【畢業(yè)學位論文】（Word原稿）關于濰坊城區(qū)初中學生數學符號感的調查與研究-中學數學教學

學號： 分 類 號： 密級： 公開 學校代碼： 10636 四川師范大學 碩 士 學 位 論 文 關于濰坊城區(qū)初中學生數學符號感 的調查與研究 學 生 類 別 教 育 碩 士 培 養(yǎng) 單 位 四川師范大學數學與軟件科學學院 指 導 教 師 職稱 教授 專 業(yè) 名 稱 學科教學數學 研 究 方 向 中學數學教學 論文完成日期 2010 年 2 月 1 日 四川師范大學學位論文獨創(chuàng)性及 使用授權聲明 本人聲明：所呈交學位論文，是本人在導師 張紅教授 指導下，獨立進行研究工作所取得的成果。除文中已經注明引用的內容外，本論文不含任何其他個人或集體已經發(fā)表或撰寫過的作品或成果。對本文 的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明。 本聲明的法律結果由本人承擔。 本人承諾：已提交的學位論文電子版與論文紙本的內容一致。如因不符而引起的學術聲譽上的損失由本人自負。 本人同意所撰寫學位論文的使用授權遵照學校的管理規(guī)定： 學校作為申請學位的條件之一，學位論文著作權擁有者須授權所在大學擁有學位論文的部分使用權，即： 1）已獲學位的研究生必須按學校規(guī)定提交印刷版和電子版學位論文， 可以 將學位論文的全部或部分內容編入有關數據庫 供 檢索； 2）為教學、 科研 和學術交流 目的，學校可以將公開的學位論文或解 密后的學位論文作為資料在圖書館、資料室等場所或在 有關 網 絡 上供閱讀、瀏覽。 本人授權中國科學技術信息研究所將本學位論文收錄到中國學位論文全文數據庫，并通過網絡向社會公眾提供信息服務。 （保密的學位論文在解密后適用本授權書） 學位論文作者簽名： 郭建輝 導師簽名： 張紅 簽字日期： 2010 年 5 月 4 日 簽字日期： 2010 年 5 月 5 日 關于濰坊城區(qū)初中學生數學符號感的調查與研究 教育碩士 學科教學數學 專業(yè) 研究生 郭建輝 指導教師 張紅 摘要 ：符號，是人類的一項偉大發(fā)明，我們生活在一個符號化的世界里。數學符號，是數學的語言，它承載了數學概念、數學運算、數學關系及邏輯推理，使數學思維過程更加概括，準確。數學符號從記數符號開始，經歷了運算符號、符號代數、數學符號的擴充幾百年的發(fā)展，最終形成了數學符號系統(tǒng)。它具有形式化，直觀性，抽象化，通用性的特征。而符號感，作為一種對數學符號的感覺和領悟力，在數學的學習中，具有不可替代的作用。本文中，筆者根據課程標準中對符號感表現的表述將符號感分為能正確理解符號的含義；能從具體情境中抽象出數量關系和變化規(guī) 律，并用符號來表示，且會進行符號的運算；理解符號所代表的數量關系和變化規(guī)律；會進行符號間的轉換；能選擇適當的程序和方法解決用符號的表示的問題；能用把具體問題抽象成符號，并用符號來解決問題等 6 個方面，來研究符號感。 筆者通過調查問卷的方式對濰坊城區(qū)初中一二年級學生的數學符號感的現狀進行了調查研究。主要從同年級不同類型的班級，不同年級同類型的班級總體差異和在符號感 6 方面表現的差異，以及性別差異等幾個方面展開分析。 研究發(fā)現，從整體上來看，學生的符號感有待提高，特別是“正確、全面理解符號的含義”及“把具有問題中抽 象成符號，并用符號來解決問題”方面，應該是今后培養(yǎng)的重點。同時還發(fā)現： （ 1）通過同年級不同類型班級之間的比較，不同學力水平的學生的符號感現狀是不同的，數學能力水平較強班級的學生的符號感要好于數學能力水平較弱的班級。 （ 2）通過不同年級同類型班級之間的比較，兩個年級學生的符號差異并沒有想象的大，但是也能說明了隨著認知水平和生活經歷的豐富，符號感是有所加強的。 （ 3）通過性別之間的比較，符號感在初中一二年級的性別差異基本是很不明顯的，但是，還是能看出從初一時女生占優(yōu)勢，到初二這種優(yōu)勢在縮小。