初一數(shù)學(xué)一元一次方程專題講解.docx

3.1 從算式到方程3.1.1一元一次方程知識(shí)點(diǎn)1定義1：含有未知數(shù)的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)(元)x，未知數(shù)x的指數(shù)都是1(次)，這樣的方程叫做一元一次方程.例如： 1700+50x=1800， 2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程. 1、 如果(m-1)x|m| +5=0是一元一次方程，那么m2、下列各式：3x+2y=1m-3=6x/2+2/3=0.5x2+1=2z/3-6=5z(3x-3)/3=45/x+2=1x+5中，一元一次方程的個(gè)數(shù)是（）、1 、2 、3 、43、若(a1)x|a|36是關(guān)于x的一元一次方程，則a；x。 4、下列各式中是一元一次方程的是( )。A、 B、 C、 D、5、根據(jù)“x的3倍與5的和比x的多2”可列方程( )。A、 B、 C、 D、6、下列方程 2（x+1）+3= 3(2x+5)-2(x-1)=4x+6.一元一次方程共有( )個(gè).A.1B.2C.3D.4知識(shí)點(diǎn)2方程的解：使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解. 注： 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解實(shí)質(zhì)上是求得的結(jié)果，它是一個(gè)數(shù)值(或幾個(gè)數(shù)值)，而解方程的含義是指求出方程的解或判斷方程無(wú)解的過(guò)程. 方程的解的檢驗(yàn)方法，首先把未知數(shù)的值分別代入方程的左、右兩邊計(jì)算它們的值，其次比較兩邊的值是否相等從而得出結(jié)論.1、若x=1是方程k（x-2）=2的解，則k= 2、已知3是關(guān)于x的方程mx+1=0的根，那么m= 3、一個(gè)一元一次方程的解為2，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)一元一次方程 .4、若關(guān)于的一元一次方程的解是,則的值是（ ）A B1 C D05、（2009蕪湖）已知方程3x-9x+m=0的一個(gè)根是1，則m的值是 。 解：把x=1代入原方程，得3-91+m=0， 解得m=6 答案：66、方程的解為-1時(shí)，k的值為( )。A、10 B、-4 C、-6 D、-87、如果方程與方程是同解方程，則k= 。8、方程的解與關(guān)于x的方程的解互為倒數(shù)，求k的值。9、已知x=-1是關(guān)于x的方程的一個(gè)解，求5的值。10、y=1是方程的解，求關(guān)于x的方程的解。11、（2004青海）關(guān)于x的方程ax-3=0的根是2，則a=_。12、（2004吉林）已知m是方程-x-2=0的一個(gè)根，則代數(shù)式的值等于_.3.1.2 等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)(1)：等式兩邊都加上(或減去)同個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等.等式的性質(zhì)(1)用式子形式表示為：如果a=b，那么ac=bc(2)等式的性質(zhì)(2)：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等，等式的性質(zhì)(2)用式子形式表示為：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c0)，那么=1、列結(jié)論正確的是（ ）A若x+3=y-7,則x+7=y-11;B若7y-6=5-2y,則7y+6=17-2y;C若0.25x=-4,則x=-1;D若7x=-7x,則7=-7.2、列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）.A若,則x=y; B若x2=y2,則-4x2=-4y2;C若-x=6,則x=-;D若6=-x,則x=-6.3、知等式ax=ay,下列變形不正確的是（ ）.Ax=yBax+1= ay+1Cay=axD3-ax=3-ay4、列說(shuō)法正確的是（ ）A等式兩邊都加上一個(gè)數(shù)或一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式；B等式兩邊都乘以一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍是等式；C等式兩邊都除以同一個(gè)數(shù)，所以結(jié)果仍是等式；D一個(gè)等式的左、右兩邊分別與另一個(gè)等式的左、右兩邊分別相加，所得結(jié)果仍是等式；5、等式2-=1變形，應(yīng)得（ ）A6-x+1=3B6-x-1=3C2-x+1=3D2-x-1=33.2 解一元一次方程（一）五、解方程的一般步驟1. 