2012高三數(shù)學(xué)上冊(cè) 15.5《幾何體的體積》教案（2） 滬教版

15 515 5 幾何體的體積幾何體的體積 2 2 錐體的體積錐體的體積 一 教學(xué)內(nèi)容分析一 教學(xué)內(nèi)容分析 錐體的體積是學(xué)習(xí)祖暅原理與柱體體積之后 對(duì)幾何體體積的進(jìn)一步探索 其中三棱錐 體積在這之中又尤為重要 起著承上啟下的作用 推導(dǎo)三棱錐的體積要用到前一課時(shí)的內(nèi)容 同時(shí) n 棱錐乃至圓錐的體積公式又是建立在三棱錐體積之上的 所以處理好三棱錐的體積問 題 是這堂課的重中之重 二 教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)二 教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 學(xué)生通過具體實(shí)驗(yàn)感知三棱錐體積公式 通過嚴(yán)謹(jǐn)證明確認(rèn)三棱錐體積公式 通過對(duì)新 知識(shí)的應(yīng)用推廣得到 n 棱錐的體積公式 通過具體實(shí)例初步應(yīng)用錐體體積公式 能應(yīng)用割補(bǔ)法求體積以及體積法求點(diǎn)到面的距離 在這個(gè)過程中 提高分析 綜合 抽 象 概括等邏輯推理能力 三 教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)三 教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 三棱錐體積公式及其探求 四 教學(xué)流程設(shè)計(jì) 復(fù)習(xí)已學(xué)知識(shí) 做好上課準(zhǔn)備 通過實(shí)驗(yàn) 發(fā)現(xiàn)規(guī)律 提出質(zhì)疑 嚴(yán)謹(jǐn)證明 繼續(xù)推廣 特殊到一般 簡單應(yīng)用 鞏固公式 課堂小結(jié) 布置作業(yè) 五 教學(xué)過程設(shè)計(jì)五 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一 情景引入 1 復(fù)習(xí)祖暅原理 體積可看成是有面積疊加而成 用一組平行平面截兩個(gè)空間圖形 若在 任意等高處的截面面積都對(duì)應(yīng)相等 則兩空間圖形的體積必然相等 2 柱體體積公式 V棱柱 Sh 3 問題 錐體的體積公式是什么 會(huì)不會(huì)和柱體的體積有什么聯(lián)系 實(shí)驗(yàn) 如圖取一個(gè)三棱錐教具 無底面 ABC 一個(gè)與之同底等高的三棱柱教具 無底面 ABC 教具可用硬板紙制作 以及黃沙若干 B CA O B CA O P Q 1 用三棱錐盛滿黃沙 倒入三棱柱容器中 發(fā)現(xiàn)倒三次正好把三棱柱容器填滿 從這個(gè)實(shí)驗(yàn)中 學(xué)生猜想三棱錐的體積公式為 V三棱錐 Sh 1 3 這個(gè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果到底是一個(gè)美麗的巧合還是一個(gè)必然的結(jié)果 二 學(xué)習(xí)新課 問題 1 從猜想的三棱錐體積公式為 V三棱錐 Sh 看 體積只和三棱錐底面積和高有關(guān) 而 1 3 與底面三角形的形狀無關(guān) 那么 上述實(shí)驗(yàn)中的三棱柱不變 三棱錐變成與原三棱錐 O ABC 等底等高的三棱錐 P DEF 結(jié)果是否會(huì)不變呢 解決此問題 即要證明等底等高的三棱錐的體積相等等底等高的三棱錐的體積相等 已知三棱錐 O ABC 和 P DEF 的底面積都是 S 高都是 h 求證 三棱錐 O ABC 和 P DEF 的體積相等 證明 把兩個(gè)三棱錐的底面都放在平面上 任意作平面 設(shè)平面截三棱錐 O ABC 所得的截線為三角形 A B C 其面積為 S1 平面截三棱錐 P DEF 所得的截線為三角 形 D E F 其面積為 S2 如果三棱錐的頂點(diǎn) O 和 P 與平面的距離為 h1 那么推得 和 于是得 相似 1 hOAOBOC OAOBOCh 1 hA BB CC A ABBCCAh A B CABC 比是 同理可得 相似比也是 由相似形的性質(zhì)得 1 h h D E FDEF 1 h