男生在利用符號解決 問題的能力方面占優(yōu)，女生在理解符號含義、用符號表示數量關系和變化規(guī)律方面占優(yōu)。 最后，筆者通過教學經歷中發(fā)現的學生在數學符號認識方面出現的問題進行了案例分析，對初中學生的數學符號感現狀和數學符號認識上存在的障礙及原因做了更深一步的討論。 通過以上的結論，筆者在對符號感的培養(yǎng)方面及后續(xù)研究提出一些見解和建議。 關鍵詞 ：符號；符號感；符號的運算；表象；策略 is a we in a of of a of to In is It of as a of an in In of to of it be of a to to of of ne wo of is on on on of of of in in of so be of of of to to be of At of of of is is in of in of of in of so it of be 3. a ne wo of is so it be is a in of a in of to a in of on is a on of of in a of on of 目 錄 中文摘要 英文摘要 第一章 數學 符號 的形成發(fā)展與特征分類 學符號的形成與發(fā) 展 1 學符號的特征 4 學符號的分類 5 第二章 符號感及研究符號感的意義 號感 內外有關符號感的闡述及研究成果 9 內外有關符號感培養(yǎng)的闡述及研究成果 11 究符號感的意義 究符號感的理論意義 16 究符號感的現實意義 17 第三章 符號感的研究方法 查問 卷 20 究的對象 20 查問卷的設計 21 例分析 24 第四章 符號感調查研究的結果及分析 生的符號感現狀的整體發(fā)展狀況 生符號感現狀的班級差異 25 生符號感現狀的年級差異 30 生的符號感現狀的性別差異比較 、女生在平均成績上的 差異比較 34 、女生在符號感的 6 方面表現的差異比較 36 第五章 有關符號感現狀及發(fā)展障礙的案例分析 中學生在“字母表示數”的理解與應用現狀及產生障礙 的分析 39 中學生對“ = ” 的理解與使用現狀及存在的障礙析 40 中學生在輔助符號“（）、 、”等的理解與使用現狀及存在的障礙分析 42 中學生對“符號串”的理解與應用現 狀及存在的障礙分析 44 中學生在某些數學符號應用上障礙與分析 45 第六 章 符號感現狀調查結論與培養(yǎng)符號感策略的探索 究結論 查問卷的研究結論 生符號感的整體狀況和發(fā)展趨勢 47 生符號感的性別差異 48 例分析的研究結論 48 養(yǎng)符號感策略的探索 49 后續(xù)研究的設 想 53 參考文獻 附錄 致謝 第一章 數學 符號的形成發(fā)展與特征分類 在初中剛剛引入 “ 負數 ” 和 “ 用字母表示數 ” 時，會有這樣一道典型的題目：若 a 表示任意一個有理數，那么 否表示表示負有理數。題目的形式可能是判斷題，可能是問答題，也可能是選擇題。可是無論哪種形式的題目，大約有 80%的學生的第一回答是： 負的。如果換成數字，學生馬上就知道正確答案了，可是換成了 “a” 這個符號，就不明白了，而且，在教師講解后，每個班還會有幾個學生不能很快明白。這大概是 所有初中數學教師在教學中都會遇到的問題，為什么會出現這樣的問題呢？這是學生哪種學習能力出了問題呢？這里我們就要提到一個概念 “ 符號感 ” 。這個詞對大家來說，也許很陌生，不像 “ 語感 ”“ 數感 ”提到的那么多。直到 2001年的九年制義務教育數學課程標準（實驗稿）（以下簡稱課程標準）中才提出 “ 強調學生的數學活動，發(fā)展學生的數感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計觀念，以及應用意識與推理能力 ” 1，與 數感等成為義務教育階段數學的六部分學習內容之一。隨后，開始受到國內數學教育一線教師，課程改革研究者的關注，開始就 “ 符號感 ” 進行 討論和研究。 