2013年中考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練.doc

2013年中考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練第一部分 函數(shù)圖象中點(diǎn)的存在性問題1.1 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題 例1 2012年蘇州市中考第29題例2 2012年黃岡市中考第25題例3 2011年上海市閘北區(qū)中考模擬第25題例4 2011年上海市楊浦區(qū)中考模擬第24題例5 2010年義烏市中考第24題例6 2010年上海市寶山區(qū)中考模擬第24題例7 2009年臨沂市中考第26題例8 2009年上海市閘北區(qū)中考模擬第25題例9 2008年蘇州市中考第29題1.2 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題例1 2012年揚(yáng)州市中考第27題例2 2012年臨沂市中考第26題例3 2011年湖州市中考第24題例4 2011年鹽城市中考第28題例5 2010年上海市閘北區(qū)中考模擬第25題例6 2010年南通市中考第27題例7 2009年重慶市中考第26題例8 2009年江西省中考第25題1.3 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題例1 2012年廣州市中考第24題例2 2012年杭州市中考第22題例3 2011年沈陽市中考第25題例4 2011年浙江省中考第23題例5 2010年北京市中考第24題例6 2009年嘉興市中考第24題例7 2008年河南省中考第23題例8 2008年河南省中考第23題1.4 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題例1 2012年福州市中考第21題例2 2012年煙臺市中考第26題例3 2011年上海市中考第24題例4 2011年江西省中考第24題例5 2010年河南省中考第23題例6 2010年山西省中考第26題例7 2009年福州市中考第21題例8 2009年江西省中考第24題1.5 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的梯形問題例1 2012年上海市松江中考模擬第24題例2 2012年衢州市中考第24題 例3 2011年北京市海淀區(qū)中考模擬第24題例4 2011年義烏市中考第24題例5 2010年杭州市中考第24題例6 2010年上海市奉賢區(qū)中考模擬第24題例7 2009年廣州市中考第25題1.6 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題例1 2012年菏澤市中考第21題例2 2012年河南省中考第23題例3 2011年南通市中考第28題例4 2011年上海市松江區(qū)中考模擬第24題例5 2010年廣州市中考第25題例6 2010年揚(yáng)州市中考第28題例7 2009年蘭州市中考第29題1.7因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相切問題例1 2012年河北省中考第25題 例2 2012年無錫市中考第28題1.8因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段和差問題例1 2012年濱州市中考第24題例2 2012年山西省中考第26題第二部分 圖形運(yùn)動(dòng)中的函數(shù)關(guān)系問題2.1 由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題例1 2012年上海市徐匯區(qū)中考模擬第25題例2 2012年連云港市中考第26題例3 2010年上海市中考第25題2.2 由面積公式產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題例1 2012年廣東省中考第22題 例2 2012年河北省中考第26題 例3 2011年淮安市中考第28題例4 2011年山西省中考第26題例5 2011年重慶市中考第26題版 權(quán) 聲 明選自東師范大學(xué)出版社出版的挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題（含光盤）一書。該書收錄當(dāng)年全國各地具有代表性的中考數(shù)學(xué)壓軸題， 并把它們分為4部分、24小類。該書最大的特色是用幾何畫板和超級畫板做成電腦課件，并為每一題錄制了視頻講解，讓你在動(dòng)態(tài)中體驗(yàn)壓軸題的變與不變，獲得清晰的解題思路，完成滿分解答，拓展思維訓(xùn)練。挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題自出版以來廣受讀者歡迎，被評為優(yōu)秀暢銷圖書。在上海、北京、江蘇、浙江等省市的名牌初中的畢業(yè)班學(xué)生中，幾乎人手一本，成為沖刺名牌高中必備用書。由于格式問題，該書最具特色的電腦課件和視頻文件在此無法一并附上，敬請?jiān)?。第一部?函數(shù)圖象中點(diǎn)的存在性問題1.1 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題 例1 2012年蘇州市中考第29題如圖1，已知拋物線（b是實(shí)數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為_，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）請你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由圖1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“12蘇州29”，拖動(dòng)點(diǎn)B在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，存在四邊形PCOB的面積等于2b的時(shí)刻雙擊按鈕“第（3）題”，拖動(dòng)點(diǎn)B，可以體驗(yàn)到，存在OQAB的時(shí)刻，也存在OQAB的時(shí)刻思路點(diǎn)撥1第（2）題中，等腰直角三角形PBC暗示了點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等2聯(lián)結(jié)OP，把四邊形PCOB重新分割為兩個(gè)等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示3第（3）題要探究三個(gè)三角形兩兩相似，第一直覺這三個(gè)三角形是直角三角形，點(diǎn)Q最大的可能在經(jīng)過點(diǎn)A與x軸垂直的直線上滿分解答（1）B的坐標(biāo)為(b, 