湖北大冶第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)月考

湖北省大冶市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)10月月考試題（含解析）一、選擇題(共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題目要求)1.已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，數(shù)列滿足，且，則（ ）A. 8B. 16C. 32D. 64【答案】C【解析】【分析】先確定為等差數(shù)列，由等差的性質(zhì)得進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式和的通項(xiàng)公式，則可求【詳解】由題意知為等差數(shù)列，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以公差，則，即，故，于是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等差與等比的通項(xiàng)公式，等差與等比數(shù)列性質(zhì)，熟記公式與性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題2.如圖，正方體中，異面直線和所成角的大小為（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】【分析】連接，根據(jù)平行關(guān)系可知所求角為，易知為等邊三角形，從而可知，得到所求結(jié)果.【詳解】連接， 即為異面直線與所成角又 即異面直線與所成角為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求解，關(guān)鍵是通過平移直線找到所成角，再放入三角形中進(jìn)行求解.3.設(shè)表示不同的直線，表示不同的平面，給出下列命題：若，則； 若，則；若，則； 若，則.則以上命題正確的個數(shù)為（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線與平面、平面與平面平行、垂直的判定和性質(zhì)依次判斷各個選項(xiàng)即可.【詳解】，此時與平行或相交，錯誤；，根據(jù)面面平行性質(zhì)可知，正確；，則，又，正確；，則或；又，正確.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)命題的判斷，考查對于平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理的掌握情況.4.已知過點(diǎn)和點(diǎn)的直線為，若，則的值為（ ）A. B. C. 0D. 8【答案】A【解析】【分析】利用直線平行垂直與斜率的關(guān)系即可得出【詳解】l1l2，kAB2，解得m8又l2l3，(2)1，解得n2，mn10故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了直線平行垂直與斜率的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題5.直線與曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A. B. 或C. 或D. 以上都不對【答案】B【解析】【分析】把曲線方程整理后可知其圖象為半圓，進(jìn)而畫出圖象來，要使直線與曲線有且僅有一個交點(diǎn)，那么很容易從圖上看出其三個極端情況分別是：直線在第四象限與曲線相切，交曲線于（0，1）和另一個點(diǎn)，及與曲線交于點(diǎn)（0，1），分別求出b，則b的范圍可得【詳解】由可以得到，所以曲線為軸右側(cè)的半圓，因?yàn)橹本€與半圓有且僅有一個公共點(diǎn)，如圖所示：所以或，所以或，故選B【點(diǎn)睛】本題考查直線與半圓的位置關(guān)系，注意把曲線的方程變形化簡時要關(guān)注等價變形6.圓與圓的公共弦所在直線和兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】B【解析】【分析】將兩圓方程相減可得公共弦所在直線的方程【詳解】將兩圓方程相減可得即當(dāng)時，當(dāng)時，交點(diǎn)與，故選B【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓的位置關(guān)系兩圓方程分別為，則兩方程相減得，為：兩圓相交時是相交弦所在直線方程，兩圓相切時，是過切點(diǎn)的公共切線的方程7.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，且的周長為，則的值是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由橢圓的定義知的周長為，可求出的值，再結(jié)合、的關(guān)系求出的值，即的值?！驹斀狻吭O(shè)橢圓的長軸長為，焦距為，則，由橢圓定義可知，的周長為，解得，故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義的應(yīng)用，考查利用橢圓定義求橢圓的焦點(diǎn)三角形問題，在處理橢圓的焦點(diǎn)與橢圓上一點(diǎn)線段（焦半徑）問題，一般要充分利用橢圓定義來求解，屬于基礎(chǔ)題。8.如圖，多面體為正方體，則下面結(jié)論正確的是A. B. 平面平面C. 平面平面D. 異面直線與所成的角為【答案】C【解析】【分析】在A中，由，得，矛盾；在B中，由平面，得平面平面，得到平面平面也是錯誤的；在C中，由，得平面平面；在D中，推導(dǎo)出AD與所成角為【詳解】在A中，若，由，得，矛盾，故A錯誤；在B中，平面，平面平面，則平面平面也是錯誤的，故B錯誤；在C中，平面平面，故C正確；在D中，多面體為正方體， ，又，與所成角為，故D錯誤故選：C【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題9.已知橢圓以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)P(4，2)，則以P為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為()A. B. C. 2D. 2【答案】A【解析】【分析】由于是弦的中點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)差法求出弦所在直線的斜率.