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第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 教學(xué)目標(biāo)1理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念。2了解導(dǎo)數(shù)與微分的幾何意義及高階導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)的可異性與連續(xù)性的關(guān)系。3知道微分形成的不變性及一些近似計(jì)算公式。4熟練掌握導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則及基本公式,能熟練求出初等函數(shù)的一二階導(dǎo)數(shù)。5掌握隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)方法。6會(huì)用導(dǎo)數(shù)與微分解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)歸納1本章的知識(shí)點(diǎn)是:導(dǎo)數(shù)與微分的定義及意義,導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算公式及法則;反函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程的求導(dǎo)法則及高階導(dǎo)數(shù)的含義、導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用。2本章重點(diǎn)內(nèi)容:導(dǎo)數(shù)與微分的概念及意義,初等函數(shù)求導(dǎo)公式及法則,尤其是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。3學(xué)習(xí)建議:在上一章極限的基礎(chǔ)上,來(lái)理解導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)也是極限,是函數(shù)增量與自變量增量比的極限,可簡(jiǎn)記為一差,二比,三極限();必須熟記求導(dǎo)公式及法則,而復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)是本章的關(guān)鍵所在,求導(dǎo)過(guò)程中,要搞清復(fù)合的過(guò)程,逐層求導(dǎo),一求到底;對(duì)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),記住y是x的函數(shù),一般是方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),再解出;參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù),把參數(shù)看成中間變量,兩個(gè)變量y、x分別對(duì)參數(shù)t求導(dǎo)再比;求微分有兩種方法:微分形式不變形性;導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用在下一章有進(jìn)一步闡述,本章要求理解導(dǎo)數(shù)是反映函數(shù)變化率的問(wèn)題,會(huì)用導(dǎo)數(shù)來(lái)求切、法線(xiàn)方程,微分的應(yīng)用體現(xiàn)在求函數(shù)增量的近似值、函數(shù)值的近似值以及進(jìn)行誤差估計(jì)。綜合測(cè)試題(一)選擇題1若()式所示的極限存在,則稱(chēng)在x=0處的導(dǎo)數(shù)存在。A. B.C. D.2平均變化率是()。A只與x有關(guān)的 B只與有關(guān)的C與x及都有關(guān)的 D與x和都無(wú)關(guān)的3函數(shù)在x=0點(diǎn)()。A連續(xù)且可導(dǎo) B不可導(dǎo)C不連續(xù) D連續(xù)但不可導(dǎo)4已知直線(xiàn)y=x與對(duì)數(shù)曲線(xiàn)相切,那么a的值是()。Ae BC D5是下列()中函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。A BC D6函數(shù)在x=1處()。A連續(xù)且可導(dǎo) B連續(xù)不可導(dǎo) C既不連續(xù)也不可導(dǎo) 7函數(shù)在處左右導(dǎo)數(shù)存在是該函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)存在的()條件。A充分 B必要C充要8設(shè),若a是()時(shí),函數(shù)在點(diǎn)可微。A無(wú)窮小 B關(guān)于的無(wú)窮小C關(guān)于的同階無(wú)窮小 D關(guān)于的高階無(wú)窮小9已知,則。A B C D10已知,則。A BC D(二)判斷正誤1若在處不可導(dǎo),則在處必不連續(xù)。()2如果函數(shù)處處可導(dǎo),則曲線(xiàn)處處有切線(xiàn)。()3如果存在,則存在。()4函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于。()5若在處可導(dǎo),則在處必有定義。()6若,則曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于x軸。()7若,則。8二階導(dǎo)數(shù)表示一階導(dǎo)數(shù)的變化率。()9若,則是一個(gè)18次多項(xiàng)式。()10基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)必然是處處可導(dǎo)可微。()(三)填空題1設(shè)存在,則。2設(shè)可導(dǎo),則。3函數(shù)在的改變量于微分之差。4已知,則。5是單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù),且,則。6若在處可導(dǎo),則。7設(shè)可導(dǎo),則。8設(shè),則表示函數(shù)在區(qū)間上的(),反映函數(shù)在處()。9設(shè),則。10當(dāng)x滿(mǎn)足()時(shí),曲線(xiàn)上切線(xiàn)的傾斜角為銳角。(四)求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)1 23 45(五)計(jì)算1求的二階導(dǎo)數(shù)2求的微分3計(jì)算的近似值4求參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)(六)有一圓柱,高為25厘米,半徑為厘米,試求這圓柱的體積的相對(duì)誤差及圓柱側(cè)面積的相對(duì)誤差。參考答案應(yīng)用與實(shí)踐1、一飛機(jī)在地平面上空2公里處作水平飛行,速度為每小時(shí)200公里,機(jī)是上觀測(cè)器瞄準(zhǔn)前方某地面目標(biāo)進(jìn)行攝影,問(wèn)當(dāng)俯角為900時(shí),觀測(cè)器轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為多少?2、有一底半徑為厘米、高為厘米的正圓錐形容器,以每秒立方厘米的速率往容器中倒水,試求容器內(nèi)水位等于錐高一半時(shí),水面的上升速度。3、有一梯子長(zhǎng)10米,上端靠墻面,下端著地,當(dāng)梯子下端沿著垂直墻面的方向遠(yuǎn)離墻角時(shí),梯子上端沿墻面垂直向下滑落。當(dāng)梯子下端位于離墻角6米處以2米/分垂直墻面離開(kāi)墻角時(shí),問(wèn)梯子上端沿墻面垂直向下滑落的速度是多少?參 考 答 案1、設(shè)時(shí)飛機(jī)的投影與地面目標(biāo)的距離為公里,觀測(cè)器俯角為,則。求導(dǎo)得,。已知公里/小時(shí),負(fù)號(hào)表示是減少的。當(dāng)=900時(shí),。此時(shí)觀測(cè)器轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為弧度/小時(shí)=度/秒。2、設(shè)在某時(shí)刻時(shí),容器中水高為,則此時(shí)水的體積,所以。這就確定了水的高度與時(shí)間的關(guān)系。水面的上升速度就是關(guān)于時(shí)間的變化率,也就是。對(duì)上式兩端關(guān)于求導(dǎo)數(shù),得。當(dāng)時(shí),得,這就是容器內(nèi)水位等于錐高一半時(shí),水面的上升速度。3、當(dāng)梯子下端沿著垂直墻面的方向遠(yuǎn)離墻角時(shí),設(shè)時(shí)間為分時(shí),梯子上端與地面的垂直距離為米,梯子下端與墻面的垂直距離是米,則梯子上端沿墻面垂直向下滑落的速度為,梯子下端沿著

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