0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0, )（2）如圖2，過點(diǎn)P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，那么PDBPEC因此PDPE設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, x)如圖3，聯(lián)結(jié)OP所以S四邊形PCOBSPCOSPBO2b解得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為()圖2 圖3（3）由，得A(1, 0)，OA1如圖4，以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC，那么OQCQOA當(dāng)，即時(shí)，BQAQOA所以解得所以符合題意的點(diǎn)Q為()如圖5，以O(shè)C為直徑的圓與直線x1交于點(diǎn)Q，那么OQC90。因此OCQQOA當(dāng)時(shí)，BQAQOA此時(shí)OQB90所以C、Q、B三點(diǎn)共線因此，即解得此時(shí)Q(1,4)圖4 圖5考點(diǎn)伸展第（3）題的思路是，A、C、O三點(diǎn)是確定的，B是x軸正半軸上待定的點(diǎn)，而QOA與QOC是互余的，那么我們自然想到三個(gè)三角形都是直角三角形的情況這樣，先根據(jù)QOA與QOC相似把點(diǎn)Q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對應(yīng)成比例確定點(diǎn)B的位置如圖中，圓與直線x1的另一個(gè)交點(diǎn)會不會是符合題意的點(diǎn)Q呢？如果符合題意的話，那么點(diǎn)B的位置距離點(diǎn)A很近，這與OB4OC矛盾例2 2012年黃岡市中考模擬第25題如圖1，已知拋物線的方程C1： (m0)與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)（1）若拋物線C1過點(diǎn)M(2, 2)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)H，使得BHEH最小，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由圖1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“12黃岡25”，拖動(dòng)點(diǎn)C在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，觀察左圖，可以體驗(yàn)到，EC與BF保持平行，但是BFC在無限遠(yuǎn)處也不等于45觀察右圖，可以體驗(yàn)到，CBF保持45，存在BFCBCE的時(shí)刻思路點(diǎn)撥1第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BHEH最小2第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF，作CBFEBC45，或者作BF/EC再用含m的式子表示點(diǎn)F的坐標(biāo)然后根據(jù)夾角相等，兩邊對應(yīng)成比例列關(guān)于m的方程滿分解答（1）將M(2, 2)代入，得解得m4（2）當(dāng)m4時(shí)，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1，當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BHEH最小設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為P，那么因此解得所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為（4）如圖3，過點(diǎn)B作EC的平行線交拋物線于F，過點(diǎn)F作FFx軸于F由于BCEFBC，所以當(dāng)，即時(shí)，BCEFBC設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程無解圖2 圖3 圖4如圖4，作CBF45交拋物線于F，過點(diǎn)F作FFx軸于F，由于EBCCBF，所以，即時(shí)，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解得綜合、，符合題意的m為考點(diǎn)伸展第（4）題也可以這樣求BF的長：在求得點(diǎn)F、F的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求BF的長例3 2011年上海市閘北區(qū)中考模擬第25題直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90后得到COD，拋物線yax2bxc經(jīng)過A、C、D三點(diǎn)(1) 寫出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；(2) 求經(jīng)過A、C、D三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式，并求拋物線頂點(diǎn)G的坐標(biāo)；(3) 在直線BG上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與COD相似？