學符號的形成與發(fā)展 要說 “ 符號感 ” ，就要先從符號開始說起。 符號，可以說是人類的偉大發(fā)明之一，是人類文明的象征。符號是人們對某種事物的記號，是人們用簡單的記號去表現復雜的事物，符號現在 用的非常廣泛，無處不在，可以說我們生活在符號的世界里。開車的朋友都知道，路上所有的交通標志都是一些符號。就連人類的語言，我們也可以看成是人類表達思想的一種符號系統(tǒng)。 而數學可以說是世界上最嚴謹，最精確的科學， 其嚴謹和精確，很大程度上是取決于它的語言 數學符號的，數學符號承1 中華人民共和國教育部制定全日制義務教育數學課程標準（試驗稿） M北京：北京師范大學出版社， 2001 載了數學概念、數學運算、數學關 系及邏輯推理，使數學思維過程更加概括，準確。沒有了這種符號語言，數學也就不會發(fā)展到今天。數學符號的形成經歷了一個漫長復雜的過程，是隨著數學的發(fā)展逐步提出，并隨著數學發(fā)展逐漸得到完善的。 1 記數符號 數學符號里最基本的符號就是數字，也是在所有符號里出現最早的。其實，數及其數學符號早在文字出現之前就出現了，從最早的 “ 結繩記事 ” 到不 同進位制的數字符號的出現，不同的文明古國隨著生產力的發(fā)展，產生了一些不同的記數符號，如：羅馬人的五進制，中國和埃及的十進制，瑪雅人的 20 進制等等。而現在世界普遍使用的阿拉伯數字 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9，最初是由印度人創(chuàng)造的，后來傳入阿拉伯，并通過歐洲商人帶到了歐洲。由于這種數字書寫、概括上的優(yōu)越性，很快就在世界范圍內普及推廣開來了。 記數符號是人們在對自然界的認識中逐漸發(fā)明、改進的，后來又隨著數學自身發(fā)展選擇并推廣的。 2 運算符號 有關加減乘除等的運算，早在古巴比倫時代就已經非常發(fā)達了，但是由于當時數學才剛剛起步，記數符號也處于萌芽狀態(tài)，運算符號還沒有產生和發(fā)展的必要條件。人們都是通過默認的方式來表達運算關系，只需要通過對上下文的理解，就能基本弄明白里面的概念和關系。但 是隨著數學的迅猛發(fā)展，這種含糊其辭的表達方式就不能滿足數學發(fā)展的需要。 15 世紀起，人們開始發(fā)明一些運算符號，來滿足數學表達的需要。 “+” 和 “ ” 是由 15世紀德國人維德曼首先創(chuàng)用，后有荷蘭數學家赫克正式用作運算符號； “” 號是英國人奧特雷德首創(chuàng)的； “” 是由瑞士人雷恩發(fā)明的； “=” 是英國人雷科德首先運用的，但是一直到 17 世紀后期，才逐漸通用； “ ” 和 “ ” 是英國人哈里奧特首先使用；而 “ （） ” 是德國人克拉維斯最早使用，等等。 運算符號的產生是數學發(fā)展的必然產物，為數學的繼續(xù)發(fā)展奠定了堅實的基礎，對后面符號代數的 發(fā)展而言，是不可或缺的。 3 符號代數 代數早在古巴比倫時代就已經非常發(fā)達，到古希臘的丟番圖時代，丟番圖突破傳統(tǒng)，開創(chuàng)了簡字代數，到了 1516 世紀，由于代數學始終沒有良好的符號表示，發(fā)展極為緩慢，到 16 世紀末，法國數學家韋達改變了這種狀態(tài)，成為了數學史上第一個有意識、有系統(tǒng)的使用字母代表數的數學家，對數學的發(fā)展產生了巨大的影響，稍后的笛卡爾對韋達的符號做出了改進，成為了我們現在的通用的符號。 符號代數的產生，推動了解析幾何和微積分的創(chuàng)立，是數學發(fā)展史上的里程碑之一。 4 數學符號的擴充 到 16 世紀末到 17 世紀初，德國數學家萊布尼茲創(chuàng)立了符號邏輯學，用代數改造邏輯。沿著這種思路，英國數學家布爾將數學方法引入邏輯學，建立了更加完善的數理邏輯符號系統(tǒng)，對數理邏輯做出了實質性的推動。與布爾同時代以及以后的許多人，像弗雷格、羅素、皮亞諾等人，都為數理邏輯的發(fā)展做出了重要的貢獻，使數理邏輯發(fā)展成一門成熟的學科。