高三理科 利用空間向量求空間角總結(jié).doc

第 1 頁(yè) 共 9 頁(yè) 高三高三 年級(jí)年級(jí) 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 科輔導(dǎo)講義 第科輔導(dǎo)講義 第 講 講 學(xué)生姓名 學(xué)生姓名 授課教師 授課教師 授課時(shí)間 授課時(shí)間 一 復(fù)習(xí)引入一 復(fù)習(xí)引入 1 用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的 三步曲 1 建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系 用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn) 直線 平面 把立體幾何 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題 化為向量問(wèn)題化為向量問(wèn)題 2 通過(guò)向量運(yùn)算 研究點(diǎn) 直線 平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題 進(jìn)行 向量運(yùn)算 3 把向量的運(yùn)算結(jié)果 翻譯 成相應(yīng)的幾何意義 回到圖形 2 向量的有關(guān)知識(shí) 1 兩向量數(shù)量積的定義 bababa cos 2 兩向量夾角公式 cos ba ba ba 3 平面的法向量 與平面垂直的向量 二 知識(shí)講解與典例分析二 知識(shí)講解與典例分析 知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1 1 面直線所成的角 面直線所成的角 范圍 2 0 1 定義 過(guò)空間任意一點(diǎn) o 分別作異面直線 a 與 b 的平行線 a 與 b 那么直線 a 與 b 所成的銳 角或直角 叫做異面直線 a 與 b 所成的角 2 用向量法求異面直線所成角 設(shè)兩異面直線 a b 的方向向量分別為和 ab 問(wèn)題問(wèn)題 1 1 當(dāng)與的夾角不大于 90 時(shí) 異面直線 a b 所成ab 的角與 和 的夾角的關(guān)系 ab 問(wèn)題問(wèn)題 2 2 與的夾角大于 90 時(shí) 異面直線 a b 所成的角ab 與 和的夾角的關(guān)系 ab 結(jié)論 異面直線 a b 所成的角的余弦值為 cos cos nm nm nm 專專 題題立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法 目目 標(biāo)標(biāo)利用空間向量求空間角利用空間向量求空間角 重重 難難 點(diǎn)點(diǎn)求解二面角的向量方法求解二面角的向量方法 常常 考考 點(diǎn)點(diǎn)二面角的大小與兩平面法向量夾角的大小的關(guān)系二面角的大小與兩平面法向量夾角的大小的關(guān)系 a b O O b a O b a ba ba 第 2 頁(yè) 共 9 頁(yè) 思考 思考 在正方體中 若與分別為 1111 DCBAABCD 1 E 1 F 11B A 的四等分點(diǎn) 求異面直線與的夾角余弦值 11D C 1 DF 1 BE 1 方法總結(jié) 幾何法 向量法 2 與相等嗎 11 cosBEDF BEDF 11 cos 3 空間向量的夾角與異面直線的夾角有什么區(qū)別 例例 1 1 如圖 正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為 側(cè)棱長(zhǎng)為 求和所成的角 111 CBAABC aa2 1 AC 1 CB 解法步驟 解法步驟 1 寫(xiě)出異面直線的方向向量的坐標(biāo) 2 利用空間兩個(gè)向量的夾角公式求出夾角 練習(xí) 1 在Rt AOB中 AOB 90 現(xiàn)將 AOB沿著平面AOB的法向量方向平移到 A1O1B1的位置 已 知OA OB OO1 取A1B1 A1O1的中點(diǎn)D1 F1 求異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值 知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn) 2 2 直線與平面所成的角 直線與平面所成的角 范圍 2 0 A x D C B 1 A z y 1 D 1 C 1 B 1 E 1 F A y x C B 1 A D 1 B 1 C 第 3 頁(yè) 共 9 頁(yè) A y x C B 1 A D 1 B 1 C 思考 設(shè)平面的法向量為 則與的關(guān)系 n BAn 據(jù)圖分析可得 結(jié)論 據(jù)圖分析可得 結(jié)論 例例 2 2 如圖 正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為 側(cè)棱長(zhǎng)為 求和所成角的正弦 111 CBAABC aa2 1 ACBBAA 11 面 值 練習(xí) 練習(xí) 正方體的棱長(zhǎng)為 1 點(diǎn) 分別為 的中點(diǎn) 求直線與平面 1111 DCBAABCD EFCD 1 DD 11C B 所成的角的正弦值 CAB1 A B O BAn 2 A B O n 2 BAn A B O n 圖 1 圖 2 cos sin ABn B x A D C 1 B z y 1 A 1 D 1 C A B 第 4 頁(yè) 共 9 頁(yè) 知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn) 3 3 二面角 二面角 范圍 0 方向向量法 方向向量法 將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面兩個(gè)面的方向向量 在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱 的 夾角 如圖 設(shè)二面角的大小為 其中 l CDlCDABlAB 結(jié)論 例例 3 3 如圖 甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn) A 處 乙站在水壩斜面上的點(diǎn) B 處 從 A B 到直線 庫(kù)底與水壩 的交線 的距離 AC 和 BD 分別為 a 和 b CD 的長(zhǎng)為 c AB 的長(zhǎng)為 d 求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦 值 法向量法法向量法 結(jié)論 或 歸納 歸納 法向量的方向 一進(jìn)一出 二面角等于法向量夾角 同進(jìn)同出 二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角 3 3 31 010 DC B A l coscos CDAB CDAB CDAB 1 n l 2 n 21 n n 21 coscosnn 21 coscosnn 1 n l 2 n 21 n n 21 n n 21 n n 第 5 