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“11閘北25”， 拖動(dòng)點(diǎn)Q在直線BG上運(yùn)動(dòng)， 可以體驗(yàn)到，ABQ的兩條直角邊的比為13共有四種情況，點(diǎn)B上、下各有兩種思路點(diǎn)撥1圖形在旋轉(zhuǎn)過程中，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角2用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，用配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)3第（3）題判斷ABQ90是解題的前提4ABQ與COD相似，按照直角邊的比分兩種情況，每種情況又按照點(diǎn)Q與點(diǎn)B的位置關(guān)系分上下兩種情形，點(diǎn)Q共有4個(gè)滿分解答（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(1，0)（2）因?yàn)閽佄锞€yax2bxc經(jīng)過A(3，0)、C(0，3)、D(1，0) 三點(diǎn)，所以 解得 所以拋物線的解析式為yx22x3(x1)24，頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1，4)（3）如圖2，直線BG的解析式為y3x1，直線CD的解析式為y3x3，因此CD/BG因?yàn)閳D形在旋轉(zhuǎn)過程中，對應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，所以ABCD因此ABBG，即ABQ90因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線BG上，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，3x1)，那么RtCOD的兩條直角邊的比為13，如果RtABQ與RtCOD相似，存在兩種情況：當(dāng)時(shí)，解得所以，當(dāng)時(shí)，解得所以， 圖2 圖3考點(diǎn)伸展第（3）題在解答過程中運(yùn)用了兩個(gè)高難度動(dòng)作：一是用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明ABBG；二是我們換個(gè)思路解答第（3）題：如圖3，作GHy軸，QNy軸，垂足分別為H、N通過證明AOBBHG，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，可以證明ABG90在RtBGH中，當(dāng)時(shí)，在RtBQN中，當(dāng)Q在B上方時(shí)，；當(dāng)Q在B下方時(shí)，當(dāng)時(shí)，同理得到，例4 2011年上海市楊浦區(qū)中考模擬第24題RtABC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖1所示，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象與BC邊交于點(diǎn)D（4，m），與AB邊交于點(diǎn)E（2，n），BDE的面積為2（1）求m與n的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)tanA時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式和直線AB的表達(dá)式；（3）設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)P在射線FD上，在（2）的條件下，如果AEO與EFP 相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)圖1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“11楊浦24”，拖動(dòng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，直線AB保持斜率不變，n始終等于m的2倍，雙擊按鈕“面積BDE2”，可以看到，點(diǎn)E正好在BD的垂直平分線上，F(xiàn)D/x軸拖動(dòng)點(diǎn)P在射線FD上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，AEO與EFP 相似存在兩種情況思路點(diǎn)撥1探求m與n的數(shù)量關(guān)系，用m表示點(diǎn)B、D、E的坐標(biāo)，是解題的突破口2第（2）題留給第（3）題的隱含條件是FD/x軸3如果AEO與EFP 相似，因?yàn)閵A角相等，根據(jù)對應(yīng)邊成比例，分兩種情況滿分解答（1）如圖1，因?yàn)辄c(diǎn)D（4，m）、E（2，n）在反比例函數(shù)的圖象上，所以 整理，得n2m（2）如圖2，過點(diǎn)E作EHBC，垂足為H在RtBEH中，tanBEHtanA，EH2，所以BH1因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m1)已知BDE的面積為2，所以解得m1因此D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)因?yàn)辄c(diǎn)D（4，1）在反比例函數(shù)的圖象上，所以k4因此反比例函數(shù)的解析式為設(shè)直線AB的解析式為ykxb，代入B(4，3)、E(2，2)，得 解得，因此直線AB的函數(shù)解析式為圖2 圖3 圖4（3）如圖3，因?yàn)橹本€與y軸交于點(diǎn)F（0，1），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1），所以FD/ x軸，EFPEAO因此AEO與EFP 相似存在兩種情況：如圖3，當(dāng)時(shí)，解得FP1此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）如圖4，當(dāng)時(shí)，解得FP5此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，1）考點(diǎn)伸展本題的題設(shè)部分有條件“RtABC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖1所示”，如果沒有這個(gè)條件限制，保持其他條件不變，那么還有如圖5的情況：第（1）題的結(jié)論m與n的數(shù)量關(guān)系不變第（2）題反比例函數(shù)的解析式為，直線AB為第（3）題FD不再與x軸平行，AEO與EFP 也不可能相似圖5例5 2010年義烏市中考第24題如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點(diǎn)O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移，分別交拋物線于點(diǎn)O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、 