合肥市2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（合肥一中、合肥六中） Word版含解析

2018-2019學(xué)年第二學(xué)期合肥一中合肥六中高一年級期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的）1.若且，則下列不等式成立的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)對四個選項逐一判斷.【詳解】選項A: ，符合，但不等式不成立，故本選項是錯誤的；選項B:當(dāng)符合已知條件，但零沒有倒數(shù)，故不成立 ，故本選項是錯誤的；選項C:當(dāng)時，不成立，故本選項是錯誤的；選項D:因為，所以根據(jù)不等式的性質(zhì)，由能推出，故本選項是正確的，因此本題選D.【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)，舉特例是解決這類問題的常見方法.2.若是的內(nèi)角，且，則與的關(guān)系正確的是( )A. B. C. D. 無法確定【答案】B【解析】【分析】運用正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)換，再利用大邊對大角，就可以選出正確答案.【詳解】由正弦定理可知：,，因此本題選B.【點睛】本題考查了正弦定理，考查了三角形大邊對大角的性質(zhì).3.已知實數(shù)依次成等比數(shù)列，則實數(shù)的值為( )A. 3或3B. 3C. 3D. 不確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)可以得到一個方程，解方程，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，可以求出實數(shù)的值.【詳解】因為實數(shù)依次成等比數(shù)列，所以有當(dāng)時，顯然不存在這樣的實數(shù)，故，因此本題選C.【點睛】本題考查了等比中項的性質(zhì)，本題易出現(xiàn)選A的錯誤結(jié)果，就是沒有對等比數(shù)列各項的正負(fù)性的性質(zhì)有個清晰的認(rèn)識.4.在中，角的對邊分別為，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】分析】四個選項角度均為銳角，則分別比較和之間、與之間的大小關(guān)系，從而得到三角形解的個數(shù).【詳解】選項：，又 三角形有一個解，則錯誤；選項： 三角形無解，則錯誤；選項： 三角形有一個解，則錯誤；選項：，又 三角形有兩個解，則正確本題正確選項：【點睛】本題考查三角形解的個數(shù)的求解，關(guān)鍵是能夠熟練掌握作圓法，通過與、與之間大小關(guān)系的比較得到結(jié)果.5.古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何?”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少?”根據(jù)上題的已知條件，若使得該女子所織布的尺數(shù)不少于10尺，則該女子所需的天數(shù)至少為（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知女子每天織布數(shù)成等比數(shù)列且公比，利用構(gòu)造方程求得；利用可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，女子每天織布數(shù)成等比數(shù)列，且公比，解得：若，解得：該女子所織布尺數(shù)不少于尺，至少需要天本題正確選項：【點睛】本題考查等比數(shù)列前項和的求解和應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用等比數(shù)列求和公式，屬于基礎(chǔ)題.6.若關(guān)于的不等式的解集為，其中為常數(shù)，則不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的解集可利用韋達(dá)定理構(gòu)造關(guān)于的方程求得；代入所求不等式，解一元二次不等式即可得到結(jié)果.【詳解】由解集為可得：解得： 所求不等式為：，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查根據(jù)一元二次不等式的解集求解參數(shù)、一元二次不等式的求解問題；關(guān)鍵是能夠明確不等式解集的端點值與一元二次方程根之間的關(guān)系.7.一艘輪船按照北偏東方向，以18海里/時的速度直線航行，一座燈塔原來在輪船的南偏東方向上，經(jīng)過20分鐘的航行，輪船與燈塔的距離為海里，則燈塔與輪船原來的距離為（ ）A. 6海里B. 12海里C. 6海里或12海里D. 海里【答案】A【解析】【分析】根據(jù)方位角可知，利用余弦定理構(gòu)造方程可解得結(jié)果.【詳解】記輪船最初位置為，燈塔位置為，分鐘后輪船位置為，如下圖所示：由題意得：，則，即：，解得：即燈塔與輪船原來的距離為海里本題正確選項：【點睛】本題考查解三角形的實際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠利用余弦定理構(gòu)造方程，解方程求得結(jié)果.8.已知等差數(shù)列的前項和為，則的前項和為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)與關(guān)系可求得等差數(shù)列的，利用等差數(shù)列通項公式可求得，進(jìn)而得到；采用裂項相消法可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，又， 當(dāng)時， 整理可得： 則的前項和 本題正確選項：【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式的求解、裂項相消法求解數(shù)列的前項和的問題；關(guān)鍵是能夠根據(jù)與關(guān)系求得數(shù)列通項公式，根據(jù)通項公式的形式準(zhǔn)確采用裂項相消的方法來進(jìn)行求解.9.