2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 1.3.1 單調(diào)性與最大（?。┲?第2課時 函數(shù)的最大（小）值課件 新人教A版必修1

1 3函數(shù)的基本性質(zhì) 1 3 1單調(diào)性與最大 小 值 第2課時函數(shù)的最大 小 值 1 最大值 1 定義 一般地 設(shè)函數(shù)y f x 的定義域為i 如果存在實數(shù)m滿足 對于任意的x i 都有 存在x0 i 使得 那么 我們稱m是函數(shù)y f x 的最大值 2 幾何意義 函數(shù)y f x 的最大值是圖象最高點的縱坐標(biāo) f x m f x0 m 2 最小值 1 定義 一般地 設(shè)函數(shù)y f x 的定義域為i 如果存在實數(shù)m滿足 對于任意的x i 都有 存在x0 i 使得 那么 我們稱m是函數(shù)y f x 的最小值 2 幾何意義 函數(shù)y f x 的最小值是圖象最低點的縱坐標(biāo) f x m f x0 m 1 判一判 正確的打 錯誤的打 1 任何函數(shù)都有最大值或最小值 2 函數(shù)的最小值一定比最大值小 3 函數(shù)f x 2x在 2 3 上的最大值為 4 無最小值 答案 1 2 3 3 思一思 在函數(shù)最大值的定義中若只滿足第一條 m是不是函數(shù)的最大值 解析 m不一定是最大值 如函數(shù)f x x2 x r 對任意x r 都有f x 1 但1不是函數(shù)的最大值 因為不存在x0 r 使f x0 1 例1 已知函數(shù)f x 3x2 12x 5 當(dāng)自變量x在下列范圍內(nèi)取值時 求函數(shù)的最大值和最小值 1 x r 2 0 3 3 1 1 解題探究 作出y 3x2 12x 5 x r 的圖象再分別截取x 0 3 x 1 1 上的圖象 看圖象的最高點 最低點的縱坐標(biāo) 圖象法求函數(shù)的最值 解析 f x 3x2 12x 5 3 x 2 2 7 1 當(dāng)x r時 f x 3 x 2 2 7 7 當(dāng)x 2時 取等號 即函數(shù)f x 的最小值為 7 無最大值 2 函數(shù)f x 的圖象如圖所示 由圖可知 函數(shù)f x 在區(qū)間 0 2 上遞減 在區(qū)間 2 3 上遞增 并且f 0 5 f 2 7 f 3 4 所以在區(qū)間 0 3 上 函數(shù)f x 在x 0時取得最大值 最大值為5 在x 2時 取得最小值 最小值為 7 3 由圖象可知 f x 在區(qū)間 1 1 上單調(diào)遞減 f x max f 1 20 f x min f 1 4 方法規(guī)律 1 分段函數(shù)的最大值為各段上最大值的最大者 最小值為各段上最小值的最小者 故求分段函數(shù)的最大值或最小值 應(yīng)先求各段上的最值 再比較即得函數(shù)的最大值 最小值 2 如果函數(shù)的圖象容易作出 畫出分段函數(shù)的圖象 觀察圖象的最高點與最低點 并求其縱坐標(biāo)即得函數(shù)的最大值 最小值 1 作出函數(shù)y x 2 x 1 的圖象 說明函數(shù)的單調(diào)性 并判斷是否存在最大值和最小值 利用單調(diào)性求函數(shù)的最值 方法規(guī)律 1 當(dāng)函數(shù)圖象不好作或無法作出時 往往運用函數(shù)單調(diào)性求最值 2 函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系 1 若函數(shù)在閉區(qū)間 a b 上是減函數(shù) 則f x 在 a b 上的最大值為f a 最小值為f b 若函數(shù)在閉區(qū)間 a b 上是增函數(shù) 則f x 在 a b 上的最大值為f b 最小值為f a 2 求最值時一定要注意所給區(qū)間的開閉 若是開區(qū)間 則不一定有最大 小 值 函數(shù)最值的應(yīng)用 解題探究 利潤 總收益數(shù)r x 生產(chǎn)投入 固定成本 當(dāng)x 400時 f x 60000 100 x是減函數(shù) f x 60000 100 400 25000 當(dāng)x 300時 f x max 25000 即每月生產(chǎn)300臺儀器時利潤最大 最大利潤為25000元 方法規(guī)律 1 解決實際問題 首先要理解題意 然后建立數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題解決 分清各種數(shù)據(jù)之間的關(guān)系是正確構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式的關(guān)鍵 2 實際應(yīng)用問題中 最大利潤 用料最省等問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值來解決 本題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值 利用配方法和分類討論思想使問題得到解決 3 商店每月按出廠價每瓶3元購進一種飲料 根據(jù)以前的統(tǒng)計數(shù)據(jù) 若零售價定為每瓶4元 每月可銷售400瓶 若每瓶售價每降低0 05元 則可多銷售40瓶 在每月的進貨當(dāng)月銷售完的前提下 請你給該商店設(shè)計一個方案 銷售價應(yīng)定為多少元和從工廠購進多少瓶時 才可獲得最大的利潤 示例 求二次函數(shù)f x x2 2ax 2在 2 4 上的最小值 分類討論不全面導(dǎo)致二次函數(shù)求最值出錯 錯因 對稱軸平移過程中各種情況考慮不全面 粗心大意 分類討論意識不強 實際上 在解答本類問題時 時刻關(guān)注對稱軸與定義域的關(guān)系 結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可 警示 含字母參數(shù)的二次函數(shù) 參數(shù)影響二次函數(shù)的對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系 進而影響函數(shù)的單調(diào)性與最值 求解相關(guān)問題時 經(jīng)常運用分類討論思想求解 分類討論時應(yīng)做到不重不漏 1 函數(shù)最值定義中兩個條件缺一不可 若只有m f x 或m f x m不是最大 小 值 如f x x2 x r 對任意x r 都有f x 1成立 但1不是最大值 否則大于0的任意實數(shù)都是最大值了 最大 小 值的核心就是不等式f x m 或f x m 故也不能單憑存在x0 i 使得f x0 m這一條件去確定最值 3 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值探求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題 一般要先作出y f x 的草圖 然后根據(jù)圖象的增減性進行研究 特別要注意二次函數(shù)的對稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系 它是求解二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問題的主要依據(jù) 并且最大 小 值不一定在頂點處取得 答案 b 答案 d 解