B1的坐標(biāo)分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代數(shù)式表示x2x1，并求出當(dāng)S=36時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo)；（3）在圖1中，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，3)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著線段BC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段DM運(yùn)動(dòng)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，是否存在某一時(shí)刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由 圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“10義烏24”，拖動(dòng)點(diǎn)I上下運(yùn)動(dòng)，觀察圖形和圖象，可以體驗(yàn)到，x2x1隨S的增大而減小雙擊按鈕“第（3）題”，拖動(dòng)點(diǎn)Q在DM上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，如果GAFGQE，那么GAF與GQE相似思路點(diǎn)撥1第（2）題用含S的代數(shù)式表示x2x1，我們反其道而行之，用x1，x2表示S再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2y13通過代數(shù)變形就可以了2第（3）題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計(jì)算結(jié)果的情況下，無法畫出準(zhǔn)確的位置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說理計(jì)算，后驗(yàn)證3第（3）題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線AB與拋物線的對稱軸的夾角不變變化的直線PQ的斜率，因此假設(shè)直線PQ與AB的交點(diǎn)G在x軸的下方，或者假設(shè)交點(diǎn)G在x軸的上方滿分解答（1）拋物線的對稱軸為直線，解析式為，頂點(diǎn)為M（1，）（2） 梯形O1A1B1C1的面積，由此得到由于，所以整理，得因此得到當(dāng)S=36時(shí)， 解得 此時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（6，3）（3）設(shè)直線AB與PQ交于點(diǎn)G，直線AB與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E，直線PQ與x軸交于點(diǎn)F，那么要探求相似的GAF與GQE，有一個(gè)公共角G在GEQ中，GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角，為定值在GAF中，GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF這時(shí)GAFGQEPQD由于，所以解得 圖3 圖4考點(diǎn)伸展第（3）題是否存在點(diǎn)G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的事實(shí)上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實(shí)際的圖形更接近圖3例6 2010年上海市寶山區(qū)中考模擬第24題如圖1，已知點(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B (1，0)都在拋物線上（1）求m、n；（2）向右平移上述拋物線，記平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B，若四邊形A ABB為菱形，求平移后拋物線的表達(dá)式；（3）記平移后拋物線的對稱軸與直線AB 的交點(diǎn)為C，試在x軸上找一個(gè)點(diǎn)D，使得以點(diǎn)B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“10寶山24”，拖動(dòng)點(diǎn)A向右平移，可以體驗(yàn)到，平移5個(gè)單位后，四邊形A ABB為菱形再拖動(dòng)點(diǎn)D在x軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，BCD與ABC相似有兩種情況思路點(diǎn)撥1點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)在3個(gè)題目中處處用到，各具特色第（1）題用在待定系數(shù)法中；第（2）題用來計(jì)算平移的距離；第（3）題用來求點(diǎn)B 的坐標(biāo)、AC和BC的長2拋物線左右平移，變化的是對稱軸，開口和形狀都不變3探求ABC與BCD相似，根據(jù)菱形的性質(zhì)，BACCBD，因此按照夾角的兩邊對應(yīng)成比例，分兩種情況討論滿分解答(1) 因?yàn)辄c(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B (1，0)都在拋物線上，所以 解得，(2)如圖2，由點(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B (1，0)，可得AB5因?yàn)樗倪呅蜛 ABB為菱形，所以A ABB AB5因?yàn)?，所以原拋物線的對稱軸x1向右平移5個(gè)單位后，對應(yīng)的直線為x4因此平移后的拋物線的解析式為圖2(3) 由點(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B (6，0)，可得A B如圖2，由AM/CN，可得，即解得所以根據(jù)菱形的性質(zhì)，在ABC與BCD中，BACCBD如圖3，當(dāng)時(shí)，解得此時(shí)OD3，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）如圖4，當(dāng)時(shí)，解得此時(shí)OD，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0） 圖3 圖4考點(diǎn)伸展在本題情境下，我們還可以探求BCD與AB B相似，其實(shí)這是有公共底角的兩個(gè)等腰三角形，容易想象，存在兩種情況我們也可以討論BCD與CB B相似，這兩個(gè)三角形有一組公共角B，根據(jù)對應(yīng)邊成比例，分兩種情況計(jì)算例7 2009年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三點(diǎn)（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與OAC相似？