【詳解】設(shè)以為中點(diǎn)的弦的兩個端點(diǎn)分別為，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得兩式相減可得所以，即所求的直線的斜率為.故選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查通過點(diǎn)差法求弦中點(diǎn)所在直線的斜率，屬于中檔題.10.已知PA，PB是圓C:的兩條切線(A，B是切點(diǎn))，其中P是直線上的動點(diǎn)，那么四邊形PACB的面積的最小值為( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】配方得圓心坐標(biāo)，圓的半徑為1，由切線性質(zhì)知，而的最小值為C點(diǎn)到的距離，由此可得結(jié)論【詳解】由題意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為又，到直線的距離為，故選C【點(diǎn)睛】本題考查圓切線的性質(zhì)，考查面積的最小值，解題關(guān)鍵是把四邊形面積用表示出來，而的最小值為圓心到直線的距離，從而易得解11.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)M(x，y)與點(diǎn)N(a，b)的距離結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最小值為()A. B. C. 4D. 8【答案】B【解析】f(x)，f(x)的幾何意義為點(diǎn)M(x,0)到兩定點(diǎn)A(2,4)與B(1,3)的距離之和，設(shè)點(diǎn)A(2,4)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A，則A為(2，4)要求f(x)的最小值，可轉(zhuǎn)化為|MA|MB|的最小值，利用對稱思想可知|MA|MB|AB|5，即f(x)的最小值為5.選B.12.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，若離心率，則稱橢圓為“黃金橢圓”.下列有三個命題：黃金橢圓中，成等比數(shù)列；在黃金橢圓中，若上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)分別為，則；在黃金橢圓中，以為頂點(diǎn)的菱形的內(nèi)切圓經(jīng)過焦點(diǎn).正確命題的個數(shù)是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】本道題結(jié)合橢圓的基本性質(zhì)，結(jié)合三角形三邊關(guān)系，建立等式，證明，即可?！驹斀狻繉τ?選項(xiàng)，得到，結(jié)合，故，所以a,b,c成等比數(shù)列，故正確；對于2選項(xiàng)，則而,故，正確；對于3選項(xiàng)，結(jié)合題意可知,該圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)圓心的半徑為r，結(jié)合該圓與四邊形ABDE相切，結(jié)合可知，代入離心率得到，所以該圓經(jīng)過焦點(diǎn)，故正確的有3個，故選D?！军c(diǎn)睛】本道題考查了橢圓的基本性質(zhì)，關(guān)鍵結(jié)合離心率計算公式和三角形三邊關(guān)系，建立等式，難度偏難。二、填空題(共4小題，每小題5分，共20分。把答案直接填在橫線上)13.若直線始終平分圓的周長，則的最小值為_【答案】9【解析】【分析】平分圓的直線過圓心，由此求得的等量關(guān)系式，進(jìn)而利用基本不等式求得最小值.【詳解】由于直線始終平分圓的周長，故直線過圓的圓心，即，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查利用基本不等式求最小值，屬于基礎(chǔ)題.14.三棱錐中，平面平面ABC，和均為邊長是的正三角形，則三棱錐的外接球的表面積為_【答案】【解析】【分析】取AC中點(diǎn)G，連接DG，BG，得到兩個三角形中心E，F(xiàn)，進(jìn)而得到球心O，在三角形OEB中，求得半徑，得解【詳解】如圖，取AC中點(diǎn)G，連接DG，BG，E，F(xiàn)分別為中心，外接球球心為O，易知OEGF為正方形，求得，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了三棱錐外接球，難度適中15.已知過橢圓左頂點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，若是等腰三角形，且，則橢圓的離心率為_【答案】【解析】【分析】由條件確定P點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量關(guān)系求出Q的坐標(biāo)，代入橢圓方程求離心率.【詳解】因?yàn)槭堑妊切吻?，所?設(shè)，因?yàn)?，所以，得?又Q在橢圓上，所以，又，所以，,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解，考查計算能力，屬于中檔題.16.正項(xiàng)數(shù)列滿足,又是以為公比的等比數(shù)列,則使得不等式成立的最小整數(shù)為_.【答案】6【解析】【分析】求得首項(xiàng)，根據(jù)題目所給公比求得的表達(dá)式，由此求得的表達(dá)式，利用的表達(dá)式證得是等比數(shù)列，由此求得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求得不等式左邊表達(dá)式的值，解不等式求得的最小正整數(shù)值.【詳解】依題意是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，兩邊平方得，所以，兩式相除得，故是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故，所以.是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故，所以.所以，由，經(jīng)檢驗(yàn)可知，符合題意.即的最小值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查遞推數(shù)列求通項(xiàng)，考查數(shù)列求和的方法，考查不等式的解法，屬于中檔題.