去分母(方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù))2. 去括號(hào)(按去括號(hào)法則和分配律)3. 移項(xiàng)(把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊，移項(xiàng)要變號(hào))4. 合并(把方程化成ax = b (a0)形式)5. 系數(shù)化為1(在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=).1、要解方程4.5(x+0.7)=9x ,最簡(jiǎn)便的方法應(yīng)該首先（）、去括號(hào)、移項(xiàng)、方程兩邊同時(shí)乘以、方程兩邊同時(shí)除以4.5分析：由于是4.5的倍，所以選擇最簡(jiǎn)便2、解方程解：去括號(hào)xx x移項(xiàng)xxx合并x系數(shù)化為x3、如果,那么等于（ ）(A)1814.55 (B)1824.55 (C)1774.45 (D)1784.45分析與解：移項(xiàng)，得2005-200.5+20.05=x，解得：x=1824.55.答案為A.4、 (x-1)-3-3=3解：去大括號(hào)，得 (x-1)-3-2=3去中括號(hào)，得(x-1)-3-2=3去小括號(hào)，得x-3-2=3移項(xiàng)，得x=+3+2+3合并，得x=系數(shù)化為1，得：x = 175、（2008江蘇）解方程： 解：去括號(hào)，得 移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得-x=6， 系數(shù)化為1，得x=-66、已知關(guān)于x的方程無(wú)解，則a的值是（ ） A.1 B.-1 C.1 D.不等于1的數(shù) 解：去分母，得2x+6a=3x-x+6， 即0x=6-6a 因?yàn)樵匠虩o(wú)解，所以有6-6a0，即a1，7、（2003黃州）解方程：.8、已知y=1是方程2-(m-y)=2y的解，求關(guān)于x的方程m(x-3)-2=m(2x-5)的解。9、解方程（1） （ 2）（3） （4）（5） （6）10、方程中有未知字母，根據(jù)方程的解，求未知字母（1）已知是方程的解，求的值.（2）已知時(shí)，代數(shù)式的值是14，求時(shí)代數(shù)式的值3.4 實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程（1）用方程思想解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟1. 審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間的關(guān)系2. 設(shè)：設(shè)未知數(shù)(可分直接設(shè)法，間接設(shè)法)3. 列：根據(jù)題意列方程4. 解：解出所列方程5. 檢：檢驗(yàn)所求的解是否符合題意6. 答：寫(xiě)出答案(有單位要注明答案)（2）有關(guān)常用應(yīng)用類型題及各量之間的關(guān)系1. 和、差、倍、分問(wèn)題： （1）倍數(shù)關(guān)系：通過(guò)關(guān)鍵詞語(yǔ)“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長(zhǎng)率”來(lái)體現(xiàn). （2）多少關(guān)系：通過(guò)關(guān)鍵詞語(yǔ)“多、少、和、差、不足、剩余”來(lái)體現(xiàn).2. 等積變形問(wèn)題： “等積變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?常用等量關(guān)系為： 形狀面積變了，周長(zhǎng)沒(méi)變；原料體積成品體積.3.調(diào)配問(wèn)題： 這類問(wèn)題要搞清人數(shù)的變化，常見(jiàn)題型有： （1）既有調(diào)入又有調(diào)出； （2）只有調(diào)入沒(méi)有調(diào)出，調(diào)入部分變化，其余不變；（3）只有調(diào)出沒(méi)有調(diào)入，調(diào)出部分變化，其余不變（1）有兩個(gè)工程隊(duì)，甲工程隊(duì)有32人，乙工程隊(duì)有28人，如果是甲工程隊(duì)的人數(shù)是工程隊(duì)人數(shù)的2倍，需從乙工程隊(duì)抽調(diào)多少人到甲工程隊(duì)？（2）某班同學(xué)利用假期參加夏令營(yíng)活動(dòng)，分成幾個(gè)小組，若每組7人還余1人，若每組8人還缺6人，問(wèn)該班分成幾個(gè)小組，共有多少名同學(xué)？4. 