若存在，請求出符合條件的 點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點(diǎn)D，使得DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo),圖1動(dòng)感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“09臨沂26”，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，PAM的形狀在變化，分別雙擊按鈕“P在B左側(cè)”、“ P在x軸上方”和“P在A右側(cè)”，可以顯示PAM與OAC相似的三個(gè)情景雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動(dòng)點(diǎn)D在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，觀察DCA的形狀和面積隨D變化的圖象，可以體驗(yàn)到，E是AC的中點(diǎn)時(shí)，DCA的面積最大思路點(diǎn)撥1已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求解析式時(shí)，設(shè)交點(diǎn)式比較簡便2數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長3按照兩條直角邊對應(yīng)成比例，分兩種情況列方程4把DCA可以分割為共底的兩個(gè)三角形，高的和等于OA滿分解答 （1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)C的 坐標(biāo)（0，2），解得所以拋物線的解析式為（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，1x4，如果，那么解得不合題意如果，那么解得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，x4，解方程，得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為解方程，得不合題意如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，x1，解方程，得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為解方程，得此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，不合題意綜上所述，符合條件的 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）或或 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過點(diǎn)D作x軸的垂線交AC于E直線AC的解析式為設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為所以因此當(dāng)時(shí)，DCA的面積最大，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1） 圖5 圖6考點(diǎn)伸展第（3）題也可以這樣解：如圖6，過D點(diǎn)構(gòu)造矩形OAMN，那么DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去CDN和ADM的面積設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為（m，n），那么由于，所以例8 2009年上海市閘北區(qū)中考模擬第25題如圖1，ABC中，AB5，AC3，cosAD為射線BA上的點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合），作DE/BC交射線CA于點(diǎn)E.(1) 若CEx，BDy，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；(2) 當(dāng)分別以線段BD，CE為直徑的兩圓相切時(shí)，求DE的長度；(3) 當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，BC邊上是否存在點(diǎn)F，使ABC與DEF相似？若存在，請求出線段BF的長；若不存在，請說明理由 圖1 備用圖 備用圖動(dòng)感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“09閘北25”，拖動(dòng)點(diǎn)D可以在射線BA上運(yùn)動(dòng)雙擊按鈕“第（2）題”，拖動(dòng)點(diǎn)D可以體驗(yàn)到兩圓可以外切一次，內(nèi)切兩次雙擊按鈕“第（3）題”，再分別雙擊按鈕“DE為腰”和“DE為底邊”，可以體驗(yàn)到，DEF為等腰三角形思路點(diǎn)撥1先解讀背景圖，ABC是等腰三角形，那么第（3）題中符合條件的DEF也是等腰三角形2用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）題的先決條件，注意點(diǎn)E的位置不同，DE、MN表示的形式分兩種情況3求兩圓相切的問題時(shí)，先羅列三要素，再列方程，最后檢驗(yàn)方程的解的位置是否符合題意4第（3）題按照DE為腰和底邊兩種情況分類討論，運(yùn)用典型題目的結(jié)論可以幫助我們輕松解題滿分解答 （1）如圖2，作BHAC，垂足為點(diǎn)H在RtABH中，AB5，cosA，所以AHAC所以BH垂直平分AC，ABC 為等腰三角形，ABCB5 因?yàn)镈E/BC，所以，即于是得到，（）（2）如圖3，圖4，因?yàn)镈E/BC，所以，即，因此，圓心距 圖2 圖3 圖4在M中，在N中，當(dāng)兩圓外切時(shí)，解得或者如圖5，符合題意的解為，此時(shí)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，當(dāng)x6時(shí)，解得，如圖6，此時(shí)E在CA的延長線上，；當(dāng)x6時(shí)，解得，如圖7，此時(shí)E在CA的延長線上， 