可知 32 29128f xxxxc 2 618126 1 2 fxxxxx 當當時 時 01 x 0fx 當當時 時 12 x 0fx 當當時 時 2 3 x 0fx 所以 當所以 當時 時 取得極大值取得極大值 又 又 1x f x 1 58fc 0 8fc 3 98fc 則當則當時 時 的最大值為的最大值為 0 3x f x 3 98fc 因為對于任意的因為對于任意的 有 有恒成立 恒成立 0 3x 2 f xc 所以所以 解得 解得 或或 2 98cc 1c 9c 因此因此的取值范圍為的取值范圍為 c 1 9 17 解 解 1 2 分分 2 66 2 12 2 7 fxxx ff 曲線曲線在在處的切線方程為處的切線方程為 即 即 4 分分 yf x 2x 712 2 yx 12170 xy 2 記 記 322 233 666 1 g xxxmg xxxx x 令令或或 1 6 分分 0 0g xx 則則的變化情況如下表的變化情況如下表 x g x g x x 0 0 0 1 1 1 g x 0 0 g x A 極大極大A極小極小A 當當有極大值有極大值有極小值有極小值 10 分分0 xg x 3 1 mxg x 2m 由由的簡圖知 當且僅當的簡圖知 當且僅當 g x 0 0 1 0 g g 即即時 時 30 32 20 m m m 函數函數有三個不同零點 過點有三個不同零點 過點可作三條不同切線可作三條不同切線 g xA 所以若過點所以若過點可作曲線可作曲線的三條不同切線 的三條不同切線 的范圍是的范圍是 14 分分A yf x m 3 2 18 解解 1 1 分分2 2 0 2 3 21 2 xxxfxxf得令 當當 2 分分22 0 22 0 xxfxxfx 或時 當時 的單調遞增區(qū)間是的單調遞增區(qū)間是 單調遞減區(qū)間是 單調遞減區(qū)間是 3 分分 xf 2 2 和 2 2 當當 當 當 4 分分245 2 有極大值xfx245 2 有極小值xfx 2 由 由 1 可知 可知圖象的大致形狀及走向 圖略 圖象的大致形狀及走向 圖略 xfy 當當的圖象有的圖象有 3 個不同交點 個不同交點 6 分分 245245xfyaya 與直線時 即當即當時方程時方程有三解有三解 7 分分54 254 2a xf 3 1 5 1 1 2 xkxxxxkxf即 上恒成立上恒成立 9 分分 1 5 1 2 在xxkx 令令 由二次函數的性質 由二次函數的性質 上是增函數 上是增函數 5 2 xxxg 1 在xg 所求所求的取值范圍是的取值范圍是 12 分分 3 1 gxgk3 k 19 解析 解析 f x的定義域為的定義域為0 1 分分 f x的導數的導數 1 lnfxx 3 分分 令令 0fx 解得 解得 1 e x 令 令 0fx 解得 解得 1 0 e x 從而從而 f x在在 1 0 e 單調遞減 在單調遞減 在 1 e 單調遞增單調遞增 5 分分 所以 當所以 當 1 e x 時 時 f x取得最小值取得最小值 1 e 6 分分 解法一 令 解法一 令 1 g xf xax 則 則 1lng xfxaax 8 分分 若若1a 當 當1x 時 時 1ln10g xaxa 故故 g x在在 1 上為增函數 上為增函數 所以 所以 1x 時 時 1 10g xga 即 即 1f xax 10 分分 若若1a 方程 方程 0g x 的根為的根為 1 0 eax 此時 若此時 若 0 1 xx 則 則 0g x 故 故 g x在該區(qū)間為減函數在該區(qū)間為減函數 所以所以 0 1 xx 時 時 1 10g xga 即即 1f xax 與題設 與題設 1f xax 相矛盾相矛盾 13 分分 綜上 滿足條件的綜上 滿足條件的a的取值范圍是的取值范圍是 1 14 分分 解法二 依題意 得解法二 依題意 得 1f xax 在在 1 上恒成立 上恒成立 即不等式即不等式 1 lnax x 對于對于 1 x 恒成立恒成立 8 分分 令令 1 lng xx x 則則 2 1111 1g x xxxx 10 分分 當當1x 時 因為時 因為 11 10g x xx 故故 g x是是 1 上的增函數 上的增函數 所以所以 g x的最小值是的最小值是 1 1g 13 分分 所以所以a的取值范圍是的取值范圍是 1 14 分分 20 1 或或遞減遞減 遞增遞增 2 1 當 當 2 x 2 x xf 2 2 x xf 0 a 遞增遞增 2 當 當遞增遞增 3 當 當或或 2 x xf 0 a 2 2 a x xf 10 a 2 x 2 a x 遞增遞增 當當遞增遞增 當當或或遞增遞增 3 因 因 xf 1 a x xf 1 a 2 a x 2 x xf 由由 分兩類 依據 單調性 極小值點是否在區(qū)間分兩類 依據 單調性 極小值點是否在區(qū)間 1 0 上是分類上是分類 契機契機 0 a 1 當 當 遞增 遞增 解得 解得 2 1 2 a a 2 2 0 1 a x xf3 1 min fxf 2 4 3 a 2 當 當由單調性知 由單調性知 化簡得 化簡得 解得 解得 2 1 2 a a 3 2 min a fxf0133 2 aa 不合要求 綜上 不合要求 綜上 為所求 為所求 2 6 213 a 4 3 a 21 1 解法 解法1 其定義域為 其定義域為 2 2ln a h xxx x 0 2 2 1 2 a h x xx 是函數是函數的極值點 的極值點 即 即 1x h x 10 h 2 30a 0a 3a 經檢驗當經檢驗當時 時 是函數是函數的極值點 的極值點 3a 1x h x 3a 解法解法2 其定義域為 其定義域為 2 2ln a h xxx x 0 2 2 1 2 a h x xx 令令 即 即 整理 得 整理 得 0h x 2 2 1 20 a xx 22 20 xxa 2 1 80a 的兩個實根的兩個實根 舍去 舍去 0h x 2 1 11 8 4 a x 2 2 11 8 4 a x 當當變化時 變化時 的變化情況如下表 的變化情況如下表 x h x h x x 2 0 x 2 x 2 x h x 0 h xA極小值極小值A 依題意 依題意 即 即 2 11 8 1 4 a 2 3a 0a 3a 2 解 對任意的 解 對任意的都有都有 成立等價于對任意的成立等價于對任意的都都 12 1x xe 1 f x 2 g x 12 1x xe 有有 min f x max g x 當當 1 時 時 x e 1 10gx x 函數函數在在上是增函數 上是增函數 lng xxx 1e max 1g xg ee 且 且 2 22 1 xaxaa fx xx 1 xe 0a 當當且且 1 時 時 01a x e 2 0 xaxa fx x 函數函數在 在 1 上是增函數 上是增函數 2 a f xx x e 2 min 11f xfa 由由 得 得 2 1a 1e ae 又又 不合題意 不合題意 01a a 當當1 時 時 a e 若若1 則 則 x