第二章導(dǎo)數(shù)與微分.doc

第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 教學(xué)目標(biāo)1理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念。2了解導(dǎo)數(shù)與微分的幾何意義及高階導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的可異性與連續(xù)性的關(guān)系。3知道微分形成的不變性及一些近似計(jì)算公式。4熟練掌握導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則及基本公式，能熟練求出初等函數(shù)的一二階導(dǎo)數(shù)。5掌握隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)方法。6會(huì)用導(dǎo)數(shù)與微分解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)歸納1本章的知識(shí)點(diǎn)是：導(dǎo)數(shù)與微分的定義及意義，導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算公式及法則；反函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程的求導(dǎo)法則及高階導(dǎo)數(shù)的含義、導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用。2本章重點(diǎn)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)與微分的概念及意義，初等函數(shù)求導(dǎo)公式及法則，尤其是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。3學(xué)習(xí)建議：在上一章極限的基礎(chǔ)上，來(lái)理解導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)也是極限，是函數(shù)增量與自變量增量比的極限，可簡(jiǎn)記為一差，二比，三極限（）；必須熟記求導(dǎo)公式及法則，而復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)是本章的關(guān)鍵所在，求導(dǎo)過(guò)程中，要搞清復(fù)合的過(guò)程，逐層求導(dǎo)，一求到底；對(duì)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，記住y是x的函數(shù)，一般是方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，再解出;參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)，把參數(shù)看成中間變量，兩個(gè)變量y、x分別對(duì)參數(shù)t求導(dǎo)再比；求微分有兩種方法：微分形式不變形性；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用在下一章有進(jìn)一步闡述，本章要求理解導(dǎo)數(shù)是反映函數(shù)變化率的問(wèn)題，會(huì)用導(dǎo)數(shù)來(lái)求切、法線(xiàn)方程，微分的應(yīng)用體現(xiàn)在求函數(shù)增量的近似值、函數(shù)值的近似值以及進(jìn)行誤差估計(jì)。綜合測(cè)試題（一）選擇題1若（）式所示的極限存在，則稱(chēng)在x=0處的導(dǎo)數(shù)存在。A. B.C. D.2平均變化率是（）。A只與x有關(guān)的 B只與有關(guān)的C與x及都有關(guān)的 D與x和都無(wú)關(guān)的3函數(shù)在x=0點(diǎn)（）。A連續(xù)且可導(dǎo) B不可導(dǎo)C不連續(xù) D連續(xù)但不可導(dǎo)4已知直線(xiàn)y=x與對(duì)數(shù)曲線(xiàn)相切，那么a的值是（）。Ae BC D5是下列（）中函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。A BC D6函數(shù)在x=1處（）。A連續(xù)且可導(dǎo) B連續(xù)不可導(dǎo) C既不連續(xù)也不可導(dǎo) 7函數(shù)在處左右導(dǎo)數(shù)存在是該函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)存在的（）條件。A充分 B必要C充要8設(shè)，若a是（）時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)可微。A無(wú)窮小 B關(guān)于的無(wú)窮小C關(guān)于的同階無(wú)窮小 D關(guān)于的高階無(wú)窮小9已知，則。A B C D10已知，則。A BC D（二）判斷正誤1若在處不可導(dǎo)，則在處必不連續(xù)。（）2如果函數(shù)處處可導(dǎo)，則曲線(xiàn)處處有切線(xiàn)。（）3如果存在，則存在。（）4函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于。（）5若在處可導(dǎo)，則在處必有定義。（）6若，則曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于x軸。（）7若，則。8二階導(dǎo)數(shù)表示一階導(dǎo)數(shù)的變化率。（）9若，則是一個(gè)18次多項(xiàng)式。（）10基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)必然是處處可導(dǎo)可微。（）（三）填空題1設(shè)存在，則。2設(shè)可導(dǎo)，則。3函數(shù)在的改變量于微分之差。4已知，則。5是單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)，且，則。6若在處可導(dǎo)，則。7設(shè)可導(dǎo)，則。8設(shè)，則表示函數(shù)在區(qū)間上的（），反映函數(shù)在處（）。9設(shè)，則。10當(dāng)x滿(mǎn)足（）時(shí)，曲線(xiàn)上切線(xiàn)的傾斜角為銳角。（四）求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)1 23 45（五）計(jì)算1求的二階導(dǎo)數(shù)2求的微分3計(jì)算的近似值4求參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)（六）有一圓柱，高為25厘米，半徑為厘米，試求這圓柱的體積的相對(duì)誤差及圓柱側(cè)面積的相對(duì)誤差。參考答案應(yīng)用與實(shí)踐1、一飛機(jī)在地平面上空2公里處作水平飛行，速度為每小時(shí)200公里，機(jī)是上觀測(cè)器瞄準(zhǔn)前方某地面目標(biāo)進(jìn)行攝影，問(wèn)當(dāng)俯角為900時(shí)，觀測(cè)器轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為多少？2、有一底半徑為厘米、高為厘米的正圓錐形容器，以每秒立方厘米的速率往容器中倒水，試求容器內(nèi)水位等于錐高一半時(shí)，水面的上升速度。3、有一梯子長(zhǎng)10米，上端靠墻面，下端著地，當(dāng)梯子下端沿著垂直墻面的方向遠(yuǎn)離墻角時(shí)，梯子上端沿墻面垂直向下滑落。當(dāng)梯子下端位于離墻角6米處以2米/分垂直墻面離開(kāi)墻角時(shí)，問(wèn)梯子上端沿墻面垂直向下滑落的速度是多少？參 考 答 案1、設(shè)時(shí)飛機(jī)的投影與地面目標(biāo)的距離為公里，觀測(cè)器俯角為，則。求導(dǎo)得，。已知公里/小時(shí)，負(fù)號(hào)表示是減少的。當(dāng)=900時(shí)，。此時(shí)觀測(cè)器轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為弧度/小時(shí)=度/秒。2、設(shè)在某時(shí)刻時(shí)，容器中水高為，則此時(shí)水的體積，所以。這就確定了水的高度與時(shí)間的關(guān)系。水面的上升速度就是關(guān)于時(shí)間的變化率，也就是。對(duì)上式兩端關(guān)于求導(dǎo)數(shù)，得。當(dāng)時(shí)，得，這就是容器內(nèi)水位等于錐高一半時(shí)，水面的上升速度。3、當(dāng)梯子下端沿著垂直墻面的方向遠(yuǎn)離墻角時(shí)，設(shè)時(shí)間為分時(shí)，梯子上端與地面的垂直距離為米，梯子下端與墻面的垂直距離是米，則梯子上端沿墻面垂直向下滑落的速度為，梯子下端沿著