圖5 圖6 圖7（3）因?yàn)锳BC是等腰三角形，因此當(dāng)ABC與DEF相似時(shí)，DEF也是等腰三角形如圖8，當(dāng)D、E、F為ABC的三邊的中點(diǎn)時(shí)，DE為等腰三角形DEF的腰，符合題意，此時(shí)BF2.5根據(jù)對稱性，當(dāng)F在BC邊上的高的垂足時(shí)，也符合題意，此時(shí)BF4.1如圖9，當(dāng)DE為等腰三角形DEF的底邊時(shí)，四邊形DECF是平行四邊形，此時(shí) 圖8 圖9 圖10 圖11考點(diǎn)伸展第（3）題的情景是一道典型題，如圖10，如圖11，AH是ABC的高，D、E、F為ABC的三邊的中點(diǎn)，那么四邊形DEHF是等腰梯形例9 2008年蘇州市中考第29題圖1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“08蘇州29”，拖動(dòng)表示a的點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)E1和E3時(shí)，直線NE1、NE3和直線AB交于同一個(gè)點(diǎn)G，此時(shí)POBPGN當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)E2和E4時(shí)，直線NE2、NE4和直線AB交于同一個(gè)點(diǎn)G，可以體驗(yàn)到，這個(gè)點(diǎn)G在點(diǎn)N右側(cè)較遠(yuǎn)處思路點(diǎn)撥1求等腰直角三角形OAB斜邊上的高OH，解直角三角形POH求k、b的值2以DN為邊畫正方形及對角線，可以體驗(yàn)到，正方形的頂點(diǎn)和對角線的交點(diǎn)中，有符合題意的點(diǎn)E，寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式就可以求出a3當(dāng)E在x軸上方時(shí)，GNP45，POBPGN，把轉(zhuǎn)化為4當(dāng)E在x軸下方時(shí)，通過估算得到大于10滿分解答（1），（2）由拋物線的解析式，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為因此MN的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），DN3因?yàn)锳OB是等腰直角三角形，如果DNE與AOB相似，那么DNE也是等腰直角三角形如圖2，如果DN為直角邊，那么點(diǎn)E的坐標(biāo)為E1（2，3）或E2（2，3）將E1（2，3）代入，求得此時(shí)拋物線的解析式為將E2（2，3）代入，求得此時(shí)拋物線的解析式為如果DN為斜邊，那么點(diǎn)E的坐標(biāo)為E3或E4將E3代入，求得此時(shí)拋物線的解析式為將E4代入，求得此時(shí)拋物線的解析式為 圖2 圖3對于點(diǎn)E為E1（2，3）和E3，直線NE是相同的，ENP45又OBP45，PP，所以POBPGN因此對于點(diǎn)E為E2（2，3）和E4，直線NE是相同的此時(shí)點(diǎn)G在直線的右側(cè)，又，所以考點(diǎn)伸展在本題情景下，怎樣計(jì)算PB的長？如圖3，作AFAB交OP于F，那么OBCOAF，OFOC，PF，PA，所以1.2 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題例1 2012年揚(yáng)州市中考第27題如圖1，拋物線yax2bxc經(jīng)過A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對稱軸（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PAC的周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“12揚(yáng)州27”，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P落在線段BC上時(shí)，PAPC最小，PAC的周長最小拖動(dòng)點(diǎn)M在拋物線的對稱軸上運(yùn)動(dòng)，觀察MAC的三個(gè)頂點(diǎn)與對邊的垂直平分線的位置關(guān)系，可以看到，點(diǎn)M有1次機(jī)會落在AC的垂直平分線上；點(diǎn)A有2次機(jī)會落在MC的垂直平分線上；點(diǎn)C有2次機(jī)會落在MA的垂直平分線上，但是有1次M、A、C三點(diǎn)共線思路點(diǎn)撥1第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點(diǎn)P在線段BC上時(shí)PAC的周長最小2第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性滿分解答（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(1,0)、B(3, 0)兩點(diǎn)，設(shè)ya(x1)(x3)，代入點(diǎn)C(0 ,3)，得3a3解得a1所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1當(dāng)點(diǎn)P落在線段BC上時(shí)，PAPC最小，PAC的周長最小設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為H由，BOCO，得PHBH2所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1, 2)圖2（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考點(diǎn)伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如圖3，當(dāng)MAMC時(shí)，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1, 1)如圖4，當(dāng)AMAC時(shí)，AM2AC2解方程4m210，得此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,)或(1,)如圖5，當(dāng)CMCA時(shí)，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6當(dāng)M(1, 