而且，隨著數學符號的不斷擴充，數學符號系統(tǒng)更加完善， 20 世紀上半葉，美國實用主義哲學家皮爾斯對符號進行了研究，創(chuàng)立了關于符號的一般理論。 30 年代，美國哲學家 C W 英里斯系統(tǒng)的總結了符號的應用規(guī)律，出版了符號學 基礎和符合、語言與行動，使符號學發(fā)展成為一門獨立的學科。 1 數學符號的創(chuàng)造是在數學發(fā)展的過程中逐漸形成和發(fā)展的，數學研究中每提出一種新的概念、理論、方法，必然會增加一些新的符號。因此，數學符號是一個不斷擴充的開放的系統(tǒng)。 學符號的特征 1徐品方，張紅數學符號史 M北京：科學出版社， 2006， 346 數學符號是抽象的語言，是文字的縮寫，是數學家們記錄、交流和傳達數學思維信息的簡明話語，數學符號用無聲的音符，傳達著嚴謹的數學概念和縝密的思維，已故的數學史家梁宗巨先生曾說過： “ 一套合適的符號，絕不僅僅是起速記、節(jié)省時間的作用。它能精確、深刻地表達某種概念、 方法和邏輯關系，一個較復雜的公式，如果不用符號而用日常語言來敘述，往往十分冗長而且含混不清。 ” 1 1 數學符號具有 “ 形式化 ” 的特征 數學符號的 “ 形式化 ” 特點主要體現在：如用字母符號 a 表示任意一個有理 數；用符號 |a|表示數 a 的絕對值，用字母符號組成的表達式 (a+b)(示平方差公式等。學生學習這些符號，首先要記住它們的外形，理解它們所表示的概念的含義，再通過一定量的練習，逐漸建立起符號的外形與概念意義之間的聯系，形成符號與意義之間的形意對應，隨著學生對這種形意對應的印象的加深，符號概念 的意義就逐漸寓于符號之中，符號所代表的本質意義就被納入到學生的認知結構中，并能在新情景下將內容還原。 2 數學符號具有 “ 直觀性 ” 的特征 數學符號的 “ 直觀性 ” 的特點主要體現在 ：如圓 ，平行 |，垂直 ，角 ，三角形 等。這些符號實際上就是幾何圖形的象形符號，直觀的示意了幾何概念、命題、推理之間的相應的數學關系。這樣的具有直觀表象的符號，對于學生來說，內部表象和外部特征是一致的，學生能采用相對直觀的思維表象和心理意向來思考和接受。英國數學家 為，對于初學者來說，幾何圖形比代數符號更容易掌握接受 。因此，學生在學習這些符號中，只需要通過符號的形象特色和象形特征，去理解、掌握、記憶，非常直觀，是所有類型的數學符號中最易掌握的。 3 數學符號具有 “ 抽象化 ” 的特征 1 梁宗巨世界數學史簡編 M 寧教育出版社， 1981， 134 數學符號的 “ 抽象化 ” 既包含了 “ 具體化 ” ，也包含了 “ 簡明化 ” 的特征，主要體 現在：如 a b 0，表示 a 和 b 這兩個數互為相反數 ，而相反數的文字概念只是： “ 只有符號不同的兩個數 ” ，這就需 要學生首先從文字概念中抽象出 a，然后抽象出 a+（ =0 這一相反數的本質意義，從而繼續(xù)推理出若 a+b=0，則 a 與 b 互為相反數。這樣的表示，不僅要比文 字表述要簡單明了的多，而且包含了多方面的意義，概括性強。對于這種特征的符號，其內涵和外延非常重要，學習過程中，學生對符號概念內涵的抽象過程和其外延的概括過程的體驗越深，對符號的抽象意義就理解的越深，符號概念掌握的也就越牢固。 4 數學符號具有 “ 通用性 ” 的特征 數學符號的 “ 通用性 ” 主要體現在：如 示的是一個角的正弦，無論在哪 本書，哪個國家，表示的意義不會隨著空間的變化而變化。這樣的符號，需要學生加強的是對這種數學詞語的“ 詞感 ” ，即見到 想到是對數的符號，前蘇聯教育家維果茨基從語言學的角度分析認為 ：詞感 是 優(yōu)于詞義 的 ，它是一個動態(tài)的、復雜的流動的整體，并有幾個穩(wěn)定不同的區(qū)域，詞義則是詞感的一個最穩(wěn)定、最精確的區(qū)域，它是詞的規(guī)定的含義。 1因此，要從多方面加深學生對詞義的理解和記憶，形成 相應的 “ 詞感 ” ，這些符號也就掌握的越好。 