數(shù)字問(wèn)題 （1）要搞清楚數(shù)的表示方法：一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字為a，十位數(shù)字是b，個(gè)位數(shù)字為c（其中a、b、c均為整數(shù)，且1a9， 0b9， 0c9）則這個(gè)三位數(shù)表示為：100a+10b+c.（2）數(shù)字問(wèn)題中一些表示：兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系，較大的比較小的大1；偶數(shù)用2n表示，連續(xù)的偶數(shù)用2n+2或2n2表示；奇數(shù)用2n+1或2n1表示.（1）已知三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是2004，求這三個(gè)偶數(shù)各是多少？（2）一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小5，若此兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字位置交換，得一新兩位數(shù)，那么新兩位數(shù)與原兩位數(shù)大45，求新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的積是多少？5. 工程問(wèn)題： 工程問(wèn)題中的三個(gè)量及其關(guān)系為：工作總量=工作效率工作時(shí)間 工程問(wèn)題有三個(gè)基本量：工作量、工作時(shí)間、工作效率，其基本關(guān)系為：工作量=工作效率工作時(shí)間； 一般情況下把全部工作量看作1（1）一個(gè)水池安有甲乙丙三個(gè)水管，甲單獨(dú)開(kāi)12h注滿水池，乙單獨(dú)開(kāi)8h注滿,丙單獨(dú)開(kāi)24h可排掉滿池的水，如果三管同開(kāi)，多少小時(shí)后剛好把水池注滿水？（2）某工程，甲單獨(dú)完成續(xù)20天，乙單獨(dú)完成續(xù)12天，甲乙合干6天后，再由乙繼續(xù)完成，乙再做幾天可以完成全部工程?6.行程問(wèn)題： （1）行程問(wèn)題中的三個(gè)基本量及其關(guān)系： 路程=速度時(shí)間. （2）基本類型有 相遇問(wèn)題； 追及問(wèn)題；常見(jiàn)的還有：相背而行；行船問(wèn)題；環(huán)形跑道問(wèn)題.水上（空中）問(wèn)題此類問(wèn)題主要涉及四個(gè)量：靜水船速、水速、逆水船速、順?biāo)倩娟P(guān)系為：順?biāo)?靜水船速+水速；逆水船速=靜水船速水速（1）甲乙兩個(gè)人在400米的環(huán)形跑道上同時(shí)同點(diǎn)出發(fā)，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，乙跑幾圈后，甲可超過(guò)乙一圈？（2）甲乙兩站相距300km，一列慢車從甲站開(kāi)往乙站，每小時(shí)行40km，一列快車從乙站開(kāi)往甲站，每小時(shí)行80km，已知慢車先行1.5h，快車7. 商品銷售問(wèn)題有關(guān)關(guān)系式： 商品利潤(rùn)=商品售價(jià)商品進(jìn)價(jià)=商品標(biāo)價(jià)折扣率商品進(jìn)價(jià)商品利潤(rùn)率=商品利潤(rùn)/商品進(jìn)價(jià) 商品售價(jià)=商品標(biāo)價(jià)折扣率再開(kāi)出，問(wèn)快車開(kāi)出多少小時(shí)后與慢車相遇？（1）某產(chǎn)品按原價(jià)提高40%后打八折銷售，每件商品賺270元，問(wèn)該商品原標(biāo)價(jià)多少元？現(xiàn)銷售價(jià)是多少？（2）甲乙兩件衣服的成本共500元，商店老板為獲取利潤(rùn)，決定將家服裝按50%的利潤(rùn)定價(jià)，乙服裝按40%的利潤(rùn)定價(jià)，在實(shí)際銷售時(shí)，應(yīng)顧客要求，兩件服裝均按9折出售，這樣商店共獲利157元，求甲乙兩件服裝成本各是多少元？8. 儲(chǔ)蓄問(wèn)題 顧客存入銀行的錢(qián)叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率.利息的20%付利息稅 利息=本金利率期數(shù) 本息和=本金+利息 利息稅=利息稅率（20%）9、增長(zhǎng)率問(wèn)題（降低率）增長(zhǎng)率問(wèn)題有三個(gè)基本量：凈增量、基礎(chǔ)量、增長(zhǎng)率， 基本關(guān)系 ；1、（2009福州）某班學(xué)生為希望工程共捐款131元，比每人平均2 元還多35元，設(shè)這個(gè)班的學(xué)生有x人，根據(jù)題意列方程為_(kāi)。 解題思路：本題的相等關(guān)系是捐款總數(shù)相等，解決此題的關(guān)鍵是用學(xué)生人數(shù)、平均數(shù)與余數(shù)35元表示出捐款總數(shù)（2x+35）元。 