高考數學一輪復習 第十章 概率、統(tǒng)計及統(tǒng)計案例 10.2 統(tǒng)計及統(tǒng)計案例課件 文.ppt

第十章概率 統(tǒng)計及統(tǒng)計案例 高考文數 10 2統(tǒng)計及統(tǒng)計案例 知識清單 考點一抽樣方法1 三種抽樣方法的比較 2 分層抽樣中公式的運用抽樣比 3 簡單隨機抽樣每次每個個體被抽到的概率都相等 都是 在抽樣過程中 每個個體被抽到的概率都是 4 系統(tǒng)抽樣的步驟當是整數時 1 先將總體中每一個個體編號 2 確定分段間隔k 對編號進行分段 3 在第一段用抽簽法確定第一個個體編號t t k 4 按照一定的規(guī)則抽取樣本 通常是抽取t t k t 2k t n 1 k 當不是整數時 先隨機地從總體中剔除余數個個體 然后按上述步驟進行 考點二頻率分布直方圖與莖葉圖1 頻率分布直方圖的特征 1 各個小矩形的面積和為1 2 縱軸的含義為 矩形的面積 組距 頻率 3 樣本數據的平均數的估計值等于每個小矩形的面積乘矩形底邊中點橫坐標之和 4 眾數為最高矩形的底邊中點的橫坐標 2 莖葉圖的優(yōu)點莖葉圖的優(yōu)點是可以保留原始數據 而且可以隨時記錄 這給數據的記錄和表示都帶來了方便 考點三樣本的數字特征1 眾數 中位數 平均數 2 方差和標準差方差和標準差反映了數據波動程度的大小 1 方差 s2 x1 2 x2 2 xn 2 2 標準差 s 注意 方差和標準差描述了一組數據與平均數的離散程度 反映了一組數據相對于平均數的波動情況 標準差和方差越大 說明這組數據的波動性越大 3 關于平均數 方差的有關性質 1 若x1 x2 xn的平均數為 那么mx1 a mx2 a mxn a的平均數為m a 2 數據x1 x2 xn與數據x 1 x1 a x 2 x2 a x n xn a的方差相等 3 若x1 x2 xn的方差為s2 那么ax1 b ax2 b axn b的方差為a2s2 考點四變量間的相關性1 回歸直線方程為 x 其中其中 為樣本點的中心 xi yi 2 樣本相關系數r 如果 r r0 05 那么表明有95 的把握認為x與y具有線性相關關系 如果 r r0 05 那么求回歸直線方程沒有意義 3 相關指數 r2 1 r2越大 模型的擬合效果越好 r2越小 模型的擬合效果越差 4 相關系數r r 1 表示兩個變量的線性相關性越強 r 0 表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關性 通常 r 0 75時 認為兩個變量有很強的線性相關性 考點五獨立性檢驗1 分類變量 變量的不同 值 表示個體所屬的不同類別 像這樣的變量稱為分類變量 2 列聯(lián)表 列出兩個分類變量的頻數表 稱為列聯(lián)表 假設有兩個分類變量x和y 它們的可能取值分別為 x1 x2 和 y1 y2 其樣本頻數列聯(lián)表 稱為2 2列聯(lián)表 如下 可構造一個隨機變量k2 其中n a b c d為樣本容量 3 獨立性檢驗利用獨立性假設 隨機變量k2來確定是否有一定把握認為 兩個分類變量有關系 的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗 兩個分類變量x和y是否有關系的判斷標準 統(tǒng)計學研究表明 當k2 3 841時 認為x與y無關 當k2 3 841時 有95 的把握說x與y有關 當k2 6 635時 有99 的把握說x與y有關 當k2 10 828時 有99 9 的把握說x與y有關 系統(tǒng)抽樣與分層抽樣的特點及步驟1 系統(tǒng)抽樣 1 適用于元素個數很多且均衡的總體 2 各個個體被抽到的機會均等 3 總體分組后 在起始部分采用的是簡單隨機抽樣 4 如果總體容量n能被樣本容量n整除 則抽樣間隔k 如果總體容量n不能被樣本容量n整除 可隨機地從總體中剔除余數個個體 然后再按系統(tǒng)抽樣的方法抽樣 2 分層抽樣適用于由差異明顯的幾部分組成的總體 抽取的步驟是 1 按某種特征將總體分成若干部分 2 按比例確定每層抽取的個體數 方法技巧 3 各層按簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽取個體 4 綜合每層抽取的個體 組成樣本 例1 2016廣東肇慶三模 3 一個總體中有100個個體 隨機編號為0 1 2 99 依編號順序平均分成10個小組 組號依次為一 二 三 十 現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本 如果在第一組隨機抽取的號碼為m 那么在第k組中抽取的號碼個位數字與m k的個位數字相同 若m 6 則在第七組中抽取的號碼是 a a 63b 64c 65d 66 解析若m 6 則在第7組中抽取的號碼個位數字與13的個位數字相同 而第7組中的編號依次為60 61 62 63 69 故在第7組中抽取的號碼是63 頻率分布直方圖1 小長方形的面積 組距 頻率 2 各小長方形的面積之和等于1 例2 2017安徽黃山二模 19 全世界越來越關注環(huán)境保護問題 某監(jiān)測站點于2016年8月某日起連續(xù)n天監(jiān)測空氣質量指數 aqi 數據統(tǒng)計如下表 1 根據所給統(tǒng)計表和頻率分布直方圖中的信息求出n m的值 并完成頻率分布直方圖 2 由頻率分布直方圖 求該組數據的平均數與中位數 3 在空氣質量指數分別為 50 100 和 150 200 的監(jiān)測數據中 用分層抽 樣的方法抽取5天 從中任意選取2天 求事件a 兩天空氣質量等級都為良 發(fā)生的概率 解析 