學符號的分類 數學符號是在幾千年的發(fā)展歷程中，根據不同的需求而創(chuàng)造和發(fā)展的，根據其功能的不同，也產生了不同的分類方法。 最古老的一種分類是：文詞符號、簡字符號、符號代數。 根據數學符號的來源可以分為：客觀自然形成的、大量用外文字頭表示的、象形為主的、演變而來的、名人約 定的、以上原因兼有的。 1 余震球譯 維果茨基教育論著選 M 北京：人民教育出版社， 1994 根據主要作用可以分為：元素符號、運算符號、關系符號、約定符號、性質符號與輔助符號。 根據傳統(tǒng)和多重意義可分為：文字縮寫符號、特殊符號、多重含義符號（一符多義）、一義多符。 根據形式可分為：表意符號、象形符號、表述概念的拉丁語詞的簡化和縮寫、某些特定的符號。 根據數學概念種類的區(qū)別可分為：表示數學具體概念的符號、表示數學過程概念的符號、表示數學關系概念的符號、輔助符號。 也有仁者見仁智者見智的分類方法，如：鄭毓信在數學方法論中將數學符號分為：縮寫意義上的符號與操作意義上的符號。李士 錡在 學教育心理中將數學中的符號分為：字母和數字、標識符、象形符、標點符號。 劉云章在數學符號學概論中將數學符號分為：元素符號、關系符號、運算符號、輔助符號。羅新兵在數學符號的教與學一文中認為中小學數學符號可分為：概念符號、關系符號、單值運算符號、多值運算符號、分組符號、輔助符號。 筆者認為，初中階段數學符號可分為：概念符號、關系符號、運算符號、輔助符號、具有一定意義的符號串。 1 概念符號 （ 1）表示數的概念的符號，如： 0， ，54， 29%， 等 （ 2）表示代數概念的符號，如： |a|， x， a ，等 （ 3）表示幾何圖形的符號，如： ， 、 ，等 （ 4）表示集合概念的符號，如： ， 2 關系符號 （ 1）表示數量關系的符號： =， ， ，等 （ 2）表示代數關系的符號： x+5=9， x 3，等 （ 3）表示函數關系的符號： y=2x 3 （ 4）表示運算順序關系的符號：（）， ， （ 5）表示幾何圖形關系的符號： ， ， ， 3 運算符號 如： +, , , ，平方，開方， 4 輔助符號 如： ， ， ， 5 具有一定意義的 符 號 串 如 ： 平 方 差 公 式 )(22 ， 完 全 平 方 公 式222 2)( ，勾股定理 222 。 第二章 符號感及研究符號感的意義 符號是數學的基礎，有了符號，才有了今天的數學，因此，在數學的學習中，首先要解決的就是讓學生認識數學符號，會用數學符號，將數學符號內化為自己知識結構的一部分，從而進行下一步知識的學 習和 空間觀念、統(tǒng)計觀念，以及應用意識與推理能力的培養(yǎng)，最終達到抽象能力，建模能力，以及涉及到其他學科的能力的培養(yǎng)。 認知發(fā)展理論認為：兒童 7是具體符號的發(fā)展階段，活動的要素是從記號發(fā)展到概念，從單結構的具體符號活動發(fā)展為進一步的抽象多結構的具體符號活動。在這個階段，培養(yǎng)起兒童良好的符號感，能有助于兒童使用類邏輯和等價邏輯進行操作運算，為下一步形式運算階段中對抽象的概念與命題的操作奠定良好的基礎。 號感 “ 感 ” 是感覺的意思，現代漢語詞典中，感覺解釋為 “ 客觀事物的個別特性在人腦中引起的發(fā)應， 感覺是最簡單的心理過程，是形成各種復雜心理過程的基礎。 ” 1 辭海中的解釋是： “ 人類的感覺在復雜的生活條件下和變革現實的活動中得到高度的發(fā)展，它不僅是自然的產物，而且也是社會發(fā)展的產物。感覺屬于認識的感性階段， 它同知覺緊密結合，為思維活動提供材料。 ” 2 英文的 意義十分豐富，不僅僅是 “ 感覺 ” 的意思 。新英漢詞典給出了 4 種相關解釋：感覺；辨別力；觀念；意識。其中就感覺而言，它主要指人對冷暖、疼痛、饑飽以及煩惱與快樂的感覺，常用于語感、美感、幽默 感等。 