4-4線性方程組的解的結構

4線性方程組的解的結構 回顧 線性方程組的解的判定 包含n個未知數(shù)的齊次線性方程組Ax 0有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R A n 包含n個未知數(shù)的非齊次線性方程組Ax b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R A R A b 并且當R A R A b n時 方程組有唯一解 當R A R A b n時 方程組有無限多個解 引言 問題 什么是線性方程組的解的結構 答 所謂線性方程組的解的結構 就是當線性方程組有無限多個解時 解與解之間的相互關系 備注 當方程組存在唯一解時 無須討論解的結構 下面的討論都是假設線性方程組有解 解向量的定義 定義 設有齊次線性方程組Ax 0 如果x1 x11 x2 x21 xn xn1為該方程組的解 則稱為方程組的解向量 齊次線性方程組的解的性質 性質1 若x x1 x x2是齊次線性方程組Ax 0的解 則x x1 x2還是Ax 0的解 證明 A x1 x2 Ax1 Ax2 0 0 0 性質2 若x x是齊次線性方程組Ax 0的解 k為實數(shù) 則x kx還是Ax 0的解 證明 A kx k Ax k0 0 結論 若x x1 x x2 x xt是齊次線性方程組Ax 0的解 則x k1x1 k2x2 ktxt還是Ax 0的解 結論 若x x1 x x2 x xt是齊次線性方程組Ax 0的解 則x k1x1 k2x2 ktxt還是Ax 0的解 已知齊次方程組Ax 0的幾個解向量 可以通過這些解向量的線性組合給出更多的解 能否通過有限個解向量的線性組合把Ax 0的解全部表示出來 把Ax 0的全體解組成的集合記作S 若求得S的一個最大無關組S0 x x1 x x2 x xt 那么Ax 0的通解可表示為x k1x1 k2x2 ktxt 齊次線性方程組的解集的最大無關組稱為該齊次線性方程組的基礎解系 不唯一 回顧 向量組的秩的概念 定義 設有向量組A 如果在A中能選出r個向量a1 a2 ar 滿足 向量組A0 a1 a2 ar線性無關 向量組A中任意r 1個向量 如果A中有r 1個向量的話 都線性相關 向量組A中任意一個向量都能由向量組A0線性表示 那么稱向量組A0是向量組A的一個最大無關組 向量組的最大無關組一般是不唯一的 返回 基礎解系的概念 定義 齊次線性方程組Ax 0的一組解向量 x1 x2 xr如果滿足 x1 x2 xr線性無關 方程組中任意一個解都可以表示x1 x2 xr的線性組合 那么稱這組解是齊次線性方程組的一個基礎解系 后n r列 前r列 設R A r 為敘述方便 不妨設A行最簡形矩陣為 對應的齊次線性方程組令xr 1 xn作自由變量 則 令xr 1 c1 xr 2 c2 xn cn r 則 齊次線性方程組的通解 記作x c1x1 c2x2 cn rxn r 滿足基礎解系 n r列 前r行 后n r行 故R x1 x2 xn r n r 即x1 x2 xn r線性無關 滿足基礎解系 于是x1 x2 xn r就是齊次線性方程組Ax 0的基礎解系 令xr 1 c1 xr 2 c2 xn cn r 則 線性方程組的通解 記作x c1x1 c2x2 cn rxn r 滿足基礎解系 此即為Ax 0的基礎解系 通解為x c1x1 c2x2 cn rxn r 則 令 定理 設m n矩陣的秩R A r 則n元齊次線性方程組Ax 0的解集S的秩RS n r 基礎解系的求解 例 求齊次線性方程組的基礎解系 方法1 先求出通解 再從通解求得基礎解系 即 令x3 c1 x4 c2 得通解表達式 因為方程組的任意一個解都可以表示為x1 x2的線性組合 x1 x2的四個分量不成比例 所以x1 x2線性無關 所以x1 x2是原方程組的基礎解系 方法2 先求出基礎解系 再寫出通解 即 令 合起來便得到基礎解系 得 還能找出其它基礎解系嗎 問題 是否可以把x1選作自由變量 答 可以 因為是否把系數(shù)矩陣化為行最簡形矩陣 其實并不影響方程組的求解 當兩個矩陣行等價時 以這兩個矩陣為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組同解 令x1 c1 x2 c2 得通解表達式 即 從而可得另一個基礎解系 h1和h2 定理 設m n矩陣的秩R A r 則n元齊次線性方程組Ax 0的解集S的秩RS n r 例 設Am nBn l O 零矩陣 證明R A R B n 例 證明R ATA R A 例 設n元齊次線性方程組Ax 0與Bx 0同解 證明R A R B 非齊次線性方程組的解的性質 性質3 若x h1 x h2是非齊次線性方程組Ax b的解 則x h1 h2是對應的齊次線性方程組Ax 0 導出組 的解 證明 A h1 h2 Ah1 Ah2 b b 0 性質4 若x h是非齊次線性方程組Ax b的解 x x是導出組Ax 0的解 則x x h還是Ax b的解 證明 A x h Ax Ah 0 b b 根據(jù)性質3和性質4可知若x h 是Ax b的解 x x是Ax 0的解 那么x x h 也是Ax b的解 設Ax 0的通解為x c1x1 c2x2 cn rxn r 于是Ax b的通解為h c1x1 c2x2 cn rxn r h 例 求線性方程組的通解 解 容易看出是方程組的一個特解 其對應的齊次線性方程組為根據(jù)前面的結論 導出組的基礎解系為 于是 原方程組的通解為 小結 關于線性方程組 求解線性方程組 第三章 利用矩陣的初等行變換 線性方程組的幾何意義 第四章 四種等價形式 齊次線性方程組的通解能由它的基礎解系來構造 基礎解系是解集S的最大無關組 解集S是基礎解系的所有可能的線性組合 非齊次線性方程