1 0 004 50 n 100 20 40 m 10 5 100 m 25 0 008 0 005 0 002 0 001 由此完成頻率分布直方圖 如圖 2 由頻率分布直方圖得該組數據的平均數為25 0 004 50 75 0 008 50 125 0 005 50 175 0 002 50 225 0 001 50 95 0 50 的頻率為0 004 50 0 2 50 100 的頻率為0 008 50 0 4 中位數為50 50 87 5 3 由題意知在空氣質量指數為 50 100 和 150 200 的監(jiān)測天數中分別抽取4天和1天 在所抽取的5天中 將空氣質量指數為 50 100 的4天分別記為a b c d 將空氣質量指數為 150 200 的1天記為e 從中任取2天的基本事件為 a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e 共10個 其中事件a 兩天空氣質量等級都為良 包含的基本事件為 a b a c a d b c b d c d 共6個 所以p a 樣本的數字特征1 利用頻率分布直方圖估計樣本的數字特征 1 在樣本數據的頻率分布直方圖中 眾數就是最高矩形底邊中點的橫坐標 2 在頻率分布直方圖中 中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等 由此可以估計中位數的值 3 平均數是頻率分布直方圖的 重心 等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標的積之和 2 平均數 方差 s2 x1 2 x2 2 xn 2 標準差 s 方差 標準差描述數據的離散程度 例3 2017湖北黃岡3月質檢 7 已知數據x1 x2 x3 xn是某市n n 3 n n 個普通職工的年收入 設這n個數據的中位數為x 平均數為y 方差為z 如果再加上世界首富的年收入xn 1 則這 n 1 個數據中 下列說法正確的是 b a 年收入平均數可能不變 中位數可能不變 方差可能不變b 年收入平均數大大增大 中位數可能不變 方差變大c 年收入平均數大大增大 中位數可能不變 方差也不變d 年收入平均數大大增大 中位數一定變大 方差可能不變 解析 數據x1 x2 x3 xn是某市n n 3 n n 個普通職工的年收入 xn 1為世界首富的年收入 則xn 1遠大于x1 x2 x3 xn 故這 n 1 個數據中 年收入平均數大大增大 中位數可能不變 也可能稍微變大 由于數據的集中程度受到xn 1的影響比較大 更加離散 所以方差變大 回歸分析的應用分析兩個變量的相關關系時 我們可根據樣本數據散點圖確定兩個變量之間是否存在相關關系 還可利用最小二乘法求出回歸直線方程 把樣本數據表示的點在直角坐標系中作出 構成的圖叫散點圖 從散點圖上 我們可以分析出兩個變量是否存在相關關系 如果這些點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近 那么就說這兩個變量之間具有線性相關關系 這條直線叫做回歸直線 直線方程叫做回歸直線方程 求回歸直線方程的步驟 1 整理數據 計算出 xiyi 2 計算回歸系數 公式為 3 寫出回歸直線方程 x 例4 2015重慶 17 13分 隨著我國經濟的發(fā)展 居民的儲蓄存款逐年增長 設某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款 年底余額 如下表 1 求y關于t的回歸方程 t 2 用所求回歸方程預測該地區(qū)2015年 t 6 的人民幣儲蓄存款 附 回歸方程 t 中 解析 1 列表計算如下 這里n 5 ti 3 yi 7 2 又ltt n 55 5 32 10 lty tiyi n 120 5 3 7 2 12 從而 1 2 7 2 1 2 3 3 6 故所求回歸方程為 1 2t 3 6 2 將t 6代入回歸方程可預測該地區(qū)2015年的人民幣儲蓄存款為 1 2 6 3 6 10 8 千億元 獨立性檢驗的思想方法1 獨立性檢驗的思想來自于統(tǒng)計上的假設檢驗思想 它與反證法類似 它們都是先假設結論不成立 然后根據是否能推出 矛盾 來判定結論是否成立 但二者 矛盾 的含義不同 反證法中的 矛盾 是指不符合邏輯的事件發(fā)生 而假設檢驗中的 矛盾 是指不符合邏輯的小概率事件發(fā)生 即在結論不成立的假設下推出有利于結論成立的小概率事件的發(fā)生 2 獨立性檢驗的一般步驟 1 獨立性檢驗原理只能解決兩個對象 每個對象有兩類屬性的問題 所以對于一個實際問題 我們要首先確定能否用獨立性檢驗的思想加以解決 2 如果確實屬于這類問題 要科學地抽取樣本 樣本容量要適當 不可太小 3 根據數據列出2 2列聯(lián)表 4 提出假設h0 所研究的兩類對象 x y 無關 5 根據公式計算k2 的值 6 比較觀測值k與臨界值表中相應的檢驗水平 根據小概率原理肯定或者否定假設 即判斷x y是否相關 例5 2017安徽池州4月模擬 18 某職稱晉級評定機構對參加某次專業(yè)技術考試的100人的成績進行了統(tǒng)計 繪制的頻率分布直方圖如圖所示 規(guī)定80分以上者晉級成功 否則晉級失敗 滿分為100分 1 求圖中a的值 2 估計該次考試的平均分 同一組中的數據用該組的區(qū)間中點值代表 3 根據已知條件完成下面2 2列聯(lián)表 并判斷能否有85 的把握認為 晉級成功 與性別有關 參考公式 k2 其中n a b c d 解析 1 由頻率分布直方圖中各小長方形面積總和為1 得 2a 0 020 0 030 0 040 10 1 解得a 0 005 2