3 因此，根據詞典的解釋， “可譯成符號感，符號覺或符號意識，也就是說我們可以把 “ 符號感 ” 理解為一種“ 符號意識 ” ，實際上，我們說的培養(yǎng)學生的符號感，筆者認為，1中國社會科學院語言研究所詞典編輯室編 現代漢語詞典 M 北京：商務印書館， 1979，351 2 辭海編輯委員會編 辭海（縮印本） 上海：上海詞書出版社， 1979， 1596 3 新漢語詞典編寫組編 新漢語詞典 M 上海：上海譯文出版社， 1978， 1237 應該是培養(yǎng)學生一種符號意識，一種看到符號的定向思維和發(fā)散思維的意識。 內外有關符號感的闡述及研究成果 “ 符號感 ” 一詞出現在 1989 年美國數學教師全國委員會（ 稱 制定的 “ 美國數學課程標準 ” （學校數學課程與評估的標準 ）中 。1 在香港的數學課程標準中也提到： “ 建立數字感、符號感、空間感、度量感及鑒別結構和規(guī)律的能力。 ” 2 2001 年 7 月教育部制定并頒布的課程標準中，在總體目標中提出要使學 生 “ 經歷運用數學符號和圖形描述現實世界的過程，建立數感和符號感，發(fā)展抽象思維。 ” 3并且在內容標準中明確指出 ： “ 課程內容的學習，強調學生的數學活動，發(fā)展學生的數感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計觀念以及應用意識與推理能力。 ” 3與以往教學大綱相比，培養(yǎng)學生的 “ 符號感 ” 為首次提出 。 由于條件所限，筆者未能查 到國外關于 “ 符號感 ” 的描 繪與闡述。 在國內，大部分的論著未對符號感做出描繪和闡述，只有一小部分提到了什么是符號感。如： 上海師范大學王兄在數學教學中的符號感 :表象圖式意義下的理解中提到： “ 符號感通常是指對符號的感受和領悟能力 ,對符號適時運用的理解以及對數學結構的感悟。 ” 1 宜春學院郭森明在培養(yǎng)和發(fā)展數感與符號感 中提到 “ 所謂符號感就是人們主動自覺地理解和運用符號進行交流與解決問1 002 2 教育部基礎教育司組織，數學課程標準研制組編寫 全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）解讀 M北京：北京師范大學出版社， 2002， 5 3 中華人民共和國教育部制定 全日制義務教育數學課程標準（試驗稿） M 北京：北京師范大學出版社， 2001 1 王兄 數學教學中的符號感 :表象圖式意義下的理解 中國教育學刊 J， 2007 1 題的態(tài)度與意識。 ” 江蘇省徐州市第五中學李桂強在談中學生數學符號感的培養(yǎng)中提到 “ 而數學符號感則是個體理解符號所表示的實際意義，運用符號 進行運算和轉換，從而借助于符號解決數學問題的一種心理品質 。 ” 而 鄭毓信教授則在他的 “ 數感 ”“ 符號感 ” 與其它 課程標準大家談中對符號感做了這樣的解釋： “ 符號感 ” 這一用詞實在值得商榷，因為我們似乎很難想象什么是對于符號（式）的敏感性，對于符號（式）的鑒別（鑒賞）似乎也完全是一種自覺的行為，我們或許也很難發(fā)展起某種關于符號（式）演算的估算能力由課程標準中所給出的關于 “ 符號感 ” 的以下解釋我們似乎可引出這樣的結論： “ 符號感主要表現在：能從具體情景中抽象出數量關系和變化規(guī)律，并用符號來表示；理解符號所代表的數量關系和變化規(guī)律；會進符號（應為 符號表達式 引者注）間的轉換，能選擇適當的程序和方法解決用符號所表達的問題 ” 因為，其中所使用的正是 “ 抽象 ” 、 “ 表示 ” 、“ 理解 ” 、 “ 選擇 ” 等這樣一些表示自覺思維活動的詞語 ” 4而將 “ 符號感 ” 的問題直接轉向了 “ 數學語言 ” 。 而論著大多集中在對數學符號（感）的認識和學習上。如： 托和勒理認為：數學符號系統(tǒng)作為一種認識成果，不僅對自身建立知識體系具有確切性、簡單性和通用性，而且可以作為其他學科的通用語言，為科學研究工作提供最嚴格、最恰當的表述方式和推理工具。 