h 2 11 Sh Sh 即 2 22 Sh Sh 2 1 12 h SSS h 因?yàn)槿我馄叫杏诘酌娴钠矫娼貎蓚€(gè)三棱錐時(shí) 所得的截面面積相等 所以由祖暅原理得 三棱錐 O ABC 和 P DEF 的體積相等 即等底等高的三棱錐的體積相等 問題 2 為什么三棱錐的體積公式恰巧為 V三棱錐 Sh 而不是 1 3 11 24 ShSh 觀察實(shí)驗(yàn)中的三棱錐 O ABC 正好含在三棱柱 OPQ ABC 中 于是我們通過連接 OB OC 把三棱柱 OPQ ABC 中的三棱錐 O ABC 找出來 發(fā)現(xiàn)三棱柱 OPQ ABC 是由三棱錐 O ABC 和四棱 錐 O BCQP 組成的 進(jìn)一步的 連接 BQ 那么此時(shí)比較明顯的有 VOPQ ABC VO ABC VB OPQ VO BCQ 由于等底等高的三棱錐的體積相等 故有 VO ABC VB OPQ VO BPQ VO BCQ B CA O B CA O P Q 1 因此 V三棱錐 Sh 1 3 請(qǐng)學(xué)生敘述如果連接 PC 怎樣證明 平面幾何中求面積時(shí) 我們經(jīng)常會(huì)用到割補(bǔ)法 同樣的 立體幾何求體積也會(huì)用到此法 上 述的證明方法 本質(zhì)上就是把一個(gè)三棱錐補(bǔ)成三棱柱后 再加以證明 是求體積的 補(bǔ) 法 推廣 1 四棱錐的體積公式呢 如果也采用三棱錐探求體積的方法 是否可行 三棱錐體積的證明中用到了一個(gè)三棱錐非常個(gè)性化 的特征 可以以任何一個(gè)頂點(diǎn)作為三棱錐的頂點(diǎn) 這是 其它任何棱錐所不具備的特征 那么 我們已經(jīng)知道 并且證明了三棱錐的體積 四棱錐中有沒有三棱錐呢 通過連接 AC 可得 P A BC D VP ABCD VP ABC VP ACD S ABC S ACD h SABCDh 1 3 1 3 其中 h 是 P 到底面 ABCD 的距離 即四棱錐的高 推廣 2 n 棱錐的體積公式呢 基本上可由學(xué)生自行完成 課本 P39 也講述的非常清楚 總結(jié) V V棱錐 棱錐 ShSh 1 3 三 鞏固應(yīng)用 例 在正方體 ABCD A B C D 中 已知棱長為 a 求 1 三棱錐 B ABC 的體積 2 這個(gè)三棱錐的體積是正方形體積的幾分之幾 3 B 到平面 AB C 的距離 用 2 種方法答 解 1 由正方體棱長為 a 得 S ABC a 高 h a 2 1 2 所以 VB ABC S ABC h a a a 3 1 3 1 2 1 2 6 1 3 2 因?yàn)?V正方體 a 所以 VB ABC V正方體 3 6 1 3 方法一 如圖 過 B 作 BO 面 AB C 于 O 則 O 必為 AB C 的重心 連 AO 并延長交 B C 于 M 因?yàn)?AB B C CA a 2 所以 AM a a OA AM a 2 3 2 2 6 3 2 3 6 在 Rt AOB 中 BO 即 B 到面 AB C 的距離為a 22 OAAB aaa 3 3 3 2 22 3 3 方法二 設(shè) B 到面 AB C 距離為 h 因?yàn)?AB B C CA a 2 所以 S AB C a a 4 3 2 2 2 3 2 因此 a h VB AB C VB ABC a a 6 1 a 3 1 2 3 2 3 1 2 1 23 故 h a 即 B 到面 AB C 的距離為a 3 3 3 3 方法二充分運(yùn)用了三棱錐的特征 可以以任何一個(gè)頂點(diǎn)作為三棱錐的頂點(diǎn) 這為我們求 解頂點(diǎn)到底面的距離提供了捷徑 稱之為體積法 四 課堂小結(jié) 1 割補(bǔ)法求體積 2 V V棱錐 棱錐 ShSh 1 3 3 體積法求點(diǎn)到面的距離 五 作業(yè)布置 課本 P41 練習(xí) 15 5 2 六 教學(xué)設(shè)計(jì)說明六 教學(xué)設(shè)計(jì)說明 數(shù)學(xué)是源于生活的 選用實(shí)際的實(shí)驗(yàn)操作能使學(xué)生對(duì) V棱錐 Sh 有一個(gè)形象的 具體化 1 3 的認(rèn)識(shí) 數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?發(fā)現(xiàn)規(guī)律之后 需要的是嚴(yán)格的證明 證明的兩個(gè)層