答案：2x+35=1312、王老師去集貿(mào)市場(chǎng)買(mǎi)雞蛋，小販稱好以后，王老師發(fā)現(xiàn)所買(mǎi)的10斤雞蛋好象比原來(lái)少了一些，于是王老師就把雞蛋拾進(jìn)了自己的籃子已知籃子重一斤里又讓小販稱了一下，結(jié)果是11斤1兩，于是王老師就讓小販找回自己一斤雞蛋錢(qián)，你知道王老師是怎么知道小販少給自己一斤雞蛋的嗎？分析：解決問(wèn)題的關(guān)鍵因素籃子：為什么不用籃子正好是10斤，而用了籃子就是11斤1兩呢？這就是說(shuō)小販的稱出了問(wèn)題：一斤的籃子被稱成了一斤一兩。從而可設(shè)小販稱的10斤雞蛋的實(shí)際質(zhì)量是x斤，由題意分析可知：x:10=1:1.1, 所以x=10:119.09斤。也就是說(shuō)小販稱的10斤雞蛋實(shí)際上約有9.09斤，所以王老師的做法是對(duì)的例2、某校初三年級(jí)學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，原計(jì)劃租用30座客車若干輛，但還有15人無(wú)座位。 （1）設(shè)原計(jì)劃租用30座客車x輛，試用含x的代數(shù)式表示該校初三年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)； （2）現(xiàn)決定租用40座客車，則可比原計(jì)劃租30座客車少一輛，且所租40座客車中有一輛沒(méi)有坐滿，只坐35人。請(qǐng)你求出該校初三年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)。 分析：本題表示初三年級(jí)總?cè)藬?shù)有兩種方案，用30座客車的輛數(shù)表示總?cè)藬?shù)：30x+15用40座客車的輛數(shù)表示總?cè)藬?shù)：40（x2）+35。 解：（1）該校初三年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)為：30x+15 （2）由題意得： 30x+1540（x2）+35 解得：x6 30x1530615195（人） 答：初三年級(jí)總共195人。3.某高校共有5個(gè)大餐廳和2個(gè)小餐廳經(jīng)過(guò)測(cè)試：同時(shí)開(kāi)放1個(gè)大餐廳、2個(gè)小餐廳，可供1680名學(xué)生就餐；同時(shí)開(kāi)放2個(gè)大餐廳、1個(gè)小餐廳，可供2280名學(xué)生就餐（1）求1個(gè)大餐廳、1個(gè)小餐廳分別可供多少名學(xué)生就餐；（2）若7個(gè)餐廳同時(shí)開(kāi)放，能否供全校的5300名學(xué)生就餐？請(qǐng)說(shuō)明理由分析：可以先設(shè)1個(gè)小餐廳可供名學(xué)生就餐，這樣的話，2個(gè)小餐廳就可供2y個(gè)學(xué)生就餐，因此大餐廳就可共（1680-2y）名學(xué)生就餐.然后在根據(jù)開(kāi)放2個(gè)大餐廳、1個(gè)小餐廳可以就餐的人數(shù)列出方程2（1680-2y）+y=2280解：（1）設(shè)1個(gè)小餐廳可供名學(xué)生就餐，則1個(gè)大餐廳可供（1680-2y）名學(xué)生就餐，根據(jù)題意，得2（1680-2y）+y=2280解得：y=360（名）所以1680-2y=960（名）答：（略）（2）因?yàn)?，所以如果同時(shí)開(kāi)放7個(gè)餐廳，能夠供全校的5300名學(xué)生就餐【點(diǎn)撥】第問(wèn)屬于直接列方程解應(yīng)用題，而第問(wèn)屬于說(shuō)理題，關(guān)鍵是求出這7個(gè)餐廳共能容納多少人就餐，然后比較即可.4、工藝商場(chǎng)按標(biāo)價(jià)銷售某種工藝品時(shí)，每件可獲利45元；按標(biāo)價(jià)的八五折銷售該工藝品8件與將標(biāo)價(jià)降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤(rùn)相等.該工藝品每件的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)分別是多少元？分析：根據(jù)利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)與售價(jià)=標(biāo)價(jià)折扣率這兩個(gè)等量關(guān)系以及按標(biāo)價(jià)的八五折銷售該工藝品8件與將標(biāo)價(jià)降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤(rùn)相等，就可以列出一元一次方程.解：設(shè)該工藝品每件的進(jìn)價(jià)是元,標(biāo)價(jià)是（45+x）元.依題意，得: 8（45+x）0.85-8x=（45+x-35）12-12x解得：x=155（元）所以45+x=200（元） 答：（略）. 