1 出有關學習數學符號時的感情反應， (如害怕、猶豫、尷尬、羞愧 )并指出對于學習者而言，他們對符號的感情接 郭森明 培養(yǎng)和發(fā)展數感與符號感 江西教育 J， 2002， 21 李桂強談中學生數學符號感的培養(yǎng) 上海中學教育 J， 2006， 6 4 鄭毓信“數感”“符號感”與其它 課程標準大家談 數學教育學報 J，2002， 8 1 托和勒理數學符號系統(tǒng)的形成與認識功能東北師大學報自然科學版 J， 1995， 2 受能力的重要性。 2 出：孩子們必須在遇到正式符號之前應被提供機會去積累他們自己的經歷。 3 報告涉及到數學的交流，他指出了在數學符號體系的表面結構與深層次數學的主體結構之間存在的差別。 3 劉吉存認為：數學符號的學習要經過感知、抽象、應用、反省 4 個階段。 4 王兄認為：對表象圖式和發(fā)生式數學形式作用的認知有助于發(fā) 展學生的符號感。表象圖式在數學形式與內容間構筑了通往理解的認知橋梁 ,為符號感的發(fā)展提供了認知紐帶。 5 李桂強認為：不同學力水平的學生對數學符號的理解水平不同 因而在理解符號時能自覺對數學符號所蘊含的相關內容進行處理 ,使自己的認知結構形成了網狀排列 ,進而使知識點之間保持了一定的連續(xù)性 而且只看到了數學符號表層的形式意義 ,即使有聯系也常常是混亂和松散的 ,有時還是錯誤的 。 6 內外有關符號感培 養(yǎng)的闡述及研究成果 更多的論著則是根據課程標準所提到的符號感的主要表現，著重闡述了如何培養(yǎng)學生的符號感。如： 曹平認為應該從： “ 引入符號讓學生感到必要，掌握符號要求學生做的正確。 ” 這兩個方面來培養(yǎng)學生的符號感。 1 陳華慶認為： “ 在教學中盡量使學生用自己獨特的方式表示2 1988) 3 1989)111 4 劉吉存數學符號語言的心理表征機制及對中學數學教學的啟示數學教學研究 J，2005， 6： 3 5 王兄 數學教學中的符號感 :表象圖式意義下的理解 中國教育學刊 J， 2007， 1 6 李桂強對中學生數學 符號感的調查與分析數學教學通訊 J， 2004， 12 1 曹平符號感：必要的學習內容江蘇教育 J， 2003， 1B 具體情境的數量關系和變化規(guī)律 ；引進字母 ， 加強對字母的教學 ， 對學生學會用符號表示具體情境中隱含的數量關系和變化規(guī)律具有重要的意義；加強師生之間的交流 ,促進學生理解和概括符號所代表的數量關系和變化規(guī)律；在教學中注意 引導學生對符號進行主動加工的意識和習慣 ， 使學生能選擇適當的程序和方法解決用符號所表示的問題。 ” 2這四個方面來培養(yǎng)學生符號感。 姜家鳳認為：通過鑒賞符號的直觀性和體驗符號表達的簡約性來培養(yǎng)學生的符號感。 3 祁國正認為，培養(yǎng)學生的符號感，要 “ 理解符號意義，擴展符號聯結；聯系實際模型，化抽象為具體；表示一般情況，揭示普遍規(guī)律；滲透符號化思想，培養(yǎng)用符號意識。 ” 4 從眾多學者的研究中，我們發(fā)現，符號感的培養(yǎng)要帶入課堂，滲透到學生的日常生活，運用不同的教學手段，讓學生來體驗、體會，從中發(fā)現符號的規(guī)律，來加 強學生的符號感。 從前面對符號感的描繪和闡述及符號感的培養(yǎng)的闡述中，筆者仍認為，符號感與數感一樣，可以從以下四個方面來認識符號感。 1符號感是一種關于符號的感覺。 “ 符號感 ” 在英文中是 “,感覺；辨別力；觀念；意識等。因此，我們可以把符號感理解為對符號的感受、 辨別?？涿兰~斯曾說過，一切知識生于感覺，一切知識都是從感官的知覺開始的。存在心靈中的事情是沒有不先存在感覺里面的，所以心智所用的一切思想材料全是從感覺得來的，它進行思想的 方式可以叫做 “ 內在的感覺 ” ，對 數學的內在的 感覺可2 陳華慶 新課程標準下的數學符號與教學 中學數學雜志（初中） J， 2004， 1 3 姜家鳳在鑒賞和體驗中培養(yǎng)學生的符號感云南教育 小學教師 J， 2007， 12 4 祁國正數學符號感培養(yǎng)淺談現代中小學教育 J， 2005， 2 以稱之為數學感覺。 1在人們的學習和生活實踐中經常和符號打交道，我們生活在一個符號的世界里，例如： 這是禁止吸煙的標識符， 這是奧迪車的標志，這個則是馬路上常見的行車標志。