6)時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，所以此時(shí)符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)圖3 圖4 圖5例2 2012年臨沂市中考第26題如圖1，點(diǎn)A在x軸上，OA4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120至OB的位置（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“12臨沂26”，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，O和B以及OB的垂直平分線與拋物線的對稱軸有一個(gè)共同的交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到O與對稱軸的另一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，B、O、P三點(diǎn)共線請打開超級畫板文件名“12臨沂26”，拖動(dòng)點(diǎn)P，發(fā)現(xiàn)存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形思路點(diǎn)撥1用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗(yàn)2本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點(diǎn)P重合在一起滿分解答（1）如圖2，過點(diǎn)B作BCy軸，垂足為C在RtOBC中，BOC30，OB4，所以BC2，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、A(4, 0)，設(shè)拋物線的解析式為yax(x4)，代入點(diǎn)B，解得所以拋物線的解析式為（3）拋物線的對稱軸是直線x2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, y)當(dāng)OPOB4時(shí)，OP216所以4+y216解得當(dāng)P在時(shí)，B、O、P三點(diǎn)共線（如圖2）當(dāng)BPBO4時(shí)，BP216所以解得當(dāng)PBPO時(shí)，PB2PO2所以解得綜合、，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，如圖2所示圖2 圖3考點(diǎn)伸展如圖3，在本題中，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，那么DOA與OAB是兩個(gè)相似的等腰三角形由，得拋物線的頂點(diǎn)為因此所以DOA30，ODA120例3 2011年湖州市中考第24題如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn)P(0,m)是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)除外），直線PM交AB的延長線于點(diǎn)D（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)APD是等腰三角形時(shí)，求m的值；（3）設(shè)過P、M、B三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2）當(dāng)點(diǎn)P從O向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)請直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過的路長（不必寫解答過程）圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“11湖州24”，拖動(dòng)點(diǎn)P在OC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，APD的三個(gè)頂點(diǎn)有四次機(jī)會可以落在對邊的垂直平分線上雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動(dòng)點(diǎn)P由O向C運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)H在以O(shè)M為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)雙擊按鈕“第(2)題”可以切換思路點(diǎn)撥1用含m的代數(shù)式表示表示APD的三邊長，為解等腰三角形做好準(zhǔn)備2探求APD是等腰三角形，分三種情況列方程求解3猜想點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)難題不變的是直角，會不會找到不變的線段長呢？RtOHM的斜邊長OM是定值，以O(shè)M為直徑的圓過點(diǎn)H、C滿分解答（1）因?yàn)镻C/DB，所以因此PMDM，CPBD2m所以AD4m于是得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4m)（2）在APD中，當(dāng)APAD時(shí)，解得（如圖3）當(dāng)PAPD時(shí)，解得（如圖4）或（不合題意，舍去）當(dāng)DADP時(shí)，解得（如圖5）或（不合題意，舍去）綜上所述，當(dāng)APD為等腰三角形時(shí)，m的值為，或圖3 圖4 圖5（3）點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為考點(diǎn)伸展第（2）題解等腰三角形的問題，其中、用幾何說理的方法，計(jì)算更簡單：如圖3，當(dāng)APAD時(shí)，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以因此，如圖4，當(dāng)PAPD時(shí)，P在AD的垂直平分線上所以DA2PO因此解得第（2）題的思路是這樣的：如圖6，在RtOHM中，斜邊OM為定值，因此以O(shè)M為直徑的G經(jīng)過點(diǎn)H，也就是說點(diǎn)H在圓弧上運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)過的圓心角怎么確定呢？