【點(diǎn)撥】這是銷售問(wèn)題，在解答銷售問(wèn)題時(shí)把握下列關(guān)系即可：商品售價(jià)=商品標(biāo)價(jià)折扣率商品利潤(rùn)=商品售價(jià)商品進(jìn)價(jià)=商品標(biāo)價(jià)折數(shù)商品進(jìn)價(jià)商品利潤(rùn)率=100%5、（2006益陽(yáng)市）八年級(jí)三班在召開(kāi)期末總結(jié)表彰會(huì)前，班主任安排班長(zhǎng)李小波去商店買(mǎi)獎(jiǎng)品，下面是李小波與售貨員的對(duì)話：李小波：阿姨，您好！售貨員：同學(xué)，你好，想買(mǎi)點(diǎn)什么？李小波：我只有100元，請(qǐng)幫我安排買(mǎi)10支鋼筆和15本筆記本.售貨員：好，每支鋼筆比每本筆記本貴2元，退你5元，請(qǐng)清點(diǎn)好，再見(jiàn).根據(jù)這段對(duì)話，你能算出鋼筆和筆記本的單價(jià)各是多少嗎？分析：這是一道情景對(duì)話問(wèn)題，具有一定的新穎性.解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是要從對(duì)話中捕捉等量關(guān)系.從對(duì)話中可以知道每支鋼筆比每本筆記本貴2元，同時(shí)還可以發(fā)現(xiàn)買(mǎi)10支鋼筆和15本筆記本共消費(fèi)（100-5）=95元.根據(jù)上述等量關(guān)系可以得到相應(yīng)的方程.解：設(shè)筆記本每本x元，則鋼筆每支為（x+2）元，據(jù)題意得10（x+2）+15x=100-5解得，x=3（元）所以x+2=5（元）答：（略）6、某工廠計(jì)劃26小時(shí)生產(chǎn)一批零件，后因每小時(shí)多生產(chǎn)5件，用24小時(shí)，不但完成了任務(wù)，而且還比原計(jì)劃多生產(chǎn)了60件，問(wèn)原計(jì)劃生產(chǎn)多少零件？7、甲、乙兩種商品的單價(jià)之和為100元，因?yàn)榧竟?jié)變化，甲商品降價(jià)10%，乙商品提價(jià)5%，調(diào)價(jià)后，甲、乙兩商品的單價(jià)之和比原計(jì)劃之和提高2%，求甲、乙兩種商品的原來(lái)單價(jià)？8、甲、已兩個(gè)團(tuán)體共120人去某風(fēng)景區(qū)旅游。風(fēng)景區(qū)規(guī)定超過(guò)80人的團(tuán)體可購(gòu)買(mǎi)團(tuán)體票，已知每張團(tuán)體比個(gè)人票優(yōu)惠20%，而甲、已兩團(tuán)體人數(shù)均不足80人，兩團(tuán)體決定合起來(lái)買(mǎi)團(tuán)體票，共優(yōu)惠了 480元，則團(tuán)體票每張多少?gòu)垼?、（2004陜西）足球比賽的記分規(guī)則為：勝一場(chǎng)得3分。平一場(chǎng)得1分，輸一場(chǎng)得0分，一支足球隊(duì)在某個(gè)賽季中共需比賽14場(chǎng)，現(xiàn)已比賽了8場(chǎng)，輸了1場(chǎng)， 得17分，請(qǐng)問(wèn)： （1）前8場(chǎng)比賽中，這支球隊(duì)共勝了多少場(chǎng)？ （2）這支球隊(duì)打滿14場(chǎng)比賽，最高能得多少分？ （3）通過(guò)對(duì)比賽情況的分析，這支球隊(duì)打滿14場(chǎng)比賽，得分不低于29分， 就可以達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)，請(qǐng)你分析一下，在后面的6場(chǎng)比賽中， 這支球隊(duì)至少要?jiǎng)賻讏?chǎng)，才能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)？本章綜合練習(xí)1、在梯形面積公式S=（a+b）h中，如果a=5cm,b=3cm,S=16cm2,那么h=（ ）A2cmB5cmC4cmD1cm2、若關(guān)于x的方程3(x-1)+a=b(x+1)是一元一次方程，則（ ）.Aa,b為任意有理數(shù)Ba0Cb0Db33、方程=4x+5的解是（ ）.Ax=-3或x=-Bx=3或x=Cx=-Dx=-34、若關(guān)于x的方程10-與方程8-2x=3x-2的解相同，則k的值為( )A.0B.2C.3D.45、當(dāng)a= 時(shí)，方程的解是x=0.6、若（1-3x）2+=0,，則6+m2= .7、a+b=0，可得a=；由a-b=0,可得a= ;由ab=1,可得a= 8、若與互為相反數(shù)，則a等于 9、是方程的解，則 10、方程，則 11、已知方程(m+1)xm+3=0是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值是 12、在等式中，已知，則 13、甲、乙兩人在相距10千米的A、B兩地相向而行，甲每小時(shí)走x千米，乙每小時(shí)走2x千米，兩人同時(shí)出發(fā)1.5小時(shí)后相遇，列方程可得 14、將1000元人民幣存入銀行2年，年利息為5，到期后，扣除20的