頁(yè) 共 9 頁(yè) 例例 4 4 如圖 是一直角梯形 面 ABCD 90ABC SAABCD 求面與面所成二面角的余弦值 1 BCABSA 2 1 ADSCDSBA 練習(xí) 練習(xí) 正方體的棱長(zhǎng)為 1 點(diǎn) 分別為 的中點(diǎn) 求二面角 1111 DCBAABCD EFCD 1 DD 的余弦值 DAEF 三 課堂小結(jié) 1 異面直線所成的角 cos cos ba 2 直線和平面所成的角 cos sin nAB 3 二面角 2121 coscos coscosnnnn 或 A BC D x z y S A B x D C 1 B z y 1 A 1 D 1 C E F 第 6 頁(yè) 共 9 頁(yè) 第四部分 鞏固練習(xí) 1 如圖所示 已知正方體ABCD A1B1C1D1 E F分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中 心 則EF和CD所成的角是 A 60 B 45 C 30 D 90 2 在正方體ABCD A1B1C1D1中 點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn) 則平面A1ED與平面ABCD所 成的銳二面角的余弦值為 A B C D 1 2 2 3 3 3 2 2 3 在三棱錐P ABC中 PA 平面ABC BAC 90 D E F分別是棱AB BC CP的中點(diǎn) AB AC 1 PA 2 則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為 A B C D 1 5 25 5 5 5 2 5 4 如圖 在四棱錐P ABCD中 四邊形ABCD為平行四邊形 且BC 平面 PAB PA AB M為PB的中點(diǎn) PA AD 2 若AB 1 則二面角B AC M的余弦值為 A B 6 6 3 6 C D 2 6 1 6 5 如圖所示 在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC A1B1C1 CA CC1 2CB 則直線 BC1與直線AB1夾角的余弦值為 6 如圖 在正四棱錐S ABCD中 O為頂點(diǎn)在底面上的射影 P為側(cè)棱SD的中點(diǎn) 且SO OD 則 直線BC與平面PAC所成角為 7 如圖 三棱柱ABC A1B1C1中 CA CB AB AA1 BAA1 60 1 證明 AB A1C 2 若平面ABC 平面AA1B1B AB CB 求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值 答 案 1 選 B 以D為原點(diǎn) 分別以射線DA DC DD1為x軸 y軸 z軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐系系 第 7 頁(yè) 共 9 頁(yè) D xyz 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 1 則D 0 0 0 C 0 1 0 E F 1 2 1 2 1 1 2 0 1 2 0 1 0 EF 0 1 2 1 2 DC cos EF DC 2 2 135 EF DC 異面直線EF和CD所成的角是 45 2 選 B 以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz 設(shè)棱長(zhǎng)為 1 則A1 0 0 1 E D 0 1 0 1 0 1 2 0 1 1 1 A D 1 A E 1 0 1 2 設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n n1 1 y z 則Error Error Error Error n n1 1 2 2 平面ABCD的一個(gè)法向量為n n2 0 0 1 cos n n1 1 n n2 2 2 3 1 2 3 即所成的銳二面角的余弦值為 2 3 3 選 C 以A為原點(diǎn) AB AC AP所在直線分別為x軸 y軸 z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 由AB AC 1 PA 2 得A 0 0 0 B 1 0 0 C 0 1 0 P 0 0 2 D E 1 2 0 0 1 2 1 2 0 F 0 0 2 0 1 2 1 PA DE 0 1 2 0 DF 1 2 1 2 1 設(shè)平面DEF的法向量為n n x y z 則由Error Error 得Error Error 取z 1 則n n 2 0 1 設(shè)PA與平面DEF所成的角為 則 sin n n n n 5 5 PA與平面DEF所成角的正弦值為 5 5 故選 C 4 選 A BC 平面PAB AD BC AD 平面PAB PA AD 又PA AB 且AD AB A PA 平面ABCD 第 8 頁(yè) 共 9 頁(yè) 以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn) 分別以AD AB AP所在直線為x軸 y軸 z軸 建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz 則A 0 0 0 C 2 1 0 P 0 0 2 B 0 1 0 M 0 1 2 1 2 1 0 AC AM 0 1 2 1 求得平面AMC的一個(gè)法向量為 n n 1 2 1 又平面ABC的一個(gè)法向量 0 0 2 AP cos n n 二面角B AC M的余弦值為 AP n n n n 2 1 4 1 2 1 6 6 6 6 6 5 解析 不妨令CB 1 則CA CC1 2 可得O 0 0 0 B 0 0 1 C1 0 2 0 A 2 0 0 B1 0 2 1 0 2 1 2 2 1 1 BC 1 AB cos 1 BC 1 AB 0 4 1 5 9 1 5 5 5 與的夾角即為直線BC1與直線AB1的夾角 1 BC 1 AB 直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為 5 5 答案 5 5 6 解析 如圖所示 以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O xyz 設(shè)OD SO OA OB OC a 則A a 0 0 B 0 a 0 C a 0 0 P 0 a 2 a 2 則 2a 0 0 CA AP a a 2 a 2 a a 0 CB 設(shè)平面PAC的法向量為n n 可求得n n 0 1 1 則 cos n n CB n n n n a 2a2 2 1 2 第 9 頁(yè) 共 9 頁(yè) n n 60 CB 直線BC與平面PAC的夾角為 90 60 30 答案 30 7 解 1 證明 取AB的中點(diǎn)O 連接OC OA1 A1B 因?yàn)镃A CB 所以O(shè)C AB 由于AB AA1 BAA1 60 故 AA1B為等邊三角形 所以O(shè)A1 AB 因?yàn)镺C OA1 O 所以AB 平面OA1C 又A1C 平面OA1C 故AB A1C 2 由 1 知OC AB OA1 AB 又平面ABC 平面AA1B1B 交線為AB 所 以O(shè)C 平面AA1B1B 故OA OA1 OC兩兩相互垂直 以O(shè)為