如圖7，P與O重合時(shí)，是點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)，COH45，CGH90圖6 圖7例4 2011年鹽城市中考第28題如圖1，已知一次函數(shù)yx7與正比例函數(shù) 的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)A作ACy軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線l/y軸動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長的速度，沿OCA的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由 圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“11鹽城28”，拖動(dòng)點(diǎn)R由B向O運(yùn)動(dòng)，從圖象中可以看到，APR的面積有一個(gè)時(shí)刻等于8觀察APQ，可以體驗(yàn)到，P在OC上時(shí)，只存在APAQ的情況；P在CA上時(shí)，有三個(gè)時(shí)刻，APQ是等腰三角形思路點(diǎn)撥1把圖1復(fù)制若干個(gè)，在每一個(gè)圖形中解決一個(gè)問題2求APR的面積等于8，按照點(diǎn)P的位置分兩種情況討論事實(shí)上，P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，高是定值4，最大面積為6，因此不存在面積為8的可能3討論等腰三角形APQ，按照點(diǎn)P的位置分兩種情況討論，點(diǎn)P的每一種位置又要討論三種情況滿分解答（1）解方程組 得 所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3，4)令，得所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(7，0)（2）如圖2，當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0t4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如圖3，當(dāng)P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，APR的最大面積為6因此，當(dāng)t2時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8圖2 圖3 圖4我們先討論P(yáng)在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，0t4如圖1，在AOB中，B45，AOB45，OB7，所以O(shè)BAB因此OABAOBB如圖4，點(diǎn)P由O向C運(yùn)動(dòng)的過程中，OPBRRQ，所以PQ/x軸因此AQP45保持不變，PAQ越來越大，所以只存在APQAQP的情況此時(shí)點(diǎn)A在PQ的垂直平分線上，OR2CA6所以BR1，t1我們再來討論P(yáng)在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，4t7在APQ中， 為定值，如圖5，當(dāng)APAQ時(shí)，解方程，得如圖6，當(dāng)QPQA時(shí)，點(diǎn)Q在PA的垂直平分線上，AP2(OROP)解方程，得如7，當(dāng)PAPQ時(shí)，那么因此解方程，得綜上所述，t1或或5或時(shí)，APQ是等腰三角形 圖5 圖6 圖7考點(diǎn)伸展當(dāng)P在CA上，QPQA時(shí)，也可以用來求解例5 2010年上海市閘北區(qū)中考模擬第25題如圖1，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有點(diǎn)A(6, 0)，B(0, 8)，C(4, 0)，點(diǎn)M、N分別為線段AC和射線AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M以2個(gè)單位長度/秒的速度自C向A方向作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以5個(gè)單位長度/秒的速度自A向B方向作勻速運(yùn)動(dòng)，MN交OB于點(diǎn)P(1)求證：MNNP為定值；(2)若BNP與MNA相似，求CM的長；(3)若BNP是等腰三角形，求CM的長圖1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“10閘北25”，拖動(dòng)點(diǎn)M在CA上運(yùn)動(dòng)，可以看到BNP與MNA的形狀隨M的運(yùn)動(dòng)而改變雙擊按鈕“BNPMNA”，可以體驗(yàn)到，此刻兩個(gè)三角形都是直角三角形分別雙擊按鈕“BPBN，N在AB上”、“NBNP”和“BPBN，N在AB的延長線上”，可以準(zhǔn)確顯示等腰三角形BNP的三種情況思路點(diǎn)撥1第（1）題求證MNNP的值要根據(jù)點(diǎn)N的位置分兩種情況這個(gè)結(jié)論為后面的計(jì)算提供了方便2第（2）題探求相似的兩個(gè)三角形有一組鄰補(bǔ)角，通過說理知道這兩個(gè)三角形是直角三角形時(shí)才可能相似3第（3）題探求等腰三角形，要兩級（兩層）分類，先按照點(diǎn)N的位置分類，再按照頂角的頂點(diǎn)分類注意當(dāng)N在AB的延長線上時(shí)，鈍角等腰三角形只有一種情況4探求等腰三角形BNP，N在AB上時(shí)，B是確定的，把夾B的兩邊的長先表示出來，再分類計(jì)算滿分解答(1)如圖2，圖3，作NQx軸，垂足為Q設(shè)點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒在RtANQ中，AN5t，NQ4t ，AQ3t在圖2中，QO63t，MQ105t，所以MNNPMQQO53在圖3中，QO3t6，MQ5t10，所以MNNPMQQO53(2)因?yàn)锽NP與MNA有一組鄰補(bǔ)角，因此這兩個(gè)三角形要么是一個(gè)銳角三角形和一個(gè)鈍角三角形，要么是兩個(gè)直角三角形只有當(dāng)這兩個(gè)三角形都是直角三角形時(shí)才可能相似如圖4，BNPMNA，在RtAMN中，所以解得此時(shí)CM 圖2 圖3 圖4(3)如圖5，圖6，圖7中，即所以當(dāng)N在AB上時(shí)，在BNP中，B是確定的，()如圖5，當(dāng)BPBN時(shí)，解方程，得此時(shí)CM()如圖6，當(dāng)NBNP時(shí)，解方程，得此時(shí)CM()當(dāng)PBPN時(shí)，解方程，得t的值為負(fù)數(shù)，