已知正數(shù)滿足，則的最小值為（ ）A. 5B. C. D. 2【答案】C【解析】分析：根據(jù)題意將已知條件等價轉(zhuǎn)化為，故而可得，利用基本不等式即可得結(jié)果.詳解：正數(shù)滿足，當(dāng)且僅當(dāng)即，時，等號成立，即的最小值為，故選C.點睛：本題主要考查了基本不等式.基本不等式求最值應(yīng)注意問題(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對其前提“一正、二定、三相等”的忽視要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可(2)在運用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件10.已知正項數(shù)列單調(diào)遞增，則使得不等式對任意都成立的的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解不等式可得；根據(jù)單調(diào)遞增可知單調(diào)遞減，則要保證恒成立只需，從而解得結(jié)果.【詳解】由可得：，即 單調(diào)遞增 單調(diào)遞減對任意，有 的取值范圍為：本題正確選項：【點睛】本題考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過解不等式得到恒成立的條件，再結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性得到結(jié)果.11.在斜中，設(shè)角的對邊分別為，已知，是角的內(nèi)角平分線，且，則 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理角化邊可構(gòu)造方程，由可得；利用可構(gòu)造方程求得，利用二倍角公式求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：則為斜三角形 即： 本題正確選項：【點睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識，涉及到正弦定理化簡邊角關(guān)系式、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用、二倍角公式求三角函數(shù)值等知識；關(guān)鍵是能夠通過面積橋的方式構(gòu)造方程解出半角的三角函數(shù)值.12.已知數(shù)列中，且，若存在正整數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得；分別在和時解不等式得到和，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可知，從而得到所求范圍.【詳解】由題意得：即：當(dāng)時，則由得：此時；當(dāng)時，則由得：此時；綜上所述：本題正確選項：【點睛】本題考查數(shù)列性質(zhì)與不等式能成立問題的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過遞推關(guān)系式得到數(shù)列的通項公式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性特點可得到不等式的解集，從而確定解集上下限的最值，進(jìn)而得到結(jié)果.二.填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題目的橫線上）13.已知實數(shù)，滿足不等式組，則的最小值為_【答案】-6【解析】由題得不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域為如圖所示的ABC,當(dāng)直線經(jīng)過點A(0，3)時，直線的縱截距最大，z最小.所以故填-6.14.已知數(shù)列中，則數(shù)列的通項公式為_.【答案】【解析】分析】根據(jù)遞推關(guān)系式可得，從而得到數(shù)列為等比數(shù)列；利用等比數(shù)列通項公式可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由得：數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列 本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查根據(jù)遞推關(guān)系式求解數(shù)列通項公式的問題，關(guān)鍵是能夠?qū)⑦f推關(guān)系式配湊成符合等比數(shù)列的形式，根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得結(jié)果.15.已知的內(nèi)角、的對邊分別為、其面積為，且，則角_?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坑捎嘞叶ɡ砗腿切蚊娣e公式，得，又由同角三角函數(shù)基本關(guān)系，得，得角A【詳解】由余弦定理，的面積，又因為，所以，又因為,得,所以【點睛】對于面積公式，一般考查哪個角就使用哪一個公式，與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化16.每項為正整數(shù)的數(shù)列滿足，且，數(shù)列的前6項和的最大值為，記的所有可能取值的和為，則_.【答案】62【解析】【分析】采用逆推的方法可知所有可能的取值，從而得到；根據(jù)前項和的所有可能結(jié)果可知，作差得到結(jié)果.【詳解】由數(shù)列每項均為正整數(shù)，則采用逆推的方式可得下圖：又前項和所有可能的結(jié)果中最大值為： 本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查根據(jù)數(shù)列各項之間的關(guān)系求解數(shù)列中的項的問題，關(guān)鍵是能夠采用逆推的方式準(zhǔn)確求解出所有可能的取值.三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知關(guān)于的不等式.