將符號感 定義成 “ 感受 ” 、 “ 感覺 ” 是從最初級的層面上來認識和理解符號感 的。從這個層面上來看，具有良好符號感的人能夠主動地將符號與我們的生活實際聯系起來，建立良好的數學符號感，則有利于學生將各種數學符號與數學知識聯系起來，推動數學的學習和能力的培養(yǎng)。 2符號感是一種符號意識。 從認知心理學的角度來看：符號感是人的感官對外界刺激物“ 形 ” 與 “ 量 ” 之間的關系的非正式反映，帶有 “ 直覺 ” 的性質，因此， 符號感可以說是一種數學直覺。即符號感是以直覺和意識來突出對數學信息加工的快速反應，符號感的本質應是數學直覺的產物。以 “直覺論 ”定性符號感，則是突出強調了學習者能在不假思索的狀態(tài)中領悟符號的各種要素，能對情境中符號的各種復雜的含義及表達進行整體性的和直覺性的理解。但從本質上來說，符號感是一種精致化了的數學意識，不同于一般素樸意義上的原始直覺。數學符號是數學抽象思維的產物，而符號感的作用對象數學知識也是抽象思維的產物，而并不是對客觀世界規(guī)律性的 直接研究。從這個層面上來說，良好的符號感就是在較短的時間內把對數學符號的 “ 第一感覺 ” 反應成數學問題，從感知的層面 轉化成數學思維。例如：看到 |a|，第一反應是絕對值，進而想到絕對值有非負性，原因是絕對值的定義是在數軸上，一個數的點1 黃曉學讓鮮活的思想在數學課堂中流淌 J數學教育學報， 2005， 14(1)： 16 到原點的距離，還有什么是具有非負性的，非負性還有什么用處，從而形成一種連貫的數學思維。 3符號感是一種數學技能。 技能是通過練習獲得的能完成一定任務的動作系統(tǒng)。 認知心理學認為：動作技能從命題網絡的程序性表征轉化為產生式系統(tǒng)的程序性知識，經過適當的變式練習，單個心智動作緊密聯系形成能 自動激活的、快速的主體操作行為，這是一種理想的 “技能組塊 ” 數學表征狀態(tài)，以 “ 組塊 “ 形式表征的數學技能在運用時只需占 據少量的記憶空間，同一時間內為其他的知識、技能進入記憶提供了思維工作空間，從而大大地提高了問題解決的效率。 1 課程標準中指出： “ 符號感主要表現在：能從具體情境中抽象出數量關系和變化規(guī)律，并用符號來表示；理解符號所代表的數量關系和變化規(guī)律；會進行符號間的轉換；能選擇適當的程序和方法解決用符號的表示的問題。 ” 2這就是說，符號感要對具體情境中的問題和現象的數量關系和變化規(guī)律進行分解、抽象、整合、構造有所感悟，應該是對數學概念、公式、性質、定理、公理等透徹理解和掌握熟練后的一種外顯的心理現象，而 這些，都是可以通過一定的方法和練習能夠掌握的。如果符號感僅是對照能力和仿造能力，那么符號感本質屬性 敏捷性和創(chuàng)造性就會被排除出去，而人對數學的反應也就只能停留在類似條件反射或者是思維定勢的水平上。因此，我們可以把符號感看成是一種數學技能。 4符號感還應該是一種數學能力。 克魯捷茨基認為：能力是某項活動得以順利完成并且直接影響活動效果的心理特征。 1數學的學習能力則表現為創(chuàng)造性的數學能力。數學能力的 形成是以遺傳為前提、由后天生活環(huán)境及個體實1 曹才翰，章建躍數學 教育心理學 M北京：北京師范大學出版社， 2001， 159 2 中華人民共和國教育部制定全日制義務教育數學課程準（試驗稿） M北京：北京師范大學出版社， 2001 1 趙裕春等譯蘇克魯捷茨基中小學生數學能力心理學 M教育科學出版社 ,1984 踐共同作用而決定的。其中，個體的素質、智力水平和認知結構是數學能力形成和發(fā)展的基礎。中學數學所要培養(yǎng)的運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力三大能力就是這種學習數學的數學能力。 符號感首先是一種先天的才能，但是它是具有發(fā)展性的，可以通過后天的學習，訓練并在后天的數學活動中得到發(fā)展。符號感主要表現為主體在數學