三、解答題(共6小題，共70分。)17.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長軸長為，且點(diǎn)在橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)P在橢圓上，F(xiàn)2PF160，求PF1F2的面積【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題意求得a，設(shè)出橢圓方程，代入已知的坐標(biāo)求得b，則橢圓方程可求；（2）由（1）求得c及2a，在F2PF1中，由余弦定理可得，然后代入三角形面積公式可得F2PF1的面積【詳解】（1） 因?yàn)榈慕裹c(diǎn)在軸上且長軸為，故可設(shè)橢圓的方程為（），因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以， 解得， 所以，橢圓的方程為（2）由（1）知，在F2PF1中，由余弦定理可得：即，則【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了焦點(diǎn)三角形中橢圓定義及余弦定理的應(yīng)用，是中檔題18.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，公差，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)，公差，成等比數(shù)列，形成方程組，解得答案.（2）根據(jù)，計算，得到，用裂項(xiàng)求和法得到答案.【詳解】（1），成等比數(shù)列，即，又，故.（2）由（1）得，.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，裂項(xiàng)求和，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的靈活應(yīng)用.19.如圖，在三棱柱中，且，底面，為中點(diǎn),點(diǎn)為上一點(diǎn)（1）求證： 平面； （2）求二面角 的余弦值；【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接交于O，連接EO，證明，推出 平面（2）以CA，CB，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系求出平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值【詳解】（1）連接交于，連接，因四邊形為矩形，為對角線，所以為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以 /平面（2）因?yàn)榈酌?，所以底面，又，所以以，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系 則，設(shè)平面的法向量為,則有，即 令，則由題意底面，所以為平面的法向量，所以，又由圖可知二面角為鈍二面角，所以二面角 的余弦值為?！军c(diǎn)睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力20.已知點(diǎn)與圓.（1）設(shè)為圓上的動點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；（2）過點(diǎn)作圓的切線，求的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)，借助點(diǎn)得出的軌跡方程；（2）利用點(diǎn)到切線的距離等于半徑，求出切線方程.【詳解】解：（1）設(shè)因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，故，因?yàn)闉閳A上的動點(diǎn)，所以，即，即的軌跡方程；（2）當(dāng)切線的斜率不存在時，直線方程為，滿足題意；當(dāng)切線的斜率存在時，則設(shè)切線方程為，即，故，解得：，此時切線方程.所以切線方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的軌跡問題、直線與圓相切的問題，解決動點(diǎn)軌跡常見的方法有直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法等等，解題時應(yīng)注意靈活應(yīng)用.21.如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面底面，.（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時，求二面角的余弦值【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)證得，利用線面垂直的性質(zhì)證得，進(jìn)而可得面，平面平面；（2）首先由不等式證得當(dāng)時，三棱錐體積最大，然后建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量來求二面角的平面角，不難求解【詳解】（1）證明：側(cè)面底面，側(cè)面底面，四邊形為正方形，面，面，又面，平面，面，平面，面，面，平面平面（2），求三棱錐體積的最大值，只需求的最大值令，由（1）知，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的最大值為如圖所示，分別取線段，中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系由已知，所以，令為面的一個法向量，則有，易知為面的一個法向量，二面角的平面角為，為銳角則【點(diǎn)睛】本題考查了證明面面垂直，考查了三棱錐的體積公式、基本不等式的應(yīng)用，以及利用空間向量的數(shù)量積求二面角余弦值的問題，難度適中。22.已知橢圓的四個頂點(diǎn)圍成的菱形的面積為，橢圓的一個焦點(diǎn)為圓的圓心(1)求橢圓的方程；(2)若M，N為橢圓上的兩個動點(diǎn)，直線OM，ON的斜率分別為，當(dāng)時，MON的面積是否為定值?若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由【答案】（1）（2）為定值，詳見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)菱