（1）當(dāng)時，解關(guān)于的不等式；（2）當(dāng)時，解關(guān)于的不等式.【答案】（1）；（2）詳見解析【解析】【分析】（1）將不等式化為即可求得結(jié)果；（2）將不等式化為；當(dāng)時直接求得；當(dāng)時，不等式變?yōu)?，計算的兩根，根?jù)兩根大小關(guān)系討論不等式解集；當(dāng)時，不等式變?yōu)?，根?jù)方程兩根大小關(guān)系即可得到解集.【詳解】（1）當(dāng)時，不等式可化為：不等式的解集為（2）不等式可化為：，（i）當(dāng)時，解得： 不等式解集為（ii）當(dāng)時，的根為：，當(dāng)時， 不等式解集為當(dāng)時，不等式解集當(dāng)時， 不等式解集為（iii）當(dāng)時：此時 不等式解集為或【點睛】本題考查不含參數(shù)和含參數(shù)的一元二次不等式的求解問題；關(guān)鍵是能夠根據(jù)一元二次不等式和二次函數(shù)、一元二次方程之間的關(guān)系，分別在參數(shù)不同范圍的情況下討論一元二次方程根的大小，從而得到解集；易錯點是忽略了二次項系數(shù)為零的情況，導(dǎo)致情況不完整.18.在中，內(nèi)角，的對邊分別為，且.（）求角的值；（）若的面積為，的周長為6，求【答案】（）；（）.【解析】試題分析：（）由正弦定理得，可求；（）由周長得，面積得，以及余弦定理聯(lián)立方程組得.試題解析：（），由正弦定理得：.,，.（），的面積.在中，由余弦定理可得，則,.考點：（1）正弦定理；（2）余弦定理.19.已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列；數(shù)列的前項和，且滿足.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)是等差數(shù)列，可用和表示出和成等比數(shù)列的關(guān)系，解方程組求得和，進(jìn)而得到；利用可得到，可知為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項公式求得；（2）由（1）可得，采用錯位相減法可求得結(jié)果.【詳解】（1）數(shù)列是等差數(shù)列 又，解得： 又，得： 為等比數(shù)列又，解得： （2）由（1）知：則兩式作差得：【點睛】本題考查數(shù)列通項公式的求解、錯位相減法求解數(shù)列的前項和的問題；涉及到等差數(shù)列基本量的計算、根據(jù)遞推關(guān)系證明數(shù)列為等比數(shù)列、錯位相減法的應(yīng)用等知識；關(guān)鍵是能夠根據(jù)通項為等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積的形式確定采用錯位相減法求解數(shù)列的前項和.20.合肥一中、六中為了加強交流，增進(jìn)友誼，兩校準(zhǔn)備舉行一場足球賽，由合肥一中版畫社的同學(xué)設(shè)計一幅矩形宣傳畫，要求畫面面積為，畫面的上、下各留空白，左、右各留空白.（1）如何設(shè)計畫面的高與寬的尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最小?（2）設(shè)畫面的高與寬的比為，且，求為何值時，宣傳畫所用紙張面積最小?【答案】（1）畫面的高，寬時所用紙張面積最小；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)畫面高為，寬為，紙張面積為，可得到，利用基本不等式可求得最小值，同時確定當(dāng)時取最小值，從而得到結(jié)果；（2）畫面高為，寬為，則，根據(jù)的范圍可知，根據(jù)（1）中的表達(dá)式，結(jié)合對號函數(shù)圖象可知時取最小值，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)畫面高為，寬為，紙張面積為則當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號即畫面的高為，寬為時所用紙張面積最小，最小值為：.（2）設(shè)畫面高為，寬為，則，又 由（1）知：由對號函數(shù)性質(zhì)可知：在上單調(diào)遞減，即時，所用紙張面積最小【點睛】本題考查建立合適的函數(shù)模型解決實際問題，重點考查利用基本不等式、對號函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)最值的問題；關(guān)鍵是能夠建立起合適的函數(shù)模型，易錯點是忽略了自變量的取值范圍，造成最值求解錯誤.21.在中，內(nèi)角的對邊分別為.（1）若已知，判斷的形狀；（2）若已知邊上的高為，求的最大值.【答案】（1）是直角三角形；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理將邊化角，利用兩角和差正弦公式化簡可得，根據(jù)角的范圍可知，進(jìn)而得到，從而得到三角形為直角三角形；（2）利用三角形面積構(gòu)造方程，代入余弦定理形式可整理出，即，根據(jù)正弦型函數(shù)的最大值可求得結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理得：即 則，又 為直角三角形 （2）由余弦定理得：又面積為，即代入得：，即： 【點睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識，涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、兩角和差正弦公式、余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用、正弦型函數(shù)最值的求解等知識；求解最值的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值的求解問題.22.已知數(shù)列中，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：；（3）證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）代入可求得；利用可整理得，從而得到，